【数学】一只兔子帮你理解 kNN
导语：商业哲学家 Jim Rohn 说过一句话，“你，就是你最常接触的五个人的平均。”那么，在分析一个人时，我们不妨观察和他最亲密的几个人。同理的，在判定一个未知事物时，可以观察离它最近的几个样本，这就是 kNN（k最近邻）的方法。
作者：肖睿
编辑：宏观经济算命师
本文由JoinQuant量化课堂推出，本文的难度属于进阶（上），深度为 level-1简介
kNN（k-Nearest Neighbours）是机器学习中最简单易懂的算法，它的适用面很广，并且在样本量足够大的情况下准确度很高，多年来得到了很多的关注和研究。kNN 可以用来进行分类或者回归，大致方法基本相同，本篇文章将主要介绍使用 kNN 进行分类。
举个例子跟你讲
kNN还真是直接讲例子最好懂。大家都喜欢兔子，所以就来说一说兔子的事情吧。
有一种兔子叫作悲伤（Grief），它们的平均身高是 50厘米，平均体重 5公斤。我们拿来一百个悲伤，分别测量它们的身高和体重，画在坐标图上，用绿色方块表示。
在这些数据中，(身高,体重)(身高,体重) 的二元组叫做特征（features），兔子的品种则是分类标签（class label）。我们想解决的问题是，给定一个未知分类的新样本的所有特征，通过已知数据来判断它的类别。
北京十八环外有一个小树林里经常出现这三种兔子。为了了解它们的生态环境，某研究团队想知道三种兔子的数量比例；可是这些兔子又太过危险，不能让人 亲自去做，所以要设计一个全自动的机器人，让它自己去树林里识别它遇到的每一个兔子的种类。啊，为了把故事讲圆，还要假设他们经费不足，所以机器只有测量 兔子的身高和体重的能力。
那么现在有一迷之兔子，我们想判断它的类别，要怎么做呢？按照最普通的直觉，应该在已知数据里找出几个和我们想探究的兔子最相似的几个点，然后看看那些兔子都是什么个情况；如果它们当中大多数都属于某一类别，那么迷之兔子大概率也就是那个类别了。
于是乎，我们给机器人预设一个整数 k，让它去寻找距离最近的k个数据样本进行分析。好，机器发现了一只兔子，它长着八条腿，三十二只眼睛，毛茸茸的小尾巴，齐刷刷的八十六颗獠牙，面相狰狞，散发着噩梦般的腐臭，发出来自地狱底处的咆哮… 差不多就是这个样子（作者手绘）：
kNN 算法如何对这次观测进行分类要取决于k的大小。直觉告诉我们迷之兔像是一只绝望，因为除了最近的蓝色三角外，附近其他都是黄色圆圈。的确，如果设 k=15，算法会判断这只兔子是一只绝望。但是如果设 k=1，那么由于距离最近的是蓝色三角，会判断迷之兔子是一只痛苦。
如果按照15NN和1NN的方法对这个二维空间上的每一个点进行分类，会形成以下的分割
距离函数
我们在上面的例子中把一个很重要的概念隐藏了起来，在
选择一个数量k还只是小问题，更重要的是距离的计算方法。毕竟，当我们说“最近的k个点”时，这个“近”是怎么衡量的？
在数学中，一个空间上距离的严格定义如下：
设M 为一个空间，M上的一个距离函数是一个函数d:M \times M \rightarrow R，满足：
我们一般最常用的距离函数是欧氏距离，也称作L_2距离。如果x=(x_1,x_2,...,x_n)和y=(y_1,y_2,...,y_n)是n维欧式空间R^n上的两个点，那它们之间的L_2距离是
d_2(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{(x_i-y_i)^2}}L_2是更普遍的L_P距离在P=2时的特列。L_P距离的函数d_P定义如下：对于1 \leq P < \infty ，有：
d_P(x,y)=(\sum_{i=1}^{n}{|x_i-y_i|^P})^{1/P}还有L_\infty距离：
