高斯光束的两种相位函数
之前写了一篇有关高斯光束的回答，写的时候还在想，这个问题没有提，会不会有小伙伴犯迷糊，然后果然就有学习物理竞赛的小伙伴私信雪球了。这个小伙伴还是很厉害的，自己把我回答里的两种高斯光束相位函数通过菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式一步步推出来了，对于中学生来说真的挺不容易的。但是做题的时候小伙伴遇到了一点麻烦，发现题目答案和推出来的公式好像有点区别。这个问题其实非常简单，一句话就能说清楚，但是鉴于确实是一个易错点，所以水一篇文章给大家提个醒。
首先来看厄米-高斯光束的相位函数。腔内的场可以写作：
E_{mn}(x,y,z)=A_{mn}E_0\frac{w_0}{w(z)}\operatorname H_m[\frac{\sqrt 2}{w(z)}x]\operatorname H_n[\frac{\sqrt 2}{w(z)}y]\mathrm{e}^{-\frac{r^2}{w^2(z)}}\mathrm{e}^{-i\Phi(x,y,z)}\tag 1
其中：
\begin{cases} &w(z)=\sqrt{\frac{L\lambda}{2\pi}(1+\xi^2)}=\frac{w_{0s}}{\sqrt 2}\sqrt{1+(\frac zf)^2}=w_0\sqrt{1+(\frac zf)^2}\\ &\Phi(x,y,z)=k[f(1+\xi)+\frac{\xi}{1+\xi^2}\frac{r^2}{2f}]-(m+n+1)(\frac \pi 2-\Psi)\\ \end{cases}\tag 2
式中参数为：
\begin{cases} &\Psi=\arctan\frac{1-\xi}{1+\xi}\\ &\xi=\frac{2z}L=\frac zf\\ \end{cases}\tag 3
其中 L 为腔长， f=\frac L2 是共焦腔焦距。 \Phi 就是相位函数。
对于拉盖尔-高斯光束，相位函数仅仅有一点点差异，后面的 n 换成二倍就行：
\Phi(x,y,z)=k[f(1+\xi)+\frac{\xi}{1+\xi^2}\frac{r^2}{2f}]-(m+2n+1)(\frac \pi 2-\Psi)\tag4
根据这个相位函数，利用：
2[\Phi_{mn}(0,z_2)-\Phi_{mn}(0,z_1)]=-2t\pi\tag 5
就可以求出 TEM_{mnt} 模的谐振频率：
\begin{align} &\nu_{mnt}=\frac{c}{2nL}[t+\frac 1\pi(m+n+1)\arccos \sqrt{g_1g_2}]\\ &\nu_{mnt}=\frac{c}{2nL}[t+\frac 1\pi(m+2n+1)\arccos \sqrt{g_1g_2}]\\ \end{align}\tag 6
以上一个是方形镜腔，一个是圆形镜腔。
以上这些都没毛病，但是小伙伴的问题在于这道题：
下图所示方形镜谐振腔是稳定腔，凸透镜左右两端高斯光束共焦参数为 f_1、f_2 ，求 TEM_{mnq} 模谐振频率表达式。
这个题雪球做，直接套公式就出来了：
\nu_{mnq}=\frac{c}{2(d_1+d_2+d_3)}[q+\frac{m+n+1}\pi (\arctan\frac{d_1}{f_1}+\arctan\frac{d_2}{f_2}+\arctan\frac{d_3}{f_2})]\tag 7
小伙伴却有一个问题：按照上面的相位公式，反正切函数里面应该是一个 \frac{z-f}{z+f} 的形式，怎么到这里就变成了 \frac zf 的样子呢？
这个问题很简单：取前面的形式是以 z=-f ，也就是共焦腔的镜面作为相位起点计算，而后面的形式，则是采用高斯光束束腰处 z=0 作为相位计算的零点。上面的题目，关键的距离节点都是卡在高斯光束束腰地方的，所以显然以束腰作为起点算相位更容易。在这种坐标系下，相移就自然是 \arctan\frac zf 的形式了。
为了说明两种计算方法的统一性，我们看下面这道题：这是一个平-凹谐振腔，腔长满足参数式 d=\frac 34R_2 ，求 TEM_{00 } 模谐振频率。
首先可以采用上面式子（2）（4） \arctan \frac{z-f}{z+f} 形式推出的表达式（6）直接代入，对于基模方形镜圆形镜无所谓的，因为 n=0 。代入（6）直接计算就是：
\nu_{00t}=\frac c{2d}(t+\frac 13)\tag 8
我们当然也可以采用第二种相位零点计算，因为平-凹腔 R_1 镜子处就是高斯光束束腰的位置，那么关键就是要求出这个等效的 f 。这个方法其实并不建议用，因为等效焦距公式太复杂了，很多小伙伴容易记错：
\begin{align} f&=\lim_{R_1\to\infty}\sqrt{\frac{d(R_1-d)(R_2-d)(R_1+R_2-d)}{(R_1+R_2-2d)^2}}\\ &=\sqrt{d(R_2-d)}\\ &=\frac{\sqrt 3}4R_2 \end{align} \tag 9
这个极限怎么求，这里事无巨细地多唠叨一句，看 R_1 最高次项（平方项）分子分母系数就行，直接把平方项系数提出来算，千万别展开求极限或者洛必达，这个极限是直接看出来的。
然后应用第二种算法：
\frac zf=\frac{d}{\frac{\sqrt 3}4R_2}=\sqrt 3\tag{10}
然后 \arctan\sqrt3=\frac{\pi}3 ，前面乘以 \frac 1\pi 系数变为 \frac 13 ,和（8）式答案一样的。可以看出，去两种坐标系的结果殊途同归。
实际应用该怎么选择，关键是看束腰位置好不好找，如果好找，直接用第二种相移公式更方便一些，因为是直接将束腰处定位原点，但是如果束腰位置没有那么显然，先求出等价共焦腔，再使用等价共焦腔镜面处为零点计算，直接套公式（6）会简单一些，具体情况具体分析就好。
最后祝小伙伴们在全国中学生物理竞赛中金榜题名！
