[科普文]——Laplace变换与Fourier变换之间有何关系?

[科普文]——Laplace变换与Fourier变换之间有何关系?

大家好!这是一篇有关 \rm{Fourier} 变换和 \rm Laplace 变换的科普文章。这篇文章是在我看了一个youtuber大佬的视频有感才写的,意在讲出两种变换的关系,视频连接[1]会放在最后。长文警告啊hhh。

还是之前的原则,带 \bigstar 的部分作为选读部分。其余的部分相信学过一点复数的基本知识和复数的四则运算和初等函数的朋友应该可以看懂。带 \bigstar 的部分也不难,只要你学过高等数学和常微分方程也能够看懂。

因为我开学啦,所以这一篇文章之后会有一个较长的封笔期,但我应该还是可以在一个月内完成一个创作哒~


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\rm{Fourier} 变换是 \rm{Laplace} 变换的“切片”

在正式开始之前,我们先来回忆一些基础知识。

相信实数和数轴对大家来说已经是非常熟悉了,不仅如此,我们还知道:实数与数轴上的点是一一对应的。所以,比如有两个实数集中的数字 \color{red}{a,\,b} ,它们可以分别被唯一的标识在数轴上,进而成为数轴上的点 \color{red}{a,\,b} ,如图片1所示。数字 \color{red}0 被画在数轴上之后称为(数轴的)原点。而且负实数将被画在原点的左侧;正实数则被画在原点的右侧。所以,图片1中:

\large\color{red}{b<0,\quad a>0}\tag{1}

在图片1中,还有两个符号,分别是 \color{red}{|a|,\,|b|} 。这两个符号称为数字 \color{red}{a,\,b}绝对值。而一个数字的绝对值总是正的。所以,一个实数的绝对值在数轴上表现为这个数字举原点的距离。而距离是一种长度。所以,我们可以说:一个实数被画在数轴上之后,它到原点的距离(即这个数字的绝对值)就是这个实数的“长度”。这里特意强调长度这个词是为了在我们接下来讲解复数的长度(复数的模)的时候有一个过渡。

图片1:数轴与数轴上的点。

我们发现,要表示数轴上的一个点那么只需要一个维度就可以了,比如:

\large x=\color{red}{a}\tag{2}

表示的就是数轴上值为 \color{red}{a} 的点。

后来数学家发现实数集不够用了,于是便对数系进行了扩充。复数从此登上了数学的舞台。一个复数的代数形式为:

\large \color{red}{z:=a+b\cdot i}\tag{3}

其中, \color{red}{a,\,b} 均为实数; \color{red}{i}=\sqrt{-1} 称为单位虚数\color{red}a 称为复数 \color{red}{z}实部,而实数 \color{red}{b} 与单位虚数 \color{red}{i} 放在了一起,所以称为复数 \color{red}{z}虚部

注意:复数 \color{red}{z} 的虚部是 \color{red}{b} 而不是 \color{red}{b\cdot i}

由于一个复数 \color{red}{z} 需要同时通过他的实部和虚部进行描述,所以,只有一个维度的话是无法描述一个复数的,描述一个复数需要两个维度,一个维度分给它的实部,而另一个维度当然是给它的虚部啦~这就说明,一个复数要被画在一个平面上,这个平面称为复平面。而且,复数与复平面上的点也是一一对应的关系

图片2:复平面和复平面中的点。

如图片2所示,我们表示复平面内的点的时候是通过一条有向线段进行表示的(这种表现形式与平面向量十分相似)。

注:图片2中的红色线段实际上是有箭头的。只不过箭头有点小hhh,被红点掩盖了。后面的图中可能也有这个毛病,大家见谅。

而被分配给实部的那一个维度变成了实轴,即图片2中的 \Re ,即实轴上的点表示的是复数 \color{red}{z} 的实部;而另一个被分配给虚部的维度变成了虚轴,即图片2中的 \Im ,即虚轴上的点表示的是复数 \color{red}{z} 的虚部。

那么现在问题来了:为什么一个复数在复平面中的表现形式是像图片2中的那样的有向线段呢?我们带着这个问题继续向下讲,等我讲完复数的加法运算之后我再来回答这个问题。不过相信大家到时候就能自己回答这个问题了。

实数的加减乘除四则运算相信我就无需赘述了。下面我就先从复数的加法运算讲起。

我通过以一个例子来演示复数的加法运算是如何进行的:

图片3:复数加法运算示例图。

在图片3中,我们有两个复数:

 \begin{align} \large{\color{red}{z_1:=3+2\cdot i}}\tag{4}\\  \large{\color{blue}{z_2:=-3+3\cdot i}}\tag{5} \end{align}

我们现在来求解 \color{red}{z_1}+\color{blue}{z_2} 。复数的加法很简单,与需要将两个复数的实部和虚部分别相加就可以了。即:

\large \begin{align} &\color{red}{z_1}+\color{blue}{z_2}\\ &=\color{red}{(3+2\cdot i)}+\color{blue}{(-3+3\cdot i)}\\ &=\color{darkorange}{3+(-3)+i\cdot (2+3)}\\ &=\color{orange}{0+5\cdot i}=\color{orange}{5\cdot i} \end{align}\tag{6}

图片4:图片3中的两个矢量的加法运算结果(橙)。

从图片三中相信大家看出了一点端倪,唉?这个复数的加法运算的几何解释与平面向量的加法的几何解释惊人的详细啊!是的,复数的加法运算也满足平行四边形法则。

现在我们可以来回答之前提出的问题了,就是 \color{red}{z=a+b\cdot i} 的几何表达形式为什么是图片2中的那个样子呢?其实答案就是因为平行西边形法则啦,因为我们可以将:

\begin{align} \large{\color{red}{z_1:=a+0\cdot i}}\tag{7}\\ \large{\color{red}{z_2:=0+b\cdot i}}\tag{8} \end{align}

这两个复数相加。式 (7) 中的复数 \color{red}{z_1} 是一个虚部为零的复数,而式 (8) 中的复数 \color{red}{z_2} 则是一个实部为零的复数。所以,这两个复数一个平躺在实轴上,而另一个站在虚轴上。这两个复数是垂直的,所以两者相加之后得到的复数就应该是“由这两个复数张成的矩形的对角线”。

现在我们再来看看复数的减法:

我们还是以图片3中的两个复数进行演示。

即我们仍有这两个复数:

 \begin{align} \large{\color{red}{z_1:=3+2\cdot i}}\tag{9}\\ \large{\color{blue}{z_2:=-3+3\cdot i}}\tag{10} \end{align}

我们现在来求解 \color{red}{z_1}-\color{blue}{z_2} 。复数的减法也很简单,与需要将两个复数的实部和虚部分别相剪就可以了。而且我们还可以将 \color{red}{z_1}-\color{blue}{z_2} 写作 \color{red}{z_1}+\color{blue}{(-z_2)} ,这说明我们也可以将复数的减法看做是复数的加法,只不过现在加数不是 \color{blue}{z_2} ,而是 \color{blue}{-z_2} 了:

