【优质信源】计划02--多用户通信中总速率优化问题的一些凸优化模式

Reviewed by  @刘大 
前置知识:矩阵论/矩阵分析,概率论,通信原理,凸优化。

自从第一代移动通信系统(大哥大)出现以来,移动通信的爆发式发展带来了无线通信系统使用人群的暴增。从此之后,通信和信号处理领域的关注重点,也从传统的点对点通信场景,逐步拓展到多用户通信场景。

时至今日,多用户场景已经成为通信和信号处理领域最重要的基础场景之一,它的数学结构和特征也是事实上的、很多新兴研究方向的参考基础。从干扰对齐(Interference Alignment)到近期新兴的智能反射面(Intelligent Reflecting Surface),再到跨领域的雷达通信一体化(Radar-Communication Co-design)和雷达通信共存(Radar-Communication Co-existence),多用户通信模型和基于其上的凸优化算法都经久不衰。这些用户间是可能协作也可能非协作,亦或存在恶意;这些用户的目标可能是能量有效、单用户传输速率最大、亦或希望总信道容量最大,不论如何,上述问题每年都有数十篇文章发表。

对于一个通信科研/学术问题,重点并不是研究人员是否知道某些特性,而是是否能够通过一种合理的简化/假设,抓住主要矛盾,把现实问题数学化,也就是是否能够建立或者找到合适的模型。比如,如果你想要做MU-MIMO的研究,那么同样是MIMO场景,MU-MIMO和SU-MIMO的数学差异到底是什么?

为了解决这个问题,在这篇文章里,我将基于我自己的一些经验,尽量用人话介绍:

1) 多用户通信中的数学模型、

2)以干扰信道模型为基础,所产生的一类特殊的优化问题---信道容量优化

3) 以及该场景下一些常见的优化约束条件

希望本文能够作为研究生/低年级博士生入门此领域的概要介绍。



1. 多用户通信和数学模型

多用户通信,如果我们细究下去,「多址信道(Multiple Access Channel,MAC)」和「广播信道(Broadcast Channel,BC)」是其中最简单的两种信道模型。当然即使如此,这两种简单信道的应用也包罗万象,包括卫星广播(卫星单一发射,多个地面站接收)、基站多址接入(多终端发射,单基站接收)等等。

多址信道(多个发射端一个接收端)和广播信道(一个发射端多个接收端)

通常,当多个通信用户共享同一个无线电(信道)资源、同时、各自独立地传输信息时,我们称这种方式为多用户通信。多用户通信目前活跃的场景有很多,大范围上可以分为MAC、BC和干扰信道(Interference Channel)。

让我们从基础的MAC信道开始。


1. MAC信道模型。MAC信道模型通常适合基站上行/下行链路建模,目前在多用户MIMO(MU-MIMO)研究中应用广泛。如上所述,MAC信道的特点是对于每个用户,发送/接收的信息不同。

有人说多址和常用的复用(multiplexing)技术体系近似,因为都需要通过考虑信道资源的正交性(可以是空间/时间/频率),在同样的信道资源下划分子信道,从而完成对不同用户不同信息的收发。也正因为如此,MAC信道模型非常适合MU-MIMO/or OFDM技术体系。此外逻辑上需要考虑到每个用户都会经历不同的信道衰落。

那么我们如何把这个特点提现在数学模型里呢?对于 K个上行用户来说,等价基带数学模型可以简化为:

\mathbf{y} = \sum\limits_{k=1}^{K}{\bf H}_{k}{\bf x}_{k}+{\bf z},

其中, \mathbf{y}\in \mathbb{C}^{M \times 1} 是基站接收到的M维信号向量;因为存在K个用户,那么每个用户所发送的信息可能长度不同,对k个用户,我们记为 N_k这样,第k个用户发送的信息 \mathbf{x}_k\in \mathbb{C}^{N_k \times 1} 会经过各自的信道 \mathbf{H}_k \in \mathbb{C}^{M \times N_k} 才能到达基站端,我们用 \mathbf{z}\in \mathbb{C}^{M \times 1} 来表示基站所接收到的高斯白噪声。

特别强调,对于重点不是信道优化的MAC场景模型来说,我们通常需要假设信道是慢衰落或者块衰落,并假设完美的信道估计算法,以保证所有的信道 \mathbf{H}_k 都是确定值,不然会显著增加该模型里优化问题的数学计算难度。这个强调也适用于下边的广播信道(BC)模型和干扰信道(IC)模型。


