通俗理解麦克斯韦方程组

通俗理解麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组,19世纪物理学的高峰,表面上看都是最简单的原理,但却蕴含着许多不为人知的秘密。它预测的电磁波的存在,告诉我们光的理论速度,它启发了相对论的基本假设---真空中的光速不变,它改变了并将继续改变我们的世界。我们将尝试用通俗的方法理解麦克斯韦方程组,并尝试用最简单合理的方法推导光速。

首先看麦克斯韦方程组,它包含四个公式,前两个是电场和磁场的高斯定理,非常简单,非常符合直觉,它说电磁通量是在空间上是守恒的。就像一条河里的水流,不管宽的地方还是窄的地方,流量总是相同的。麦克斯韦的前两个公式其实就是在说这个朴素的概念。

具体看,第一个公式,电场的高斯定理:

 \oint  \boldsymbol E \cdot d\boldsymbol A = {Q \over \epsilon_0} \\

\boldsymbol  E 表示电场 , 这是在说穿过一个任意的封闭曲面的电场通量正比于其内部的包裹的电荷量,无论怎么改变这个封闭曲面,远一点还是近一点,大一点还是小一点,电场通量从电荷出发后,不会凭空消失,也不会凭空产生。 \epsilon_0 是这里的系数,它等于介电常数。

第二个公式,磁场中的高斯定理:

\oint  \boldsymbol B \cdot d\boldsymbol A = 0 \\

由于目前还没有发现磁单极子,任意封闭曲面内不可能有磁场的源头,所以就直接等于0了。现在观测到的磁场都是无源场。它无头无尾,要么首尾相接成环,要么从无穷远来到无穷远去。这似乎破坏了麦克斯韦方程组平衡的美感,所以许多科学家也一直在寻找磁单极子,谁能找到它或者证明它不存在,谁就能拿到诺贝尔奖。

接着往下看,麦克斯韦方程组的后两项其实就是我们高中就学过的法拉第电磁感应定律和安培定律

法拉第定律

 \oint  \boldsymbol E \cdot d\boldsymbol l = -\frac{d  \Phi_{\boldsymbol B}}{dt}\\

这个伟大的公式在说感应电场的强度正比于磁通量的变化率,左边在说感应电场在一个封闭曲线上的空间积累量(不严谨地可以叫做电压),它正比于右边磁通量的变化速度。想想发电机和第二次工业革命给我们世界带来的巨大变化,其最核心的规律就是这个简单的公式。

第四个公式,安培定律

 \oint  \boldsymbol B \cdot d\boldsymbol l = \mu_0\epsilon_0 \frac{d  \Phi_{\boldsymbol E}}{dt} + \mu_0 I \\

法拉第定律告诉我们如何用磁生电,安培定律告诉我们如何用电生磁。如果只有法拉利定律,我们发的那么多电可能只能用来点亮电灯,有了安培定律,我们还可以拥有电机,机器代替手工业,法拉第定律和安培定律都是改变世界的重大发现

我们具体来看一下这个公式,和法拉第电磁感应定律类似,这个公式右边第一部分在说感应磁场在空间环路上的积累正比于电场通量的变化速度。除此之外,为什么相比法拉第定律这个公式多了第二项呢?这是因为磁单极子不存在,但是电荷是存在的,除了变化的电场能产生磁场外,电流 I 也可以产生磁场(例如一个通直流电的导线就是一个不变电场但是有电流的情况),就像一个通电的线圈可以当作一个磁铁。我们大胆假设,如果有人发现了磁单极子,那么它的运动很可能会产生电场,法拉第定律将补上一项。

好了,麦克斯韦方程组就说完了,超级简单又十分优美。总结来讲就是高斯定律,法拉第定律和安培定律通俗来讲就是电磁流量守恒,磁能生电,电能生磁

预测电磁波和它的理论速度

如果仅仅是把这些规律写成四个方程,那麦克斯韦仅仅是做了个归纳,他更伟大的成就在于预言了电磁波的存在,并计算了它的理论速度。如此伟大的发现足以得诺贝尔奖,只可惜当时还没有诺贝尔奖。我们来看一看电磁波的预测是怎么做到的。

电场能激发磁场,磁场能激发电场,想到这一点,我们自然就会想它会不会形成一种无须介质,靠两个场就能相互激发传导的波;这里我们先假设它存在,考虑空间中传播的一束波,由于不需要依赖介质,不需要电荷和电流,麦克斯韦方程组可以简化为:

\oint  \boldsymbol E \cdot d\boldsymbol A = 0\\ (1)

\oint  \boldsymbol B \cdot d\boldsymbol A = 0 \\ (2)