\large \begin{align} &\color{red}{z_1}-\color{blue}{z_2}\\ &=\color{red}{z_1}+\color{blue}{(-z_2)}\\ &=\color{red}{(3+2\cdot i)}-\color{blue}{(-3+3\cdot i)}\\ &=\color{darkorange}{3-(-3)+i\cdot (2-3)}\\ &=\color{orange}{6- i}\\ &=\color{orange}{6+ (-i)} \end{align}\tag{11}

图片5:图片3中的两个矢量的减法运算结果(橙)。

上面我特意将橙色的结果平移了一下,这样做是为了让大家看到复数的减法与平面向量的减法是也是很类似的,也满足三角形法则,差复数指向被减复数

下面我们该看两个复数的乘法啦。

我们还是以图片3中的两个复数进行演示。

即我们仍有这两个复数:

 \begin{align} \large{\color{red}{z_1:=3+2\cdot i}}\tag{12}\\  \large{\color{blue}{z_2:=-3+3\cdot i}}\tag{13} \end{align}

我们现在来求解 \color{red}{z_1}\cdot\color{blue}{z_2} 。复数的乘法也不难,因为复数的乘法也满足乘法分配律。下面我来简单操作一下大家就会明白啦!

\large \begin{align} &\color{red}{z_1}\cdot\color{blue}{z_2}\\ &=\color{red}{(3+2\cdot i)}\cdot\color{blue}{(-3+3\cdot i)}\\ &=\color{red}3\cdot\color{blue}{(-3+3\cdot i)}+\color{red}{2\cdot i}\cdot\color{blue}{(-3+3\cdot i)}\\ &\overset{i\cdot i =i^2=-1}{=}\color{purple}{(-9+9i)}+\color{green}{(-6-6\cdot i)}\\ &=\color{orange}{(-9+(-6))+i\cdot (9+(-6))}\\ &=\color{orange}{-15+3\cdot i} \end{align}\tag{14}

图片5:图片3中的两个矢量的乘法运算结果(橙)。

最后我们来说一说两个矢量的除法。在说矢量的除法之前,我们先来说一说怎么求解一个复数的“倒数”。

这次我们换一个简单的例子。设我们有复数:

\large \color{red}{z_1:=4+3\cdot i}\tag{15}

现在我们来求解 \color{red}{z_1^{-1}:=\frac{1}{z_1}} 。有朋友要说了,这里还用过多的计算吗?直接 \color{red}{\frac{1}{4+3\cdot i}} 不就完事儿了吗?如果你考试的时候把结果写成这种形式恐怕会一分不得哦。一个最简单的道理就是:如果真的就这样就完事儿了,那请问要怎么将 \color{red}{\frac{1}{4+3\cdot i}} 画在复平面上呢?是不是感觉无从下手呢?所以我们不想保留这种四不像的形式,我们可以像如下这样做,将复数 \color{red}{\frac{1}{4+3\cdot i}} 化简为我们的代数形式:

\large \begin{align} &\color{red}{\frac{1}{4+3\cdot i}}\\ &=\color{red}{\frac{(4-3\cdot i)}{(4+3\cdot i)\cdot(4-3\cdot i)}}\\ &=\color{red}{\frac{4-3\cdot i}{4\cdot(4-3\cdot i)+3\cdot i\cdot(4-3\cdot i) }}\\ &=\color{red}{\frac{4-3\cdot i}{16+9+12\cdot i-12\cdot i}}\\ &=\color{red}{\frac{1}{25}\cdot(4-3\cdot i)}\\ &=\color{orange}{0.16+0.12\cdot i} \end{align}\tag{16}

这个图就不画了,因为这个结果的实部和虚部都太小了。所以,我们通过给复数 \color{red}{\frac{1}{4+3\cdot i}} 的分子和分母同时乘上一了另一个复数 \color{red}{(4-3\cdot i)} 使得其分子变成了实数,进而我们达成了化简的目的。而乘上的这复数 \color{red}{(4-3\cdot i)} 称为复数  \color{red}{(4+3\cdot i)}  共轭复数。一般的有,复数  \color{red}{a+b\cdot i}  的共轭复数是  \color{red}{a-b\cdot i}  。所以,当我们想要化简形如  \color{red}{\frac{1}{a+b\cdot i}} 这种复数的时候,给它的分母乘上分母的共轭复数即可。

现在我们可以来说说复数的除法运算了。我们现在再换一个例子。设复数:

 \begin{align} \large{\color{red}{z_1:=0.8+0.6\cdot i}}\tag{18}\\ \large{\color{blue}{z_2:=-3+3\cdot i}}\tag{19} \end{align}

现在我们求解 \frac{\color{blue}{z_2}}{\color{red}{z_1}} 。我们不要将它看成是两个复数相除,反而将其看成是两个复数相乘。即 \frac{\color{blue}{z_2}}{\color{red}{z_1}}=\color{blue}{z_2}\cdot\color{red}{\frac{1}{{z_1}}} 。而 \color{red}{\frac{1}{{z_1}}} 的求法我们刚刚讲过,这样求出 \color{red}{\frac{1}{{z_1}}} 来之后就变成了复数 \color{blue}{z_2} 和复数 \color{red}{\frac{1}{{z_1}}} 相乘了:

\large \begin{align} &\color{blue}{z_2}\over\color{red}{z_1}\\ &=\color{blue}{z_2}\cdot\color{red}{\frac{1}{{z_1}}}\\ &=\color{blue}{(-3+3\cdot i)}\cdot\color{red}{\frac{1}{0.8+0.6\cdot i}}\\ &=\color{blue}{(-3+3\cdot i)}\cdot\color{orange}{({0.8-0.6\cdot i})}\\ &=\color{blue}{(-3)}\cdot\color{orange}{({0.8-0.6\cdot i})}+\color{blue}{3\cdot i}\cdot\color{orange}{({0.8-0.6\cdot i})} \\ &\overset{i\cdot i =i^2=-1}{=}\color{purple}{(-2.4+1.8\cdot i)}+\color{green}{(1.8+2.4\cdot i)}\\ &=\color{cyan}{((-2.4)+1.8)+i\cdot (1.8+2.4)}\\ &=\color{cyan}{-0.6+4.2\cdot i} \end{align}\tag{20}

图片6:复数除法示例中两个矢量相除的运算结果(青)。

是不是感觉这样计算复数的乘法和除法有些复杂呢?下面我们将来介绍复数的另一种表达形式——复数的指数表达形式。使用复数的指数形式进行的乘、除运算直观上会比较好理解。

我们之前在复习实数的时候说到了实数的绝对值的概念。那么复数有没有“绝对值”呢?复数也是有“绝对值”的,一个复数的“绝对值”表示的是它的长度,复数的长度也称为复数的模。显然,只有一个模还是不能完整的描述一个复数,因为复数的模只能确定它的长度,却无法确定它的位置(别忘了,我们在复数的代数表达式中也是用了两个维度才唯一的确定了一个复数在复平面上的位置呐~)。所以,在复数的指数表达形式中,给定了一个复数的模之后,我们可以使用这个复数与实轴正方向的夹角来确定它在复平面中的位置。这个复数与实轴正方向的夹角称为复数的辐角。所以,使用指数形式来描述一个复数的时候我们用到的两个参数是复数的模,记为 \color{red}{r} ;和复数的辐角,记为 \color{red}{\theta}

图片7:复数的指数表达形式。

我在图片7中写了一些公式。这些公式演示的是如何将一个复数从代数表达形式转换为指数表达形式的。下面就跟我一起来看一下这个过程吧!