d_\infty(x,y)=\mathop{max} \limits_{i=1,...n} |x_i-y_i|在实际应用中，距离函数的选择应该根据数据的特性和分析的需要而定，本篇就不进行更深入的探讨，一般情况下使用最常用的L_2函数即可。
但是！注意！使用 kNN 时需要根据特征数据的取值区间来调整坐标轴的比例，这个做法叫作标准化或者归一化。为什么要这么做呢？拿上面的例子来说，一只兔子的身长（cm）数值平均是它的体重（kg）的10 倍左右，如果我们在这组数值上直接使用L_2距离函数的话就会导致横轴的距离比重明显放大，分类结果也不合理，如下图所示：
在之前的例子中，由于横轴数值大约是竖轴的10倍左右，所以我们将横轴（身高）的数值压缩 10倍，即计算距离时使用
d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\sqrt{\frac{1}{10}(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}就可以得出合理的 kNN 分类。
一般来说，假设进行 kNN 分类使用的样本的特征是 \left\{ (x_{i1},x_{i2},...x_{in}) \right\} _{i=1}^{m}，取每一轴上的最大值减最小值：
M_j= \mathop{max}\limits_{i=1,...,M} x_{ij} - \mathop{min}\limits_{i=1,...,M} x_{ij}并且在计算距离时将每一个坐标轴除以相应的M_j以进行归一化，即：
便可以规避坐标轴比例失衡的问题。
概率 kNN
上面的kNN算法返回的是对一组特征的绝对分类，告诉我们这只兔子被判断为哪一个类别。可有时我们并不想知道一个确切地分类，而想知道它属于某个分类的概率是多大。比如我们发现一只身长37体重4.8的小兔兔，在下图五角星的位置。
这只兔子的特征数据在悲伤和痛苦的分界处，机器不论判断它属于哪个类别都很有可能是错的。这时，类似“它有一半可能性是痛苦，一半可能性是悲伤”的反馈会更有意义。
为了这个目的，我们同样找找出距离问题特征最近的k个样本，但与其寻找数量最多的分类，我们统计其中每个类别的分别有多少个，再除以k 得到一个属于每一个类别概率值。比如在上面的图里，距离五角星最近的15 个样本中，有8只悲伤和7只痛苦，由此判断：它有53%的可能性是悲伤，47%的可能性是痛苦，0%的可能性是绝望。
在整个二维空间中的每一个点上进行概率 kNN 算法，可以得到每个特征点是属于某个类别的概率热力图，图中颜色越深代表概率越大。
倒不是因为别的，我们就是觉得这种粘液很恶心，清洗起来也很麻烦，所以我们想让机器人在测量并发现是悲伤之后马上掉头逃跑。但是如果机器发现了一只
体型接近痛苦的悲伤，并且普通的 kNN 算法发生误判，没有马上逃跑，那么最后就会被喷了。所以我们使用概率 kNN
的算法并且使用以下风控原则：只要发现兔子有30%以上的概率是悲伤，就马上逃跑。从此之后，机器人就再也没被喷过。
结语
不知你有没有发现，我跟你讲了这么多关于兔子的事，却丝毫没有提及如何用代码计算 kNN。这是因为 kNN 虽然思路简单，但实现起来有一个问题，那就是计算量很大；当数据量很多时，拿一组特征来和所有样本依次计算距离并选取最近的k个，是非常耗费时间的。所以，在量化课堂接下来的文章中，我们将讲解 kNN 的一个高效算法—kd树。
wa ~~~~! 终于搞定了！这个是一个系列的第一篇哦！原文见这里【量化课堂】一只兔子帮你理解 kNN
本文由JoinQuant量化课堂推出，版权归JoinQuant所有，商业转载请联系我们获得授权，非商业
转载请注明出处。
文章迭代记录
v1.1，2016-08-17，添加研究模块
v1.0，2016-08-16，文章上线