线性寻找k连通稀疏子图（上）

部分证明和算法在看论文的时候进行了一点点脑补，脑补上要是出了偏差...本人一概不负责（x

原文： Hiroshi Nagamochi and Toshihide Ibaraki 1992a. Linear time algorithms for finding a sparse k-connected spanning subgraph of a k-connected graph. Algorithmica 7, 583–596.

目标和直觉

对于一个 k 连通图，寻找一个包含最小边数的 k 联通的子图被证明是 npc 的，所以快速寻找一个边数不多的 k 连通子图是全文的目标。

我们这里先考虑边联通的情况。

一个直观的想法是，一个 k 连通图如果可以被分解成 k 个生成树，那么这一定可以充分的证明它是一个 k 联通图。

但是很遗憾的是并不是所有 k 连通图都可以这么分解，一个最简单的例子，是 k=2 的三元环。

但是每次取一个极大生成森林的做法却有非常好的性质。

极大生成森林

考虑对于一个图 G=(V,E) ，把它分解成若干个生成森林 F_i = (V, E_i) ，使得 F_i 是 G - E_1 \cup E_2 \cup ... \cup E_{i-1} 的极大生成森林

令 G_i = (V, E_1 \cup E_2 ... \cup E_i) ， \lambda(x,y;G) 为点 x 和点 y 在 G 中的最小割

那么 G_i 会满足 \lambda(x, y; G_i)\geq \min\{\lambda(x,y,G),i\}

也就是说，虽然我们的分解每次可能只是一个森林，但是如果我们把前 k个分解的边集并起来，已经可以使得原图中所有 k连通的点对 k连通了！

证明如下：

考虑 \lambda(x, y; G_i)\geq \min\{\lambda(x,y;G),i\}

并且 \lambda(x, y; G_{i+1})<\min\{\lambda(x,y;G),i+1\}

那么就意味着 \lambda(x, y; G_i)=\lambda(x,y;G_{i+1})=i

那么在 G_{i+1} 中就存在一个割 |W|=i 使得 x 和 y 不连通，并且把图分成 X 集和 Y 集

然而因为原图中最小割 \lambda(x,y;G)>i ，所以 (V,E-E_1\cup E_2 ... \cup E_i) 中一定存在跨越两个集合的边

因为 F_{i+1} 是极大生成树，从而 E_{i+1} 中一定要有跨越两个集合的边，而我们删去这条边之后 |W-e|=i-1 依然是 G_i 的一个割，和 \lambda(x, y; G_i)=i 矛盾

Procedure FOREST

接下来就要快速找出这样的一种分解方案了

一个显然的做法是求 k 次生成树，复杂度 O(k|E|)

稍微聪明一点的做法可以每次考虑加入一条边，然后把它放到第一个让他不连通的 E_i 里，由拟阵的性质正确性显然。

如果我们用并查集维护，每次二分第一个不连通的集合，复杂度 O(|E|logk)

但是如果我们做的再聪明一点其实可以一次扫描，在线性的复杂度内，求出这个分解。

我们对于每个点 x ，定义 r_x 为它相连的边中 max_e\{i|e \in E_i\}

然后我们每次找到 r_x 最大的一个点 x ，考虑它的每个出边 (x,y) ，我们可以证明它应该属于边集 E_{r_y+1} 。

证明如下：

首先在此时的 E_{r_y+1} 中， y 的度数为0，所以一定不会出现环。

所以证明重点在于证明此时 E_{r_y} 中 x 和 y 连通

考虑我们可以把扫描的时候处理到的边 (x,y) 规定方向为 x\rightarrow y ，那么以点被扫描的顺序作为拓扑序，整个图构成了一个DAG。同时对于 E_i ，因为在边加入的时候总是满足 d(y)=0 ，所以每个连通分量都构成了一个外向树，除了第一条边的起点是根之外，每个点入度为1。

我们先不管 r_x \geq r_y ，把 x 和 y 当做对称的。

假设 E_{i=\min\{r_x,r_y\}} 中不存在一条连接两点的路径。那么 E_i 中两点分别属于两个外向树，假设 x 的根为 x_0 ， y 的根为 y_0 ，因为对称性，可以不失一般性的假设 x_0 先于 y_0 被访问到。

那么此时由于 x_0 和 y_0 是 E_i 中的根， r_{y_0} \leq i-1 ，并且在处理 y_0 之前这个不等式始终成立。同时我们先处理了 x_0 ，在处理完之后，因为加入了 E_i 中的边， r_{x_1}=i ，然后我们会在 y_0 之前处理 x_1 （因为 r_{x_1}>r_{y_0} ），同理就可以得到会在 y_0 之前处理 x_2 ，直到会在 y_0 之前处理 x 。

那么处理完 x 之后就必须得在 y_0 之前处理 y 了，和 y_0 是 y 的根矛盾了。

一些性质

FOREST 跑出来的分解满足这样的性质：

当 k 小于等于 G 中的最小度数时， G_k 中会有一个点度数恰好为 k 。

只需要考虑最后一个访问到的点，连到它的边假设有 d 条，显然会在 E_1 到 E_d 中。

吐槽

知乎这个公式好像并不支持直接$$x$$的格式，在我在markdown编辑器里写完复制上来，发现必须要用知乎的公式编辑器的时候...我的内心是崩溃的。最后花了我将近20分钟来用公式编辑器输入每个公式。