首先,由勾股定理我们可以求出复数 \color{red}{z} 的模:

\large \color{red}{r=\sqrt{a^2+b^2}}\tag{21}

且通过复数 \color{red}{z} 的模 \color{red}{r} 和它的辐角 \color{red}{\theta} 可以表示复数 \color{red}{z} 的实部和虚部,即:

\begin{align} &\large \color{red}{a=r\cdot\cos\left(\theta\right)}\tag{22}\\ &\large\color{red}{b=r\cdot\sin\left(\theta\right)}\tag{23} \end{align}

由式 (22) 和式 (23) 可以求出复数 \color{red}{z} 的辐角 \color{red}{\theta} 的正切值:

\large \color{red}{\frac{b}{a}}\overset{(22),(23)}{=}\color{red}{\frac{r\cdot\sin\left(\theta\right)}{r\cdot\cos\left(\theta\right)}}=\color{red}{\frac{\sin\left(\theta\right)}{\cos\left(\theta\right)}}=\color{red}{\tan\left( \theta \right)}\tag{24}

则复数 \color{red}{z} 的辐角 \color{red}{\theta} 为:

\large \color{red}{\theta}\overset{(24)}{=}\color{red}{\arctan\left(\frac{b}{a}\right)}\tag{25}

且由(22) 和式 (23) 可以求出复数 \color{red}{z}三角表达式

\large \color{red}{z=a+b\cdot i}\overset{(22),(23)}{=}\color{red}{r\cdot \left(\cos(\theta)+i\cdot \sin(\theta) \right)}\tag{26}

如果将复数 \color{red}{z} 表示为指数形式,那么我们需要使用到式 (26) 和著名的 \color{red}{\bm{\rm{Euler}}} 公式

\large\color{red}{e^{i\cdot \theta}:=\exp(i\cdot \theta)=\cos(\theta)+i\cdot \sin(\theta)}\tag{27}

则由式 (26),(27) 便可以求出复数的指数表达形式:

\large\color{red}{z}\overset{(26),(27)}{=}\large\color{red}{r\cdot\exp\left( i\cdot \theta\right)}\tag{28}

注:插一句题外话,如果在式 (27) 中, \color{red}{\theta=\pi} ,则我们就得到:
\large\color{red}{e^{i\cdot\pi}+1=0}\tag{29}
“上帝公式”。为什么称式 (29) 为上帝公式呢?我想最直观的原因就是这个式子十分巧妙的将自然底数 \color{red}{e} ;圆周率 \color{red}{\pi} ;单位虚数 \color{red}{i} ;最小的自然数 \color{red}{1} 和数字 \color{red}{0} 联系在了一起!“上帝公式”是我感觉最美的公式。

对于学工科的朋友,尤其是学电的朋友,式 (28) 的重要性相信不用我多说了,大家都懂。

那么有了复数的指数表达式之后该如何使用它计算复数的乘、除法呢?我们先从乘法说起。

设两个复数:

\begin{align} &\large\color{red}{z_1:=a_1+i\cdot b_1=r_1\cdot \exp(i\cdot \theta_1)}\tag{30}\\ &\large\color{blue}{z_2:=a_2+i\cdot b_2=r_2\cdot \exp(i\cdot \theta_2)}\tag{31} \end{align}

则:

\large\begin{align} &\color{red}{z_1}\cdot\color{blue}{z_2}\\ &=\color{red}{\left( r_1\cdot \exp(i\cdot \theta_1) \right)}\cdot\color{blue}{\left(r_2\cdot \exp(i\cdot \theta_2)\right)}\\ &=\color{red}{r_1}\cdot\color{blue}{r_2}\cdot\color{red}{\exp(i\cdot \theta_1)}\cdot\color{blue}{\exp(i\cdot \theta_2)}\\ &=\color{orange}{r_1\cdot r_2\cdot \exp(i\cdot\left( \theta_1+\theta_2 \right))}\\ &:=\color{orange}{r_3\cdot\exp(i\cdot\left( \theta_3\right))}\\ &:=\color{orange}{z_3=a_3+i\cdot b_3} \end{align}\tag{32}

图片8:基于指数形式的乘法运算。

在式 (32) 中,我么使用了同底数幂的加法运算,即:

\large \bullet^a\cdot \bullet^b= \bullet^{a+b}\tag{33}

可见,如果我么知道了两个复数的指数形式的表达式之后,求两者的乘积就是将它们的模相乘,辐角在指数上相加即可得到结果。从图片8中,我们可以观察到:如果以复数 \color{red}{z_1} 为基准,给复数 \color{red}{z_1} 乘上另一个复数 \color{blue}{z_2=r_2\cdot \exp(i\cdot \theta_2)} 的结果就是,复数 \color{red}{z_1} 的模被放大(或缩小) \color{blue}{r_2} 倍,并逆时针(或顺时针)旋转角度 \color{blue}{\theta_2} 。而复数 \color{red}{z_1} 的模被放大还是缩小取决于 \color{blue}{r_2>1} 还是 \color{blue}{r_2<1} ;而逆时针还是顺时针旋转取决于 \color{blue}{\theta_2>0} 还是 \color{blue}{\theta_2<0}

我们再来说说除法。

设两个复数:

\begin{align} &\large\color{red}{z_1:=a_1+i\cdot b_1=r_1\cdot \exp(i\cdot \theta_1)}\tag{34}\\ &\large\color{blue}{z_2:=a_2+i\cdot b_2=r_2\cdot \exp(i\cdot \theta_2)}\tag{35} \end{align}

则:

\large\begin{align} &\frac{\color{red}{z_1}}{\color{blue}{z_2}}\\ &=\frac{\color{red}{\left( r_1\cdot \exp(i\cdot \theta_1) \right)}}{\color{blue}{\left(r_2\cdot \exp(i\cdot \theta_2)\right)}}\\ &=\frac{\color{red}{r_1}}{\color{blue}{r_2}}\cdot\frac{\color{red}{\exp(i\cdot \theta_1)}}{\color{blue}{\exp(i\cdot \theta_2)}}\\ &=\color{green}{\frac{r_1}{r_2}\cdot \exp(i\cdot\left( \theta_1-\theta_2 \right))}\\ &:=\color{green}{r_3\cdot\exp(i\cdot\left( \theta_3\right))}\\ &:=\color{green}{z_3=a_3+i\cdot b_3} \end{align}\tag{36}

图片9:基于指数形式的除法运算。

在式 (36) 中,我么使用了同底数幂的减法运算,即:

