【极限】一篇文章,给高中生简单介绍极限

这篇文章和上一篇文章一样,同样面向高中生,简单介绍“极限”是什么。

这是我写的上一篇文章:

Dylaaan:【洛必达】一篇文章,给高中生讲清楚洛必达zhuanlan.zhihu.com图标

在讲完洛必达法则后,我写到“高中数学的课本中没有讲到极限的定义”,但是遭到一些人的质疑,比如“高中明明有讲极限,在导数那里用到了”和“趋近的过程不就是极限吗?”。

因此我决定再写一下极限的简单概念,并说明我个人的一个观点:高中课本中的微积分,再往下深究的话会发现都是bullshit

当然,这篇文章也只是简单讲解了一下极限,适合学有余力的学生,更深入的学习留在大学。


一、高中如何讲极限?

高中的课本中,认为“趋近”就是极限了,这本质上是没错的。但是高中一般认为“趋近”就是“等于”。例如在求 f(x)=x^2 的导数时,根据导数的定义,令 \Delta x\rightarrow 0 ,有:

f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\frac{(x+\Delta x)^2 -x^2}{\Delta x}

=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{2x\cdot\Delta x+\Delta x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(2x+\Delta x)=2x

在这里其实用到了极限 \lim_{\Delta x\rightarrow 0}(\Delta x)=0 ,这其实是比较自然的。

有了极限的定义后,自然就有了无穷大。考虑函数 f(x)=\frac{1}{x} ,其中 x>0 ,当 x\rightarrow 0 时,我们知道 f(x)\rightarrow +\infty 。可是什么是无穷大呢?无穷大是一个数吗?

如果无穷大是一个数的话,我们这么做:当 x=0 时,记 \frac{1}{x}=\infty 。根据上面同样的过程,我们知道当 x\rightarrow 0 时, \frac{2}{x}\rightarrow +\infty ,因此还有 \frac{2}{x}=\infty 。由此得到 \infty=2\infty ,根据最基本的算术规则,可以解得 \infty=0出问题了!

因此“趋近”并不就是简单的“等于”。那么要怎么刻画极限呢?我们先从数列出发。


二、数列的极限

比如说对于数列 \{x_n\} ,其通项公式为x_n=1+\frac{1}{n},我们可以直观地感觉到,当 n\rightarrow \infty 时, x_n\rightarrow 1 ,也即 \lim_{n \rightarrow \infty}{x_n}=1 。要怎么刻画这个过程呢?

数学家们采用的是这个方法:当 n 足够大时,要让 |x_n-1| 充分小。

“充分小”指的是对任意实数 \epsilon >0 ,都有 |x_n-1|<\epsilon ;而足够大呢,只要有一个很大的正整数 N ,让 n>N 就行。


定义1 设数列 \{x_n\} 满足:存在实数 A ,使得对任意 \epsilon >0 ,都存在正整数 N ,当 n>N 时, |x_n-A|<\epsilon ,则称 \lim_{n \rightarrow \infty}{x_n}=A ,也即实数 A 是数列 \{x_n\} 的极限。


除此之外,数列 \{x_n\} 也会有极限不存在的情况:

定义2 设数列 \{x_n\} 满足:对任意 G >0 ,都存在正整数 N ,当 n>N 时, |x_n|>G ,则称 \lim_{n\rightarrow \infty}{x_n}=\infty ,也即数列 \{x_n\} 的极限是无穷大。


这个就是数列极限的严格定义。同时,存在极限的数列称为是收敛的,不存在极限(包括极限为无穷大)的数列称为是发散的

例如对于数列 x_n=1+\frac{1}{n} ,要令 |x_n-1|=|1+\frac{1}{n}-1|=\frac{1}{n}<\epsilon ,只需要 n>\frac{1}{\epsilon} 。我们取 N=[\frac{1}{\epsilon}]+1>\frac{1}{\epsilon} ,其中 [x] 是取整函数,那么可以得到什么样的效果呢?

n>N>\frac{1}{\epsilon} 时, |x_n-1|=\frac{1}{n}<\epsilon ,这就说明 \lim_{n \rightarrow \infty}{x_n}=1

再比如对于数列 x_n=1-\frac{1}{2^n} ,怎么求它的极限呢?

