椭圆曲线加密算法(ECC)

椭圆曲线加密算法(ECC)

椭圆曲线加密算法,简称ECC,是基于椭圆曲线数学理论实现的一种非对称加密算法。相比RSA,ECC优势是可以使用更短的密钥,来实现与RSA相当或更高的安全,RSA加密算法也是一种非对称加密算法,在公开密钥加密和电子商业中RSA被广泛使用。据研究,160位ECC加密安全性相当于1024位RSA加密,210位ECC加密安全性相当于2048位RSA加密(有待考证)。

比特币Bitcoin使用了 secp256k1这条特殊的椭圆曲线:

y^2 = x^3 + 7

一、阿贝尔群

椭圆曲线也可以有运算,像实数的加减乘除一样,这就需要使用到加群。19世纪挪威的尼尔斯·阿贝尔抽象出了加群(又叫阿贝尔群或交换群)。数学中的群是一个集合,我们为它定义了一个“加法”,并用符号+表示。假定群用 表示,则加法必须遵循以下四个特性:

  • 封闭性:如果a和b都是 的成员,那么a+b也是 的成员;
  • 结合律:(a + b) + c = a + (b + c);
  • 单位元:a+0=0+a=a,0就是单位元;
  • 逆元:对于任意值a必定存在b,使得a+b=0。

如果再增加一个条件,交换律:a + b = b + a,则称这个群为阿贝尔群,根据这个定义整数集是个阿贝尔群。

二、椭圆曲线的加法

过曲线上的两点A、B画一条直线,找到直线与椭圆曲线的交点,交点关于x轴对称位置的点,定义为A+B,即为加法。如下图所示:A + B = C


三、椭圆曲线的二倍运算

上述方法无法解释A + A,即两点重合的情况,因此在这种情况下,将椭圆曲线在A点的切线,与椭圆曲线的交点,交点关于x轴对称位置的点,定义为A + A,即2A,即为二倍运算。

四、同余运算

同余就是有相同的余数,两个整数 a、 b,若它们除以正整数 m所得的余数相等,则称 a, b对于模m同余。

a ≡ b (mod m)

五、有限域

椭圆曲线是连续的,并不适合用于加密;所以必须把椭圆曲线变成离散的点,要把椭圆曲线定义在有限域上。而椭圆曲线密码所使用的椭圆曲线是定义在有限域内,有限域最常见的例子是有限域GF(p),指给定某质数p,由0,1,2...p-1共p个元素组成的整数集合中加法、二倍运算。例如GF(233)就是

y^2 = (x^3+7)(mod 223)

六、乘法逆元

在模7乘法中:

  • 1的逆元为1 (1*1)%7=1
  • 2的逆元为4 (2*4)%7=1
  • 3的逆元为5 (3*5)%7=1
  • 4的逆元为2 (4*2)%7=1
  • 5的逆元为3 (5*3)%7=1
  • 6的逆元为6 (6*6)%7=1

七、数学解释

并不是所有的椭圆曲线都适合加密, y^2 = x^3+ ax+b 是一类可以用来加密的椭圆曲线,也是最为简单的一类。

针对曲线Ep(a,b)表示为y^2 = x^3+ax+b(mod p),x,y\in[0,p],p为质数
该曲线关于x轴对称。选择两个满足下列条件的小于p(p为素数)的非负整数a、b,要求满足以下条件 3a^3+27b^2 \ne0

1、有限域的负元

P(x,y) 的负元是 (x,-y mod p) =(x,p-y)
2、有限域的加法, P+Q

P(x_{1},y_{1}), Q(x_{2},y_{2})R(x_{3},y_{3}) 三点(其中R是PQ直线与曲线的交点的关于x轴的对称点,即 R=P+Q )有如下关系:

x_3≡k^2-x_1-x_2(mod p)

y_3≡k(x_1-x_3)-y_1(mod p)

3、斜率计算(P=Q即要计算P点切线,需要求导)

P=Q ,则 k=(3x_2+a)/2y_1
P≠Q ,则 k=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)

该公式可以自己推导,为了方便理解,可以套用以上公式,解决以下例题。

例:已知 E_{23}(1,1) 上两点 P(3,10)Q(9,7) ,求1) -P ,2) P+Q ,3) 2P

解:1) P(3,10)的负元是(3,-10 mod 23) =(3,23-10)=(3,13)

2) P\ne Q ,k=(7-10)/(9-3)=-1/2 ,因为 2*12≡1 (mod 23) 所以2的乘法逆元为12,k≡-1*2^{-1} (mod 23)≡-1*12 (mod 23) 故 k=11。 x_3≡k^2-x_1-x_2(mod p)≡ 11^2-3-9 (mod 23)=109 (mod 23)≡17 y_3≡k(x_1-x_3)-y_1(mod p)≡11[3-(-6)]-10 (mod 23)=89 (mod 23)≡20P+Q的坐标为 (17,20)