\large \frac{\bullet^a}{\bullet^b}= \bullet^{a-b}\tag{37}

可见,如果我么知道了两个复数的指数形式的表达式之后,两者相除就是将它们的模相除,辐角在指数上相减即可得到结果。从图片9中,我们可以观察到:如果以复数 \color{red}{z_1} 为基准,给复数 \color{red}{z_1} 乘上另一个复数 \color{blue}{z_2^{-1}=r_2^{-1}\cdot \exp(-i\cdot \theta_2)} 的结果就是,复数 \color{red}{z_1} 的模被缩小(或放大) \color{blue}{r_2} 倍,并顺时针(或逆时针)旋转角度 \color{blue}{\theta_2}。而复数 \color{red}{z_1} 的模被缩小还是放大取决于 \color{blue}{r_2>1} 还是 \color{blue}{r_2<1} ;而顺时针还是逆时针旋转取决于 \color{blue}{\theta_2>0} 还是 \color{blue}{\theta_2<0}

最后我们来介绍一个旋转因子的概念。

设两个复数:

\begin{align} &\large\color{red}{z_1:=a_1+i\cdot b_1=r_1\cdot \exp(i\cdot \theta_1)}\tag{38}\\ &\large\color{blue}{z_2:=a_2+i\cdot b_2=1\cdot \exp(i\cdot \theta_2)}\tag{39} \end{align}

则:

\large\begin{align} &\color{red}{z_1}\cdot\color{blue}{z_2}\\ &=\color{red}{\left( r_1\cdot \exp(i\cdot \theta_1) \right)}\cdot\color{blue}{\left(1\cdot \exp(i\cdot \theta_2)\right)}\\ &=\color{red}{r_1}\cdot\color{blue}{1}\cdot\color{red}{\exp(i\cdot \theta_1)}\cdot\color{blue}{\exp(i\cdot \theta_2)}\\ &=\color{orange}{r_1\cdot \exp(i\cdot\left( \theta_1+\theta_2 \right))}\\ &:=\color{orange}{r_1\cdot\exp(i\cdot\left( \theta_3\right))}\\ &:=\color{orange}{z_3=a_3+i\cdot b_3} \end{align}\tag{40}

图片10:旋转因子。

在图片10中,复数 \color{blue}{z_2=1\cdot \exp(i\cdot \theta_2)} 就是所谓的旋转因子,但是为什么称它为旋转因子呢?因为复数 \color{blue}{z_2=1\cdot \exp(i\cdot \theta_2)} 的模为 1 ,所以,在将它乘给复数 \color{red}{z_1} 的时候,复数 \color{red}{z_1} 的模并没有得到放大或缩小,只是复数 \color{red}{z_1} 的角度发生了变化而已。即复数 \color{red}{z_1} 只是简单的旋转了角度 \color{blue}{\theta_2} 而已。

事实上,任何一个模为 1 的复数都是旋转因子。

好啦,我们的基本知识就复习到这里,下面压轴大戏要开演啦~

首先,我们考虑一个质量为 0 ,劲度系数为 k 的理想弹簧,并假设它其中一端固定,另一端栓一个质量为 m 的滑块,构成一个弹簧振子系统,并将该系统水平放置一个水平界面上,并将弹簧挤压至最紧状态,然后送手。现在我们分别来观察以下两种种情况下的滑块随时间的运动情况。

  • 情况1:水平界面光滑。

在这种情况下,滑块将做简谐振动:

图片11:弹簧振子做简谐振动。

当水平面光滑的时候,滑块在水平方向上只受到弹簧的弹性力。从图片11中的波形我们可以看出,该弹簧振子的位移 x时间的变化规律是:

\large x(t)=A\cdot\cos(\omega\cdot t+\theta_0)\tag{41}

图片11中, |A| 称为振幅,与所给的初始条件有关, \omega 称为固有(角)频率,即该频率仅取决于弹簧的进度系数 k 和滑块的质量 m ,而与系统的初始条件无关, \theta_0 称为初相,也与系统的初始条件有关。如图11所示, \theta_0=0

我们将弹簧处于松弛状态时滑块的位置选为坐标原点。在这个位置上,滑块在水平方向上所受合力为零,故此位置称为静止位置(或平衡位置)。

\large{\bigstar}
由胡克定律可知,滑块运动过程中所受到的弹簧的弹性力与弹簧的伸缩量 x (即滑块相对于平恒位置的位移)之间成正比:
\large{\bm{F}=-k\cdot \bm{x}}\tag{42}
水平方向上,标量方程为:
\large{{F}=-k\cdot{x}}\tag{43}
其中式 (42),(43) 中的负号表示弹簧的弹性力与滑块的运动方向始终相反。由牛顿第二定律(水平方向,标量方程)可得:
\large F=m\cdot a=m\cdot \frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d}t^2}x\tag{44}
联立式 (43),(44) 可得:
\large m\cdot \frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d}t^2}x=-k\cdot x\tag{45}
(45) 是一个二阶线性常系数齐次常微分方程,其特征根为:
\large \lambda_{1,2}=\pm i\cdot\sqrt{\frac{k}{m}}\tag{46}
通解为:
\large x(t)=C_1\cdot \exp\left(+i\cdot\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t\right)+C_2\cdot \exp\left(-i\cdot\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t\right)\tag{47}
使用式 (27) 将式 (47) 展开成三角函数的形式:
\large x(t)=C_1\cdot\left( \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t\right)+i\cdot  \sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t\right)\right)+C_2\cdot\left( \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t\right)-i\cdot  \sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t\right)\right)\tag{48}
将式 (48) 再化简一下,即将实部和虚部分开写:
\begin{align} \large x(t)&=\left(C_1+C_2\right)\cdot\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t\right)+(i\cdot C_1-i\cdot C_2)\cdot\sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t\right)\\ &=K_1\cdot \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t\right)+K_2\cdot\sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t\right) \end{align}\tag{49}
最后,我们对式 (49) 使用辅助角公式:
\large a\cdot\sin\left(t\right)+\large b\cdot\cos\left(t\right)=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\cos\left(t+\arctan\left(\frac{a}{b}\right)\right)\tag{50}
可以将它写为:
\large x(t)=A\cdot\cos(\omega\cdot t+\theta_0)\tag{51}
这种形式。
  • 情况二:滑块受到摩擦力,且设摩擦力正比于滑块的速度。
图片12:滑块受到摩擦力。

图片12中的波形的表达式,即滑块离开平衡位置的位移 x时间的变化规律是:

\large x(t)=A\cdot \exp\left(-\alpha \cdot t\right)\cdot \cos\left( \omega\cdot t+\theta_0 \right)\tag{52}

比如当 A=10,\,\,\alpha=0.1,\,\,\omega=1,\,\,\theta_0=0 时:

\large x(t)\Bigg\lvert_{A=10,\,\,\alpha=0.1,\,\,\omega=1,\,\,\theta_0=0}=\color{blue}{10\cdot\exp\left(-\frac{1}{10} \cdot t\right)\cdot \cos\left( t \right)}\tag{53}