 \oint  \boldsymbol B \cdot d\boldsymbol l = \mu_0\epsilon_0 \frac{d  \Phi_{\boldsymbol E}}{dt} \\ (3)

\oint  \boldsymbol E \cdot d\boldsymbol l = -\frac{d  \Phi_{\boldsymbol B}}{dt}\\ (4)

本文力求通俗又兼顾专业,为了便于数学推导,我们简化问题为空间中的平面波(可以理解为一束平行光),这样的波在前进方向的截面上处处性质相同,也就是说像下图所示的P1 或者P2 平面上的 \boldsymbol E\boldsymbol B 处处相同(要注意P1和P2上的点彼此不一定相等,只是内部相等)。下图中我们先入为主地认为磁场和电场都只有截面方向的分量,没有 x 轴方向的分量,这其实是可以根据高斯定理推论得到的,如果有 x 方向上的分量,也只能是常量,不能是变化量,否则电场磁场的通量将不一定为0,而如果是常量,它不影响后面的推导,因为只有变化的电场磁场才会在法拉第定律和安培定律中起作用,常量应该都是可以抵消的。这里简单起见,我们假设电场和磁场的只有 yz 方向的分量,且根据电磁感应的基本定律,他们应该相互垂直。

图1 分析变化的电场对磁场的影响


这样一种磁场电场的状态能到底不能形成波呢?它的波速应该是多少呢?磁场和电场应该如何变化和传播呢?我们假设电场在时空上的分布 E(x,t) , 磁场分布为 B(x,t) ,这里我们忽略了空间上的 yz ,因为我们考虑的是平面波,正如之前说过,只要它在同一个 x ,不同 y, z 上的取值应该是一样的。

我们考虑上图所示的紫色小矩形区域 gfeh , y 方向的高度为 agf 边长为 \Delta x ,根据法拉第电磁感应定律,这个波的这个位置,有这样的电场和磁场,必须满足:

\oint_{fghe} \boldsymbol E \cdot d\boldsymbol l = -\frac{d  \Phi_{\boldsymbol B}}{dt} \\

左边, gfhe 都和 \boldsymbol E 的方向垂直,因此处处内积为0,曲线积分为0。 剩下两个边, ef 上的电场为 \boldsymbol  E(x+\Delta x) , 而 gh 上的电场为 \boldsymbol  E(x) 。 因此有:

left = a \left(\boldsymbol  E(x+\Delta x) - \boldsymbol E(x) \right)\\

右边,需要计算磁通量,磁场在 x 方向是变化的,因此我们做一个积分:

 \Phi_B (t) =\int_{x}^{x +\Delta x}\boldsymbol B(x,t)~a ~dx \\

求导:

right=-\frac{d  \Phi_{\boldsymbol B}}{dt} = -a\int_{x}^{x +\Delta x}{\partial \boldsymbol B(x,t) \over \partial t} ~dx\\

根据左式等于右式,就有:

 \boldsymbol  E(x+\Delta x) - \boldsymbol E(x)  = -\int_{x}^{x +\Delta x}{\partial \boldsymbol B(x,t) \over \partial t} ~dx\\

我们希望建立每一个点上的函数关系,因此这里我们需要考虑 \Delta x 足够小。于是两边除以 \Delta x 并取取极限 \Delta x \rightarrow 0

 \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\boldsymbol  E(x+\Delta x) - \boldsymbol E(x)}{\Delta x}  = -\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\int_{x}^{x +\Delta x}{\partial \boldsymbol B(x,t) \over \partial t} ~dx}{\Delta x}\\

得到:

 {\partial \boldsymbol E(x,t) \over \partial x} = -{\partial \boldsymbol B(x,t) \over \partial t} \\(5)

上面就是用磁生电的法拉第定律得到的磁场在时间上的变化对电场在空间上分布的影响,接下来,我们希望利用安培定律得到电场在时间上的变化对磁场在空间上分布的影响。我们把刚才的紫色矩形放倒到 zx 平面:

图2 分析变化的磁场对电场的影响


用对上面同样的方法我们可以得到(只是符号有些不一样):
\oint_{fghe} \boldsymbol B \cdot d\boldsymbol l = -a(\boldsymbol  B(x+\Delta x) - \boldsymbol B(x))\\

 \mu_0\epsilon_0 \frac{d  \Phi_{\boldsymbol E}}{dt} = a \mu_0\epsilon_0  \int_{x}^{x +\Delta x}{\partial \boldsymbol E(x,t) \over \partial t} ~dx\\

根据安培定理:

