网络赌博在凯利公式里的应用技巧数学提升赔率和胜率你知道多少?

凯利公式最初为 AT&T 贝尔实验室物理学家约翰·拉里·凯利根据他的同僚克劳德·艾尔伍德·夏农于长途电话线杂讯上的研究所建立。凯利解决了夏农的资讯理论要如何应用于一名拥有内线消息的赌徒在赌马时的问题。赌徒希望决定最佳的赌注金额,而他的内线消息不需完美(无杂讯),即可让他拥有有用的优势。凯利的公式随后被夏农的另一名同僚爱德华·索普应用于二十一点和股票市场中。

索普利用工作之余,通过数个月的艰苦演算,写了一篇题为《“二十一点”优选策略》的数学论文。他利用自己的知识,一夜之间“奇袭”了内华达雷诺市所有的赌场,并成功的从二十一点赌桌上赢得了上几十万美元。他还是美国华尔街量化交易对冲基金的鼻祖,70年代首创第一个量化交易对冲基金。1962年出版了他的专著《打败庄家》,成为金融学的经典著作之一。



凯利公式志在解决的问题

假设赌局1:你赢的概率是60%,输的概率是40%。赢时的净收益率是100%,输时的亏损率也是100%。也即,如果赢,那么你每赌1元可以赢得1元,如果输,则每赌1元将会输掉1元。赌局可以进行无限次,每次下的赌注由你自己任意定。问题:假设你的初始资金是100元,那么怎么样下注,即每次下注金额占本金的百分之多少,才能使得长期收益最大?



对于这个赌局,每次下注的期望收益是下注金额的60%*1-40%*1=20%,期望收益为正。也就是说这是一个对赌客占优的赌局,而且占得优势非常大。
那么我们应该怎么样下注呢?
如果不进行严密的思考,粗略的想象一下,我们会觉得既然我每次赌的期望收益是20%,那么为了实现长期的最大收益,我应该在每次赌博中尽量放入更多比例的本金。这个比例的最大值是100%。
但是显然每一局赌博都放入100%的本金是不合理的,因为一旦哪一次赌博赌输了,那么所有的本金就会全部输光,再也不能参加下一局,只能黯然离场。而从长期来看,赌输一次这个事件必然发生,所以说长期来看必定破产。


所以这里就得出了一个结论:只要一个赌局存在一下子把本金全部输光的可能,哪怕这个可能非常的小,那么就永远不能满仓。因为长期来看,小概率事件必然发生,而且在现实生活中,小概率事件发生的实际概率要远远的大于它的理论概率。这就是金融学中的肥尾效应
那么到底怎么下注才能使得长期收益最大呢?
是否比例越小越好呢?应该不是,因为当比例变成0的时候显然也不能赚钱。
那么这个最优的比例到底是多少呢?
这就是著名的凯利公式所要解决的问题!


凯利公式介绍
其中f为最优的下注比例。p为赢的概率。rw是赢时的净收益率,例如在赌局1中rw=1。rl是输时的净损失率,例如在赌局1中rl=1。注意此处rl>0。
根据凯利公式,可以计算出在赌局1中的最有利的下注比例是20%。
凯利公式理解
凯利公式的数学推导及其复杂,需要非常高深的数学知识,所以在这里讨论也没有什么意义。哎,说白了其实就是我也看不大懂。在这里我将通过一些实验,加深大家对凯利公式主观上的理解。


我们再来看一个赌局。赌局2:你输和赢的概率分别是50%,例如抛硬币。赢的时候净收益率为1,即rw=1,输的时候净损失率为0.5,即rl=0.5。也就是说当你每赌一元钱,赢的时候你能再赢1元,输的时候你只要付出去5毛。
容易看出赌局2的期望收益是0.25,又是一个赌客存在极大优势的赌局。
根据凯利公式,我们可以得到每局最佳的下注比例为:
也就是说每次把一半的钱拿去下注,长期来看可以得到最大的收益。
当然凯利公式在实际的运用中不可能这么的简单,还有很多的困难需要克服。比如说杠杆交易所需要的资金成本,比如说现实中资金并不是无限可分的,比如说在金融市场并不像上文提到的简单的赌局那么简单。但是不管怎么样,凯利公式为我们指明了前进的道路。

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编辑于 2020-01-18