特征值和特征向量[MIT线代第二十一课]

0、前言

MIT线性代数课程精细笔记[第二十课]笔记见

该笔记是连载笔记，本文由坤博所写，希望对大家有帮助。

一、知识概要

本节课讨论了特征值与特征向量。主要目的是掌握求特征值的技巧并对一些特 别的情况进行说明。本节内容比较基础。

二．特征值与特征向量

2.1 释义

首先给出特征值与特征向量的定义：对矩阵 A，若有

Ax=\lambda x

则 x 为矩阵 A 的特征向量，λ为矩阵的特征值。那么如何理解特征值与特征向量 所代表的意义呢？

我们来看 Ax 这个式子，对于不同的向量 x，Ax 这个式子像是一个函数，输 入一个向量 x，则输出一个向量 Ax。而在我们输入的众多向量 x 生成的 Ax 中， 会有这样的向量 Ax，它们平行于 x，我们即用上面这个式子： Ax=\lambda x 来表示 这个关系。

特别注意下特征值为 0 的情况。此时会有：AX = 0。我们可以发现 A 如果是 不可逆矩阵，则正好满足此性质。

1. 如果对任意平面上的 x_{1} 来说，投影矩阵根本不会影响它的大小所以就有： Ax_{1}=\lambda x_{1} 恒成立。此时得到一个 \lambda 为1
2. 如果对任意平面上的 x_{2} 来说，投影矩阵作用在此向量之后始终会有： Ax_{2}=0 恒成立。如此即得到第二个 \lambda 为0

2.2 求解方法

接下来我们给出特征值，特征向量的一般求解方法。我们对方程进行一些处理：

如上即为求解特征值的步骤。n 阶一共应该有 n 个特征值。

求解特征向量只需要取求解出的一个特征值λ，此时 A-λI 是一个不可逆矩 阵，利用(A-λI)X = 0 求解零空间中的向量即为矩阵的特征向量。

2.3 特殊情况说明

我们通过两个例题说明下这部分求解中可能遇到的特殊情况。

启示：我们发现 Q 是反对称矩阵（ A^{T}=-A ），而我们之前求的都是对称矩阵的 特征值，也就是说，对称矩阵的特征值为实数，而反对称矩阵的特征值为虚数， 这是两个极端。

思路:

这是个上三角矩阵，求解 A-λI 行列式时会发现， \lambda_{1}=\lambda_{2}=3 ，这时的 特征向量只会有一个，也就是说，三角矩阵的结构的特殊性导致了其行列式为对 角线上元素，而如果对角线上两个元素相等，那么就会造成特征向量短缺情况。

三、学习感悟

本节内容不是很困难，重点在于特征值与特征向量的求解，其实只要使用 A- λx 求解就没错，特别注意一下虚数情况就好了。重点是理解特征值如何求解以 及特征值到底代表着什么。