容易先猜出 \lim_{n \rightarrow \infty}{x_n}=1 ,要令 |x_n-1|=\frac{1}{2^n}<\epsilon ,只需要 2^n>\frac{1}{\epsilon} ,也即 n>\log _2\frac{1}{\epsilon} 。我们取 N>[\log_2 \frac{1}{\epsilon}]+1 即可。


同时,有了数列的极限之后,我们可以求出 \sqrt {2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}} 的值。

x_1=\sqrt 2x_{n+1}=\sqrt{2+x_n} ,设 \lim_{n \rightarrow \infty}{x_n}=x ,两边取极限得 x=\sqrt {2+x} ,得到二次方程 x^2-x-2=0 ,解得 x=2 ,因此 \lim_{n \rightarrow \infty}{x_n}=2

当然,上面省去了证明数列 \{x_n\} 收敛的过程,这个需要用到更多极限的性质,在这里就不过多介绍了。


当然还有一个很经典的例子,就是 0.999\cdots =1

x_1=0.9x_2=0.99 ,以此类推,其实很容易写出其递推式: x_n=1-(\frac{1}{10})^n ,接下来容易用类似的方法,证明出 \lim_{n\rightarrow \infty}{x_n}=1


三、函数的极限

谈完数列后,我们可以再来看函数的极限。

函数的极限相对来说更为复杂,因为自变量 x 可能趋于正负无穷大,也可能趋于 0 ,甚至可能趋于某个实数 x_0

如果自变量 x 趋于无穷大的话,只要 |x| 可以任意大就行了。与之相反的是,如果自变量 x 趋于某个实数 x_0 ,那么就需要 |x-x_0| 任意小。


定义3 设函数 f(x) 满足:存在实数 A ,使得对任意 \epsilon>0 ,都存在 \delta>0 ,当 0<|x-x_0|<\delta 时, |f(x)-A|<\epsilon ,则称 \lim_{x \rightarrow x_0}{f(x)}=A ,也即当 x 趋于 x_0 时,函数 f(x) 的极限是 A


定义4 设函数 f(x) 满足:对任意 \epsilon>0 ,都存在 X>0 ,当 x>X 时, |f(x)-A|<\epsilon ,则称 \lim_{x \rightarrow +\infty}{f(x)}=A ,也即当 x 趋于正无穷时,函数 f(x) 的极限是 A


类似地可以定义 x 趋于负无穷,或是函数 f(x) 的极限为无穷大的情况。

看起来很绕,但其实只需要记住这是一个“接近”的过程就好了。

当然,容易发现数列的极限和函数的极限有着“异曲同工之妙”。甚至在某种程度上,数列其实是“离散”的函数。

下面介绍Heine归结原理,可以在某种程度上,揭示函数的极限与数列的极限的关系。


Heine归结原理 给定函数 f(x) ,则 \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A 的充分必要条件是,对任何以实数 x_0 为极限且不为 x_0 的数列 \{x_n\} ,有 \lim_{n\rightarrow +\infty}f(x_n)=A


证明在此处省略,感兴趣的话可以在网上或者在数学分析的书上找到详细的证明。事实上,这个定理在直观上还是很好理解的。


四、小结

事实上,对于高中生来说,最常见到的极限就是“洛必达”或者“趋于无穷大”。

高中课本比较难受的是,并没有介绍什么是“极限”,却开始讲导数了。

虽然现在大家知道极限的严格定义了,但在做题时,改卷老师还是默认大家是不知道的。

因此如果出现“洛必达”或是“无穷大”,还是会酌情扣分的。

关于什么是“洛必达”,以及如何在高考中绕开使用“洛必达”,可以参考我的上一篇文章:

Dylaaan:【洛必达】一篇文章,给高中生讲清楚洛必达zhuanlan.zhihu.com图标

而要避免“趋于无穷大”,可以通过放缩取点,放缩的方法如下:

Dylaaan:【导数压轴题】所谓“放缩”——简单函数不等式zhuanlan.zhihu.com图标Dylaaan:【导数压轴题】再谈“放缩”——几个进阶不等式zhuanlan.zhihu.com图标

这篇文章介绍的东西非常浅,深入的学习还是需要大学的课程。

顺便,这里有个 @伯理日天德 写的回答,可以帮助大家理解:

怎样用白话描述函数极限定义?www.zhihu.com图标

编辑于 2020-02-21

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