相应的图像是:

图片13:式(53)的图像。

图片13中,绿色和紫色的函数分别是:

\large{\color{green}{f(t)=10\cdot \exp\left(-\frac{1}{10}\cdot t\right)}},\quad\large{\color{purple}{g(t)=-10\cdot \exp\left(-\frac{1}{10}\cdot t\right)}}\tag{54}

可见,滑块离开平衡位置的位移 x 随时间的变化被“封印”在了函数 \color{green}{f(t)} 和函数 \color{purple}{g(t)} 之间

如果我们将式 (52) 中的振幅重新定义成:

\large{ A(t):=A\cdot \exp(-\alpha\cdot t)}\tag{55}

则由于原来的振幅 A\ne 0 是常数,而且函数 {\exp(-\alpha\cdot t),\,\,\alpha>0} 是严格单调递减的,所以函数 A(t) 也是严格单调递减的,这就说明,在滑块受到摩擦力的时候,滑块离开平衡位置的最大位移(即振幅)是随着时间单调递减的(从图片12中也能看出来)。

现在,我们可以将式 (52) 写成:

\large x(t)=A(t)\cdot \cos\left( \omega\cdot t+\theta_0 \right)\tag{56}

这种形式。

\large\bigstar
设滑块所受的摩擦力与其速度之间的关系式为:
\large{\bm{F}_R}=-D\cdot\bm{v}\tag{57}
水平方向上的标量方程为:
\large F_R=-D\cdot v\tag{58}
(57),(58) 中的符号表示滑块所受摩擦力的方向与滑块的运动方向相反。此时,滑块在水平方向上所受的合力为:
\large F_G=F+F_R=-k\cdot x-D\cdot v =-k\cdot x-D\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}x\tag{59}
由牛顿第二定律(水平方向,标量方程)有:
\large F_G=m\cdot a=m\cdot \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}x=-k\cdot x-D\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}x\tag{60}
(60) 是一个二阶线性常系数齐次常微分方程,其特征根为:
\large \lambda_{1,2}={-\dfrac{D}{2\cdot m}\pm\sqrt{\dfrac{D^2}{4\cdot m^2}-\dfrac{k}{m}}}\tag{61}
\dfrac{D^2}{4\cdot m^2}-\dfrac{k}{m}<0 ,则:
\large \lambda_{1,2}={-\dfrac{D}{2\cdot m}\pm i\cdot\sqrt{\dfrac{k}{m}-\dfrac{D^2}{4\cdot m^2}}}\tag{62}
方程 (60) 的通解为:
\large x(t)=C_1\cdot \exp\left(\lambda_1\cdot t\right)+C_2\cdot \exp\left(\lambda_2\cdot t\right)\tag{63}
将式 (62) 带入式 (63) 得:
\large\begin{align}  x(t)&=C_1\exp\left(\left(-\dfrac{D}{2\cdot m}+i\cdot\sqrt{\dfrac{k}{m}-\dfrac{D^2}{4\cdot m^2}}\right)\cdot t\right)+C_2\exp\left(\left(-\dfrac{D}{2\cdot m}-i\cdot\sqrt{\dfrac{k}{m}-\dfrac{D^2}{4\cdot m^2}}\right)\cdot t\right)\\ &=\exp\left(-\frac{D}{2\cdot m}\cdot t\right)\cdot \left( C_1\cdot \exp\left(+i\cdot\sqrt{\dfrac{k}{m}-\dfrac{D^2}{4\cdot m^2}}\cdot t\right)+C_2\cdot \exp\left(-i\cdot\sqrt{\dfrac{k}{m}-\dfrac{D^2}{4\cdot m^2}}\cdot t\right)\right) \\ &=\exp\left(-\frac{D}{2\cdot m}\cdot t\right)\cdot \left((C_1+C_2)\cdot \cos\left(\sqrt{\dfrac{k}{m}-\dfrac{D^2}{4\cdot m^2}}\cdot t\right)+(i\cdot C_1-i\cdot C_2)\cdot \sin\left(\sqrt{\dfrac{k}{m}-\dfrac{D^2}{4\cdot m^2}}\cdot t\right)\right)\\ &:=\exp(-\alpha \cdot t)\cdot \left(K_1\cos\left(\beta\cdot t\right)+K_2\sin\left(\beta\cdot t\right)\right) \end{align}\tag{64}
其中:
\large\alpha:=\frac{D}{2\cdot m}\tag{65}
\large\beta:=\sqrt{\dfrac{k}{m}-\dfrac{D^2}{4\cdot m^2}}\tag{66}
且:
\large{K_1\cos\left(\beta\cdot t\right)+K_2\sin\left(\beta\cdot t\right)}\tag{67}
又可以通过辅助角公式写为 A\cdot\cos(\omega\cdot t+\theta_0) 这种形式,所以:
\large x(t)=A\cdot \exp\left(-\alpha \cdot t\right)\cdot \cos\left( \omega\cdot t+\theta_0 \right)\tag{68}

滑块受到摩擦力之后振动称为阻尼振动。阻尼振动又分为三种情况:

图片14:阻尼振动的三种情况。

图片14中的第一张图就是我们刚刚所讲的振幅衰减的情况。第二张图是临界情况,这种情况下的表达式是:

\large x(t)=C_1\cdot \exp(-\alpha\cdot t)+C_2\cdot t\cdot  \exp(-\alpha\cdot t)\tag{69}

\large\bigstar
在式 (64) 中,如果有 \dfrac{D^2}{4\cdot m^2}-\dfrac{k}{m}=0 的话,有:
\large \lambda_{1,2}={-\dfrac{D}{2\cdot m}}\tag{70}
此时方程 (60) 的特征根是二重根,所以,此时方程 (60) 的通解是:
\large x(t)=C_1\cdot \exp({-\dfrac{D}{2\cdot m}}\cdot t)+C_2\cdot t\cdot  \exp({-\dfrac{D}{2\cdot m}}\cdot t)\tag{71}
定义:
\large\alpha={\dfrac{D}{2\cdot m}}\tag{72}
可得式 (69)
图片15:式(69)的一些图像。

在图片15中:

\large x(t)\Bigg\lvert_{C_1=15,\,\,C_2=2\cdot k+1,k=1,\ldots,7,\,\,\alpha=1}=C_1\cdot \exp(-\alpha\cdot t)+C_2\cdot t\cdot  \exp(-\alpha\cdot t)\tag{73}

图片14的第三张图片称为蠕动状态

\large\bigstar
在这种状态下 \dfrac{D^2}{4\cdot m^2}-\dfrac{k}{m}>0 。此时方程 (60) 的特征根为相异的实根。
\large \lambda_{1,2}={-\dfrac{D}{2\cdot m}\pm\sqrt{\dfrac{D^2}{4\cdot m^2}-\dfrac{k}{m}}}\tag{74}
定义:
\large{\alpha:=\dfrac{D}{2\cdot m},\quad \beta:=\sqrt{\dfrac{D^2}{4\cdot m^2}-\dfrac{k}{m}}}\tag{75}
此时,方程(60) 的通解是:
\large x(t)=\exp\left(-\alpha\cdot t\right)\cdot \left( C_1\cdot \exp\left( \beta\cdot t \right)+C_2\cdot \exp\left( -\beta\cdot t \right) \right)\tag{76}