3) P=Qk=[3*(3^2)+1]/(2*10) (mod 23)=7*5^{-1} (mod 23) ,因为5*14≡1 (mod 23),5的乘法逆元为14,故k=6。x_3≡k^2-x_1-x_2(mod p) =6^2-3-3(mod 23)=30(mod 23)≡7 y_3≡k(x_1-x_3)-y_1(mod p)=6*(3-7)-10 (mod 23)=-34 (mod 23)≡122P 的坐标为 (7,12)

八、椭圆曲线加解密算法原理

设私钥、公钥分别为d、Q,即Q = dG,其中G为基点,椭圆曲线上的已知G和dG,求d是非常困难的,也就是说已知公钥和基点,想要算出私钥是非常困难的。
公钥加密:选择随机数r,将消息M生成密文C,该密文是一个点对,C = {rG, M+rQ},其中Q为公钥。
私钥解密:M + rQ - d(rG) = M + r(dG) - d(rG) = M,其中d、Q分别为私钥、公钥。

九、椭圆曲线签名算法原理

椭圆曲线签名算法(ECDSA)。设私钥、公钥分别为d、Q,即Q = dG,其中G为基点。

私钥签名:

  • 选择随机数r,计算点rG(x, y)。
  • 根据随机数r、消息M的哈希h、私钥d,计算s = (h + dx)/r。  
  • 将消息M、和签名{rG, s}发给接收方。

公钥验证签名:  

  • 接收方收到消息M、以及签名{rG=(x,y), s}。  
  • 根据消息求哈希h。  
  • 使用发送方公钥Q计算:hG/s + xQ/s,并与rG比较,如相等即验签成功。
    原理:hG/s + xQ/s = hG/s + x(dG)/s = (h+xd)G/s = r(h+xd)G / (h+dx) = rG

10、签名过程

假设要签名的消息是一个字符串:“Hello World!”。DSA签名的第一个步骤是对待签名的消息生成一个消息摘要,不同的签名算法使用不同的消息摘要算法,而ECDSA256使用SHA256生成256比特的摘要。

摘要生成结束后,应用签名算法对摘要进行签名:

  • 产生一个随机数k
  • 利用随机数k,计算出两个大数r和s。将r和s拼在一起就构成了对消息摘要的签名。
    这里需要注意的是,因为随机数k的存在,对于同一条消息,使用同一个算法,产生的签名是不一样的。从函数的角度来理解,签名函数对同样的输入会产生不同的输出。因为函数内部会将随机值混入签名的过程。

11、验证过程

关于验证过程,这里不讨论它的算法细节。从宏观上看,消息的接收方从签名中分离出r和s,然后利用公开的密钥信息和s计算出r。如果计算出的r和接收到的r值相同,则表示验证成功,否则,表示验证失败。

12、数值计算Demo实现

# -*- coding:utf-8 -*-


def get_inverse(value, p):
    """
    求逆元
    :param value: 待求逆元的值
    :param p: 模数
    """
    for i in range(1, p):
        if (i * value) % p == 1:
            return i
    return -1


def get_gcd(value1, value2):
    """
    辗转相除法求最大公约数
    :param value1:
    :param value2:
    """
    if value2 == 0:
        return value1
    else:
        return get_gcd(value2, value1 % value2)


def get_PaddQ(x1, y1, x2, y2, a, p):
    """
    计算P+Q
    :param x1: P点横坐标
    :param y1: P点纵坐标
    :param x2: Q点横坐标
    :param y2: Q点纵坐标
    :param a: 曲线参数
    :param p: 曲线模数
    """
    flag = 1  # 定义符号位(+/-)

    # 如果P=Q,斜率k=(3x^2+a)/2y mod p
    if x1 == x2 and y1 == y2:
        member = 3 * (x1 ** 2) + a  # 分子
        denominator = 2 * y1  # 分母

    # 如果P≠Q, 斜率k=(y2-y1)/(x2-x1) mod p
    else:
        member = y2 - y1
        denominator = x2 - x1

        if member * denominator < 0:
            flag = 0  # 表示负数
            member = abs(member)
            denominator = abs(denominator)

    # 化简分子分母
    gcd = get_gcd(member, denominator)  # 最大公约数
    member = member // gcd
    denominator = denominator // gcd
    # 求分母的逆元
    inverse_deno = get_inverse(denominator, p)
    # 求斜率
    k = (member * inverse_deno)
    if flag == 0:
        k = -k
    k = k % p

