【导数问题】函数逼近的一些方法

写在开头：

高考中常常会遇到函数逼近的问题，事实上许多的函数逼近问题都以高等数学中“泰勒展开”为背景。由泰勒公式的思路，我们也可以联想到帕德逼近的方法，笔者写下这篇文章，由浅入深，以飨诸位高三学生。

一、切线放缩

在研究函数时，我们常常使用某一复杂函数在某一点的切线来在某一区域内逼近这个复杂函数。比如以下常见的不等式：

1. \sin x \leq x \leq \tan x

2. e^{x} \geq x+1

3. e^{x} \geq ex

4. \ln x \leq x-1

5. \ln x \leq \frac{x}{e}

这些放缩往往在切点附近有很好的逼近效果，其原因在于在切点处这个复杂函数和一次函数具有相同的函数值和一阶导数值。

二、泰勒展开逼近（多项式逼近）

我们有理由预测，当两个函数在某点更高阶的导数均相同时，这两个函数在这一点附近将更加接近。设 f(x) 是一个较为复杂的函数， g(x) 是多项式函数，在 x=x_{0} 处，若满足：

f(x_{0})=g(x_{0})\\ f'(x_{0})=g'(x_{0})\\ ...\\ f^{(n)}(x_{0})=g^{(n)}(x_{0})

则两个函数在x=x_{0}附近将有非常好的拟合效果。事实上， n=1 的时候就是切线放缩的情况。首先考察 f(x)=e^{x} 在 n=2,x_{0}=0 时的情况：

设多项式 g(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2} ，易得g'(x)=a_{1}+2a_{2}x ， g''(x)=2a_{2} ，

代入上述式子，得到 g(x)=1+x+ \frac{1}{2} x

接下来证明 x \geq0 时， f(x) \geq g(x) ， x \leq 0 时， f(x) \leq g(x) ：

同理可以得到以下有用的式子：

1. e^{x} \geq \frac{1}{2}x^{2}+x+1

2. e^{x}+e^{-x}\geq x^{2}+2

3. \sin x\geq x-\frac{x^{3}}{6}

4. \ln (x+1)\geq x-\frac{x^{2}}{2}

三、帕德逼近（分式逼近）

根据上面得到的式子，我们可以做一些等价变形：

这些公式的确是上述公式的变形，可是仔细观察不难发现，这些公式的一边仍然是指数函数，对数函数，而另一边却是分式函数，模仿泰勒展开，我们不难想到：

设 f(x) 是一个较为复杂的函数， g(x)=\frac{a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}}{b_{0}+b_{1}x+...+b_{m}x^{m}} 是分式函数，在 x=x_{0} 处，若满足：

f(x_{0})=g(x_{0})\\ f'(x_{0})=g'(x_{0})\\ ...\\ f^{(m+n)}(x_{0})=g^{(m+n)}(x_{0})

则两个函数在 x=x_0 附近将有更好的拟合效果。当m=0时，帕德逼近就是泰勒展开逼近。

下面列出 f(x)=e^x 的一些帕德逼近公式：

注：括号中表示在x=0附近前后逼近公式与 f(x)=e^x 的大小关系。

不难观察得，这个表格中的公式关于对角线有较好的对称性，如不难得到以下关系：

接下来考虑函数 f(x)= \ln (x+1) 的帕德逼近：

注意到 f(0)=0 ，所以分子为零次的情况无意义。

沿着坐标轴平移，不难得到：

值得注意的是，函数 g(x)=\frac{x^2-1}{2x} 虽然没有在帕德逼近的公式中出现，但是它对 f(x)= \ln x 的逼近也有较好的效果，起原因在于两个函数在 x=x_0 处函数值，一次导数，二次导数均相等（但是三阶导数不相等）。

四、例题

五、总结

函数是数学中不可避免要遇到的，一些较为复杂的函数可能难以处理。如果可以选用恰当的点，构造合适的函数（一次函数、幂函数、分式函数），那么在这个点附近，用所构造的函数将可以非常好的模拟原来的函数的变化关系。从而达到逼近，化简，放缩的目的。

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