现在我们主要来研究一下简谐振动和阻尼振动这两种情况。

注:由于我们是在时域中研究问题,所以,变量 t 表示时间,则 t\ge 0

现在我们假设在式 (52) \theta_0=-\frac{\pi}{2} ,则:

\large\begin{align}  x(t)\Bigg\lvert_{\theta_0=-\frac{\pi}{2}}&=A\cdot \exp\left(-\alpha \cdot t\right)\cdot \cos\left( \omega\cdot t+\theta_0 \right)\Bigg\lvert_{\theta_0=-\frac{\pi}{2}}\\ &=A\cdot\exp\left(-\alpha \cdot t\right)\cdot \sin\left( \omega\cdot t \right)\\ &:=A(t)\cdot\sin(\omega\cdot t) \end{align} \tag{77}

现在我们知道了式 (77) 是在时域中描述阻尼振动的。那么我们能不能将这个阻尼振动的表达式换一个域进行研究呢?

现在我们对式 (77) 做一个积分:

\large{\lim_{t\to+\infty}\int_{0}^{t}\,A(\tau)\cdot\sin(\omega\cdot \tau)\cdot\color{blue}{\exp\left( -i\cdot \overline{\omega}\cdot \tau \right)}\,\mathrm{d}\tau}\tag{78}

(78) 积分的结果是:

\large A\cdot\frac{\omega}{\left(i\cdot \color{blue}{\overline{\omega}}+\alpha\right)^2+\omega^2}=:X_D(\color{blue}{\overline{\omega}})\tag{79}

\large\bigstar
\large\begin{align*} &\int_{0}^{t}\,A(\tau)\cdot\sin(\omega\cdot \tau)\cdot\color{blue}{{\exp\left( -i\cdot \overline{\omega}\cdot\tau \right)}}\,\mathrm{d}\tau\\ &=\int_{0}^{t}\,A\cdot\exp\left(-\alpha\cdot\tau\right)\cdot\sin(\omega\cdot \tau)\cdot\color{blue}{\exp\left( -i\cdot \overline{\omega}\cdot\tau  \right)}\,\mathrm{d}\tau\\  &=\int_{0}^{t}\,A\cdot\exp\left(-\underbrace{(\alpha+i\cdot \color{blue}{\overline{\omega})}}_{\text:=\beta}\cdot \tau\right)\cdot \sin\left(\omega\cdot \tau\right )\,\mathrm{d}\tau\\ &=\int_{0}^{t}\,A\cdot\exp\left(-\beta\cdot \tau\right)\cdot \sin\left(\omega\cdot \tau\right )\,\mathrm{d}\tau\\ &=A\cdot \int_{0}^{t}\,\cdot\exp\left(-\beta\cdot \tau\right)\cdot \frac{\exp\left ( i\cdot  \omega\cdot \tau\right )-\exp\left ( -i\cdot  \omega\cdot \tau\right )}{2\cdot i}\,\mathrm{d}\tau\\ &=\frac{A}{2\cdot i}\cdot\int_{0}^{t}\left(\exp\left ( -\underbrace{\left ( \beta-i\cdot\omega \right )}_{\text:=\gamma}\cdot \tau \right )-\exp\left ( -\underbrace{\left ( \beta+i\cdot\omega \right )}_{\text:=\delta}\cdot \tau \right ) \right )\,\mathrm{d}\tau\\ &=\frac{A}{2\cdot i}\cdot\int_{0}^{t}\,\left(\exp\left(-\gamma\cdot \tau\right)-\exp\left(-\delta\cdot \tau\right)\right)\,\mathrm{d}\tau\\ &=\frac{A}{2\cdot i}\cdot\left(-\frac{1}{\gamma}\cdot\exp\left(-\gamma\cdot \tau\right)\Bigg\lvert_{\tau=0}^{\tau=t}+\frac{1}{\delta}\cdot\exp\left(-\delta\cdot \tau\right)\Bigg\lvert_{\tau=0}^{\tau=t}\right)\\ &=\frac{A}{2\cdot i}\cdot\left(-\frac{1}{\gamma}\cdot\left( \exp\left(-\gamma\cdot t\right) -1\right)+\frac{1}{\delta}\cdot\left( \exp\left(-\delta\cdot t\right) -1\right) \right)\\ &\Rightarrow \lim_{t\to +\infty}\frac{A}{2\cdot i}\cdot\left(-\frac{1}{\gamma}\cdot\left( \exp\left(-\gamma\cdot t\right) -1\right)+\frac{1}{\delta}\cdot\left( \exp\left(-\delta\cdot t\right) -1\right) \right)\\ &=\frac{A}{2\cdot i}\cdot\left( \frac{1}{\gamma}-\frac{1}{\delta} \right)\\ &=\frac{A}{2\cdot i}\cdot\left(\frac{1}{\beta-i\cdot\omega} -\frac{1}{\beta+i\cdot\omega} \right)\\ &=\frac{A}{2\cdot i}\cdot\frac{2\cdot \omega\cdot i}{\beta^2+\omega^2}\\ &=A\cdot\frac{\omega}{\beta^2+\omega^2}\\ &=A\cdot\frac{\omega}{\left(i\cdot\color{blue}{\overline{\omega}}+\alpha\right)^2+\omega^2} \end{align*}\tag{80}
补:广义积分收敛证明。
对于 \exists\, M>0\forall\,A_2\ge A_1\ge M ,我们要找一个 \varepsilon>0 使得:
\large\left|\frac{A}{2\cdot i}\cdot\int_{A_1}^{A_2}\,\left(\exp\left(-\gamma\cdot \tau\right)-\exp\left(-\delta\cdot \tau\right)\right)\,\mathrm{d}\tau\right|<\varepsilon\\
\large\bm{\rm{Proof}:}
\large\begin{align} &\left|\frac{A}{2\cdot i}\cdot\int_{A_1}^{A_2}\,\left(\exp\left(-\gamma\cdot \tau\right)-\exp\left(-\delta\cdot \tau\right)\right)\,\mathrm{d}\tau\right|\\ &\le\frac{A}{2}\cdot\int_{A_1}^{A_2}\,\left|\left(\exp\left(-\gamma\cdot \tau\right)-\exp\left(-\delta\cdot \tau\right)\right)\right|\,\mathrm{d}\tau\\ &\le\frac{A}{2}\cdot \int_{A_1}^{A_2}\,\left(\left|\exp\left(-{\gamma}\cdot \tau\right)\right|+\left|\exp\left(-\delta\cdot \tau\right)\right|\right)\,\mathrm{d}\tau\\ &\le\frac{A}{2}\cdot \int_{A_1}^{A_2}\,\left(\left|\exp\left(-\Re\left\{\gamma\right\}\cdot \tau\right)\right|+\left|\exp\left(-\Re\left\{\delta\right\}\cdot \tau\right)\right|\right)\,\mathrm{d}\tau\\ &\overset{\exp(\bullet)>0}{\le}\frac{A}{2}\cdot \int_{A_1}^{A_2}\,\left(\exp\left(-\Re\left\{\gamma\right\}\cdot \tau\right)+\exp\left(-\Re\left\{\delta\right\}\cdot \tau\right)\right)\,\mathrm{d}\tau\\ &\le\frac{A}{2}\cdot \left(-\frac{1}{\Re\left\{\gamma\right\}}\cdot\exp\left(-\Re\left\{\gamma\right\}\cdot\tau\right)\Bigg\lvert_{\tau=A_1}^{\tau=A_2}-\frac{1}{\Re\left\{\delta\right\}}\cdot\exp\left(-\Re\left\{\delta\right\}\cdot\tau\right)\Bigg\lvert_{\tau=A_1}^{\tau=A_2}\right)\\ &\le\frac{A}{2}\cdot \left(-\frac{1}{\Re\left\{\gamma\right\}}\cdot\left(\exp\left(-\Re\left\{\gamma\right\}\cdot A_2\right)-\exp\left(-\Re\left\{\gamma\right\}\cdot A_1\right)\right)\\ -\frac{1}{\Re\left\{\delta\right\}}\cdot\left(\exp\left(-\Re\left\{\delta\right\}\cdot A_2\right)-\exp\left(-\Re\left\{\delta\right\}\cdot A_1\right)\right) \right)\\ &=\frac{A}{2}\cdot \left(\frac{1}{\Re\left\{\gamma\right\}}\cdot\left(\exp\left(-\Re\left\{\gamma\right\}\cdot A_1\right)-\exp\left(-\Re\left\{\gamma\right\}\cdot A_2\right)\right)\\ +\frac{1}{\Re\left\{\delta\right\}}\cdot\left(\exp\left(-\Re\left\{\delta\right\}\cdot A_1\right)-\exp\left(-\Re\left\{\delta\right\}\cdot A_2\right)\right) \right)\\ &\overset{\Re\left\{\gamma\right\},\,\,\Re\left\{\delta\right\}>0}{:=}\varepsilon \end{align}
\large\bm{\rm{Q.E.D.}}
这个证明是我自己写的,如果有什么错误还请各位大佬明确指出,感谢!