 -(\boldsymbol  B(x+\Delta x) - \boldsymbol B(x) )= \mu_0\epsilon_0  \int_{x}^{x +\Delta x}{\partial \boldsymbol E(x,t) \over \partial t} ~dx \\

两边除 \Delta x 并取极限得到:

 -{\partial \boldsymbol B(x,t) \over \partial x} =  \mu_0\epsilon_0 {\partial \boldsymbol E(x,t) \over \partial t}\\ (6)

这表示电场在时间上的变化对磁场在空间上变化的影响

接下来,我们想把公式(5)和公式(6)合并起来

先对(5)空间方向再求导 ( x 方向):

 {\partial^2 \boldsymbol E(x,t) \over \partial x^2} = -{\partial^2 \boldsymbol B(x,t) \over \partial x\partial t}\\ (7)

然后对(6)时间方向求导:

-{\partial^2 \boldsymbol B(x,t) \over \partial x \partial t} =  \mu_0\epsilon_0 {\partial^2 \boldsymbol E(x,t) \over \partial t^2}\\ (8)

(7)右边和(8)左边是一样的,把他们合并我们就可以见证奇迹了:

{\partial^2 \boldsymbol E(x,t) \over \partial x^2} = \mu_0\epsilon_0 {\partial^2 \boldsymbol E(x,t) \over \partial t^2} \\ (9)

这就是波动方程(wave equation),在磁场方向我们能得到相似结果(只需要先对公式5在时间上求导,然后对公式6在空间上求导就可以得到),这个形式的方程印证了电磁波的存在,给定一定的初始条件和边界条件,你就可以得到一个具体的波了,不管是正弦的,余弦的,方的,脉冲的波都是这个方程的解,具体是什么形式就取决于你激发它的方式和边界条件的约束了。这个方程的形式和机械波中波动方程形式是相同的,如果你熟悉波动方程,你应该知道它的波速c和中间的 \mu_0 \epsilon_0 有密切关系,具体这个关系怎么求呢?很多书上都没说清楚,这里我们索性讲一讲:

{\partial^2 \boldsymbol E(x,t) \over \partial x^2} = \mu_0\epsilon_0 {\partial \left( {\partial\boldsymbol E(x,t) \over \partial x } {\partial x\over \partial t}\right)  \over \partial x} {\partial x\over \partial t} \\ (10)

这里我们根据链式法则,我们把(9)右式对时间的两次对时间的导数拆分为对 x 的导数,然后 x 再对时间求导。这里,设{\partial x\over \partial t}=c ,表示波上某一点( 某一y上的点 ), x 随时间的变化率,也就是波速。由于 x 肯定不是 x 的函数,(10)中内层求导可以直接当成常数拿出来,得到:

{\partial^2 \boldsymbol E(x,t) \over \partial x^2} = \mu_0\epsilon_0 {\partial \left( {\partial\boldsymbol E(x,t) \over \partial x } \right)  \over \partial x} c^2\\

化简:

 {\partial^2 \boldsymbol E(x,t) \over \partial x^2} = \mu_0\epsilon_0 {\partial^2 \boldsymbol E(x,t) \over \partial x^2} c^2 \\

约分整理得到:

1 = \mu_0\epsilon_0  c^2\\

c = {1 \over \sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} \\ #

看到这里,你应该感到惊叹,光速居然仅仅取决于 \mu_0,\epsilon_0 这两者都是静态电场/磁场中吸引/排斥力强度计算时的一个系数,相当于万有引力常量这样静态存在的量。我们通过测量一个静态属性,就可以得到光速,这就好像我坐在汽车里面闭上眼睛,仅仅通过触摸方向盘的震动就知道了车行进的速度! 这是麦克斯韦方程组告诉我们的世界的秘密,它让我们对世界的理解更进了一步。

更有意思的是,电磁波方程推导不需要任何介质作为参考系,光速仅仅取决于 \mu_0,\epsilon_0 。如果光速在不同惯性系中观察到的值不同,只有可能是 \mu_0,\epsilon_0 在不同速度惯性系中取值不同,那意味着同样的电荷之间吸引力就变了,这太可怕了,我们还是相信物理规律在所有惯性系中是不变的,爱因斯坦就是有这样的信念,不相信有诸如有以太之类的物质定义一个绝对的时空,或者区别速度不一样的惯性系。于是就有了那个著名的假设---光速不变, 然后才有了狭义相对论。爱因斯坦利用这个简单的假设就得到了诸多漂亮的结论,诸如光速不可超越,时钟变慢, E=mc^2 等等。

这些东西告诉我们原子核蕴藏巨大的能量,告诉我们时空穿越到未来的可能,这些一点也不虚无缥缈,而是一个个地正在成为现实。

编辑于 2020-01-23