    # 计算P+Q=(x3,y3)
    x3 = (k ** 2 - x1 - x2) % p
    y3 = (k * (x1 - x3) - y1) % p

    return x3, y3


def get_order(x0, y0, a, b, p):
    """
    计算椭圆曲线的阶
    """
    x1 = x0  # -P的横坐标
    y1 = (-1 * y0) % p  # -P的纵坐标
    temp_x = x0
    temp_y = y0
    n = 1
    while True:
        n += 1
        # 累加P,得到n*P=0∞
        xp, yp = get_PaddQ(temp_x, temp_y, x0, y0, a, p)
        # 如果(xp,yp)==-P,即(xp,yp)+P=0∞,此时n+1为阶数
        if xp == x1 and yp == y1:
            return n + 1
        temp_x = xp
        temp_y = yp


def get_dot(x0, a, b, p):
    """
    计算P和-P
    """
    y0 = -1
    for i in range(p):
        # 满足适合加密的椭圆曲线条件,Ep(a,b),p为质数,x,y∈[0,p-1]
        if i ** 2 % p == (x0 ** 3 + a * x0 + b) % p:
            y0 = i
            break
    # 如果找不到合适的y0返回False
    if y0 == -1:
        return False
    # 计算-y
    x1 = x0
    y1 = (-1 * y0) % p
    return x0, y0, x1, y1


def get_graph(a, b, p):
    """
    画出椭圆曲线散点图
    """
    xy = []
    # 初始化二维数组
    for i in range(p):
        xy.append(['-' for i in range(p)])

    for i in range(p):
        value = get_dot(i, a, b, p)
        if value is not False:
            x0, y0, x1, y1 = value
            xy[x0][y0] = 1
            xy[x1][y1] = 1

    print('椭圆曲线散点图:')
    for i in range(p):
        temp = p - 1 - i
        if temp >= 10:
            print(temp, end='')
        else:
            print(temp, end='')

        # 输出具体坐标值
        for j in range(p):
            print(xy[j][temp], end='')
        print()

    print(' ', end='')
    for i in range(p):
        if i >= 10:
            print(i, end='')
        else:
            print(i, end='')

    print()


def get_nG(xG, yG, priv_key, a, p):
    """
    计算nG
    """
    temp_x = xG
    temp_y = yG
    while priv_key != 1:
        temp_x, temp_y = get_PaddQ(temp_x, temp_y, xG, yG, a, p)
        priv_key -= 1
    return temp_x, temp_y


def get_KEY():
    """
    生成公钥私钥
    """
    # 选择曲线方程
    while True:
        a = int(input('输入椭圆曲线参数a(a>0)的值:'))
        b = int(input('输入椭圆曲线参数b(b>0)的值:'))
        p = int(input('输入椭圆曲线参数p(p为素数)的值:'))

        # 满足曲线判别式
        if (4 * (a ** 3) + 27 * (b ** 2)) % p == 0:
            print('输入的参数有误,请重新输入!\n')
        else:
            break

    # 输出曲线散点图
    get_graph(a, b, p)

    # 选择基点G
    print('在上图坐标系中选择基点G的坐标')
    xG = int(input('横坐标xG:'))
    yG = int(input('纵坐标yG:'))

    # 获取曲线的阶
    n = get_order(xG, yG, a, b, p)

    # 生成私钥key,且key<n
    priv_key = int(input('输入私钥key(<%d):' % n))
    # 生成公钥KEY
    xK, yK = get_nG(xG, yG, priv_key, a, p)
    return xK, yK, priv_key, a, b, p, n, xG, yG


def encrypt(xG, yG, xK, yK, priv_key, a, p, n):
    """
    加密
    """
    k = int(input('输入一个整数k(<%d)用于计算kG和kQ:' % n))
    kGx, kGy = get_nG(xG, yG, priv_key, a, p)  # kG
    kQx, kQy = get_nG(xK, yK, priv_key, a, p)  # kQ
    plain = input('输入需要加密的字符串:')
    plain = plain.strip()
    c = []
    print('密文为:', end='')
    for char in plain:
        intchar = ord(char)
        cipher = intchar * kQx
        c.append([kGx, kGy, cipher])
        print('(%d,%d),%d' % (kGx, kGy, cipher), end=' ')

    print()
    return c


def decrypt(c, priv_key, a, p):
    """
    解密
    """
    for charArr in c:
        kQx, kQy = get_nG(charArr[0], charArr[1], priv_key, a, p)
        print(chr(charArr[2] // kQx), end='')
    print()


if __name__ == '__main__':
    xK, yK, priv_key, a, b, p, n, xG, yG = get_KEY()
    c = encrypt(xG, yG, xK, yK, priv_key, a, p, n)
    decrypt(c, priv_key, a, p)

发布于 01-09

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