现在我们比较一下式 (77) 和式 (79) 发现,式 (77) 的变量是时间 t ,即式 (77) 是在时域下面描述阻尼振动;而式 (79) 的变量是 \overline{\omega} ,我们将这个 \overline{\omega} 称为(角)频率。而且我们发现,式 (79) 中有 i ,说明式 (79) 是一个复数,所以,我们将式 (79) 称为在复频域下的阻尼振动的描述。这样我们就达成了换域(即从时域换到了复频域)的目的了。而式 (79) 实际上是对式 (77) 进行 \bm{\rm{Fourier}} 变换的结果。

如果我们假设在式 (41) 中有 \theta_0=-\frac{\pi}{2} ,则:

\large x(t)\Bigg\lvert_{\theta_0=-\frac{\pi}{2}}=A\cdot\cos(\omega\cdot t-\frac{\pi}{2})=A\cdot\sin\left(\omega\cdot t\right)\tag{81}

现在,我们也对式 (81) (即简谐振动的时域表达式)做一个积分:

\large{\lim_{t\to+\infty}\int_{0}^{t}\,A\cdot\sin(\omega\cdot \tau)\cdot \color{red}{\exp\left(-\sigma\cdot \tau\right)}\cdot\color{blue}{\exp\left( -i\cdot \overline{\omega}\cdot \tau \right)}\,\mathrm{d}\tau}\tag{82}

(82) 的积分结果是:

\large A\cdot\frac{\omega}{\underbrace{\left(i\cdot \color{blue}{\overline{\omega}}+\color{red}{\sigma}\right)^2}_{\textit  :=\color{darkorange}{s^2}}+\omega^2}=:X_H(\color{darkorange}{s})\tag{83}

我们可以看到式 (83) 与式 (79) 之间没有什么实质性的区别只不过我们将式 (83) 中的 \left(i\cdot \color{blue}{\overline{\omega}}+\color{red}{\sigma}\right) 这一项定义为了 \color{darkorange}{s} 。式 (83) 是对式 (82)\bm{\rm{Laplace}} 变换的结果。

所以,通过对比式 (83) 与式 (79) 我们发现:

对阻尼振动的 \bm{\rm{Fourier}} 变换相当于是对简谐振动的 \bm{\rm{Laplace}} 变换

更一般的我们可以说:

对函数 x(t)\bm{\rm{Laplace}} 变换相当于是对函数 x(t)\cdot \exp\left( -\sigma\cdot t \right)\bm{\rm{Fourier}} 变换

我们现在似乎找到了 \rm{Fourier} 变换和 \rm{Laplace} 变换之间的某种关系了。但是这种关系还是很模糊。下面我们继续研究一下。

我们首先对式 (77) (即阻尼振动的时域表达式)做 \rm{Laplace} 变换,即计算积分:

\large{\lim_{t\to+\infty}\int_{0}^{t}\,A(\tau)\cdot\sin(\omega\cdot \tau)\cdot\color{blue}{\exp\left( -i\cdot \overline{\omega}\cdot \tau \right)}\cdot \color{red}{\exp\left(-\sigma\cdot \tau\right)}\,\mathrm{d}\tau}\tag{84}

(84) 的积分结果是:

\large A\cdot\frac{\omega}{\left(\underbrace{i\cdot \color{blue}{\overline{\omega}}+\color{red}{\sigma}}_{\textit  :=\color{darkorange}{s}}+\alpha\right)^2+\omega^2}=:X_D(\color{darkorange}{s})\tag{85}

我们现在先来讨论一下式 (79) 。假设在式 (79) 中有 A=\alpha=\omega=1 ,则:

\large \frac{1}{\left(i\cdot \color{blue}{\overline{\omega}}+1\right)^2+1}=:X_D(\color{blue}{\overline{\omega}})\Bigg\lvert_{A=\omega=\alpha=1}\tag{86}

由于式 (86) 本质上是一个复数,所以,我们可以先来求解一下它的模:

\large\begin{align}  \left|X_D(\color{blue}{\overline{\omega}})\Bigg\lvert_{A=\omega=\alpha=1}\right|&=\left|\frac{1}{\left(i\cdot \color{blue}{\overline{\omega}}+1\right)^2+1} \right|\\ &= \left| \frac{1}{2-\color{blue}{\overline{\omega}}^2+2\cdot i\cdot\color{blue}{\overline{\omega}}}\right|\\ &= \frac{1}{\sqrt{\left(2-\color{blue}{\overline{\omega}}^2\right)^2+\left(2\cdot \color{blue}{\overline{\omega}}\right)^2}} \end{align}\tag{87}

