“有趣的数学小游戏”背后的数学原理

“有趣的数学小游戏”背后的数学原理

所谓“有趣的数学小游戏”参见 @physixfan 的文章:

physixfan:为什么频繁交易的人大多数在股市上都赔钱了?一个有趣的小数学游戏也许可以解答zhuanlan.zhihu.com图标

游戏规则是:若投入的资金是m,那么有1/2的概率下一期变为1.2m,有1/2的概率下一期变为0.83m。改写成对数形式的话就是:1/2下一期资金的对数为ln m + ln 1.2,1/2的概率下一期资金的对数为 ln m + ln 0.83。

记第n期的资金为M(n),则经过n期后,资金的对数可以表示为

ln M(n) = ln M(0) + n ln 0.83 + (ln 1.2 - ln 0.83) X

其中X~B(n,1/2),由正态近似可知当n趋近于无穷时X ~ N(n/2, n/4),于是

ln M(n) ~ N (ln M(0) + n (ln 0.83 + ln 1.2)/2, (ln 1.2 - ln 0.83)^2*n/4)

即M(n)服从对数正态分布,于是

E[M(n)] = exp(ln M(0) + n (ln 0.83 + ln 1.2)/2 + (ln 1.2 - ln 0.83)^2*n/8)

~ M(0) * [exp(0.015)]^n > M(0)

其中 0.015 ~ (ln 0.83 + ln 1.2)/2 + (ln 1.2 - ln 0.83)^2/8

也就是说,参与游戏在期望上总是赚钱的


另一方面,赚到钱的概率则是

Pr(M(n)>M(0)) = Pr(ln M(n) > ln M(0))

= Phi[(n (ln 0.83 + ln 1.2)/2) / sqrt((ln 1.2 - ln 0.83)^2*n/4)]

~ Phi[sqrt(n) * (-0.01087)] --> 0

其中Phi()表示标准正态分布的CDF;由于sqrt(n)随着n趋于正无穷也趋于正无穷,显然参与无穷轮时赚到钱的概率无限趋近于0

另外,代入n=30000,上述概率约为2.98%,符合原文中说“100人中有2~3人赚钱”


实际上由于期望中指数函数的存在,增长速度是非常可观的,当n=30000时期望大概在10^195这个量级,但是达到这个期望的概率是

Pr(M(n)>E[M(n)]) = Pr(ln M(n) > E[ln(M(n)] + Var[ln(M(n))]/2])

= Phi[- sqrt(n)*(ln 1.2 - ln 0.83)/4]

~ Phi[ sqrt(n) * (-0.09216)]

代入n=30000,上述概率在10^(-57)的量级,几乎可以忽略不计。

发布于 2020-01-18