即式 (86) 的模是一个关于变量 \color{blue}{\overline{\omega}} 的一元函数。我们可以画出它的模的图像:

图片16:式(87)的图像。

现在,我们设在式 (85) 中我们有 A=\alpha=\omega=1 ,则:

\large \frac{1}{\left(i\cdot \color{blue}{\overline{\omega}}+\color{red}{\sigma}+1\right)^2+1}=:X_D(\color{darkorange}{s})\Bigg\lvert_{A=\alpha=\omega=1}\tag{88}

由于式 (88) 本质上是一个复数,所以,我们也可以来求解一下它的模:

\large\begin{align}  \left|X_D({\color{orange}{s}})\Bigg\lvert_{A=\omega=\alpha=1}\right|&=\left|\frac{1}{\left(i\cdot \color{blue}{\overline{\omega}}+\color{red}{\sigma}+1\right)^2+1} \right|\\ &= \left| \frac{1}{\left(\color{red}{\sigma}+1\right)^2+1-\color{blue}{\overline{\omega}}^2+2\cdot\left(\color{red}{\sigma}+1\right)\cdot i\cdot\color{blue}{\overline{\omega}}}\right|\\ &= \frac{1}{\sqrt{\left( \left(\color{red}{\sigma}+1\right)^2+1-\color{blue}{\overline{\omega}}^2 \right)^2+\left(2\cdot\left(\color{red}{\sigma}+1\right)\cdot\color{blue}{\overline{\omega}}\right)^2}} \end{align}\tag{89}

我们发现式 (89) 需要通过两个变量来表示,即 \color{red}{\sigma},\,\,\color{blue}{\overline{\omega}} 。换句话说,式 (88) 的模是一个有关变量 \color{red}{\sigma},\,\,\color{blue}{\overline{\omega}} 的二元函数。

现在你可能要问了,为什么要求他们的模呢?首先的一个原因就是,不论是式 (86) 还是式 (88) ,他们的自变量都是复数,而从之前的复数知识的复习中,我们知道一个复数需要两个维度进行表示。而给定不同的  \color{red}{\sigma},\,\,\color{blue}{\overline{\omega}} 值,式 (86) 和式 (88) 的函数值也是复数,也就是说式 (86) 和式 (88) 的函数值也是需要两个维度进行表示的,所以自变量加函数值总共需要四个维度来表示。所以函数 (86)(88) 的自变量和函数值是不能够被画在一张图中的。所以我们不直接研究函数 (86)(88) 。而是通过研究函数 (86)(88) 的模(其实还有辐角)来研究这两个函数的性质,因为函数 (86)(88) 的模均是实值的二元函数,我们完全可以将函数 (86)(88) 的模绘制在一个空间直角坐标系中。

进一步我们发现,在式 (89) 中,当 \color{red}{\sigma}=0 时,有:

\large\begin{align}  \left|X_D({\color{orange}{s}})\Bigg\lvert_{A=\omega=\alpha=1}\right|\Bigg\lvert_{\color{red}{\sigma}=0}= \frac{1}{\sqrt{\left(2-\color{blue}{\overline{\omega}}^2\right)^2+\left(2\cdot \color{blue}{\overline{\omega}}\right)^2}}=(87) \end{align}\tag{90}

而且,当 \color{red}{\sigma} 取不同的固定值的时候,我们可以得到下面的不同的一元函数的图像:

图片17:\sigma取不同的固定值的时候的式(89)的图像。

在图片17中:

\large\left|X_D({\color{orange}{s}})\Bigg\lvert_{A=\omega=\alpha=1}\right|\Bigg\lvert_{\color{red}{\sigma}=-0.8,\,-0,7,\,-0.5,\,-0.2,\,0.3,\,1.1}\tag{91}

既然 \color{red}{\sigma} 的值是固定的,那么,在式 (88) 中,我们可以将  \color{red}{\sigma}+1 看做一个新的常数 \overline{\alpha}:= \color{red}{\sigma}+1 。则式 (88) 可以写为:

\large \frac{1}{\left(i\cdot \color{blue}{\overline{\omega}}+\overline{\alpha}\right)^2+1}=:X_D(\color{blue}{\overline{\omega}})\Bigg\lvert_{A=\alpha=\omega=1,\,\,\color{red}{\sigma}=\mathrm{const},\,\,\color{red}{\sigma}+1=:\overline{\alpha},\,\,\color{orange}{s}\to\color{blue}{\overline{\omega}}}\tag{92}

即当 \color{red}{\sigma} 是常数的时候,式 (88) 即为式 (79) 。现在, \rm{Laplace} 变换和 \rm{Fourier} 变换的关系就要呼之欲出啦!

\rm{Fourier} 变换是 \rm{Laplace} 变换的“切片”

为什么这么说呢?因为上面的将 \color{red}{\sigma} 取不同的固定值的过程实际上就是在寻找不同的切片。因为我们刚才说了式 (89) 是一个二元函数,而当 \color{red}{\sigma} 取不同的固定值的时候,实际上就是在就是在寻找式 (89) 的图像(曲面)与 \color{red}{\sigma}=\rm{const} (平面)的交线。我们来看看下图:

图片18:3D演示。

在图片18中,后面出现的像两个烟囱一样的曲面就是式 (89) 的图像,半透明的蓝色平面就是当 \color{red}{\sigma} 取不同的固定值时候的平面,彩色的曲线即为两者交线。这些彩色曲线从正方向看过去就是图片17。这就说明了 \rm{Fourier} 变换是 \rm{Laplace} 变换的切片。

这里还有一种比较特殊的情况:

图片19:\sigma = -1时的情况。

如图片19所示,此时 \color{red}{\sigma}=-1 。那么在式 (88) 中:

\large \left|\frac{1}{-\color{blue}{\overline{\omega}}^2+1}\right|=:X_D(\color{darkorange}{s})\Bigg\lvert_{A=\alpha=\omega=1,\,\,\color{red}{\sigma}=-1}\tag{93}

那么此时,在式 (84) (\alpha=1,\,\,\color{red}{\sigma}=-1) 为:

\large{\lim_{t\to+\infty}\int_{0}^{t}\,A\cdot\sin(\omega\cdot \tau)\cdot \color{blue}{\exp\left( -i\cdot \overline{\omega}\cdot \tau \right)}\,\mathrm{d}\tau}\tag{94}

而式  (94)  就是函数 A\cdot \sin(\omega\cdot t)\rm Fourier 变换。文章到这里也就写完了。但是写到这里我也有一个问题,希望各位大佬能够帮我解解惑。

\large\bigstar
我们知道, A\cdot \sin(\omega \cdot t)\rm Fourier 变换是:
\large-\pi \cdot i\cdot\left[\delta(\color{blue}{\overline{\omega}}-\omega)-\delta(\color{blue}{\overline{\omega}}+\omega)\right]\tag{95}
现在我的问题是式 (95) 的模与式 (93) 中有什么关系呢?两者是一回事吗?

参考

  1. ^https://www.youtube.com/watch?v=n2y7n6jw5d0&t=595s
编辑于 05-12

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