2. BC信道模型。BC信道通常适合卫星通信建模,它的特点是对于每个用户,都会收发相同的信息,这同样需要在逻辑上考虑各个用户所经历的不同信道衰落。对于 K个广播用户来说,等价基带数学模型可以简化为:

{\bf y}_{k}={\bf H}_{k}^{H}{\bf x}+{\bf z}_{k},\ k=1,\ldots,K,

因为发送的信息相同,接收方不有多个,所以我们获得了K个联立方程组。其中, \mathbf{y}_k\in \mathbb{C}^{N_k \times 1} 是第K个用户接收到的 N_k 维接收信号向量,而 \mathbf{x}\in \mathbb{C}^{M \times 1}是一个M维的发送信号向量。为了和MAC信道模型统一,从而简化模型,我们不重新定义符号,而是对 \mathbf{H}_k^H \in \mathbb{C}^{N_k \times M} 进行Hermitian变换,得到了BC信道中的对第k个用户的信道矩阵\mathbf{H}_k^H \in \mathbb{C}^{N_k \times M}

针对不同场景,BC信道同样有很多变种。 比如,因为信息x带有相同的信息,但是接收用户可能会因为一些原因被分组(比如用户簇),这时候BC信道会进化为多播信道(multicast),或者更进一步,如果这个用户簇里只有一个用户,那么它被称做unicast。


3.IC信道模型。上述MAC、BC信道模型是一些比较简单的多用户信道模型,这些信道模型之所以实用,是因为存在一些基础设施假设,我们称它们为Infrastructure-specified场景,如上所述,基站、卫星通信等等。它们利用Infrastructure假设,避免了一些对于特定问题很trivial的数学假设。

但是,如果我们不知道当前网络基础结构,或者网络结构是自组织的话,比如Ad-hoc网络,那么这时候常用的信道模型需要更加泛化,即是干扰信道(Interference Channel,IC)模型。

在IC信道模型中,我们去除了MAC信道中的子信道正交化前提,去掉了BC信道中的相同信息假设,同样,我们不限制场景中所有用户的收发。这时候,对于K个用户共存的场景,信道就变成了:

{\bf y}_{k}={\bf H}_{kk}{\bf x}_{k}+\sum\limits_{i=1,i\neq k}^{K}{\bf H}_{ik}{\bf x}_{i}+{\bf z}_{k},\ k=1,\ldots,K,

这同样是K个方程组联立的形式,我在这里强烈各位对比MAC和BC信道模型,找到区别。其中 {\bf H}_{kk} 代表第k个用户发射机到接收机的直连信道(direct link),传输的是它自己想要的信息,而 {\bf H}_{ik} 代表着从第i个用户到第k个用户的接收机链路(cross-user link),传输的信息是干扰,所以被称作干扰信道模型。

这里其它符号都有解释过,我就不再赘述。

这也是基础的信道模型,还有很多同类的数学模型,比如信息安全中的wiretap channel,雷达通信中的Mutual Interference Channel,比如刚才提到的Intelligent Reflecting Surface,或者cell-free的通信模型,或者One-bit问题。

目前通信领域挖大坑,(除了机器学习以外)基本都是找到了一个比较practical的问题,简化出了新的数学模型。这也助长了比较高端的灌水方式,就是传说中的大杂烩灌水法,这里不展开说了。

(当然我也没资格评价这种挖坑和大杂烩的好坏,毕竟我还是个菜鸡,说不定也还指望这种灌水法跟大牛混口饭吃。)


2.干扰信道模型下的总速率优化

我们现在有了一个最基本的信道模型,稍加改动它就可以被应用在空/时/频域场景中,并通过某些凸优化模式,对空/时/频域中的可控自由度进行修改,从而求得一类或者多类凸优化问题的解。

这里的可控自由度,

  • 在空域可以是波束赋形向量(beamforming)/预编码矩阵(precoding,需要考虑时间和符号周期),这类问题被称作beamforming/precoding design。
  • 在频域可以是OFDM信号的抽头权重分配/或者功率分配来补偿信道,这类问题被称作OFDM中的Power Allocation Problem。
  • 在时域可以是信号码本(当然码本设计不止是时域)。

您可以看到,可控自由度有很多,优化问题自然也有很多。

以空间域优化为例,它可以是天线的beam-pattern,可以是3dB波束宽度,可以是SINR,可以是点对点的信道容量,可以是outage capacity,可以是检测概率(detection probability),可以是平均误码率(Mean Error Rate),更可以是各种跨层指标,比如能量利用率。当然也可以是多用户场景中的一个比较重要的指标,就是下文我主要描述的这类比较foundamental的问题,总速率优化问题(Sum-Rate Optimization Problem)。


那么,什么是Sum-Rate Optimization Problem?

众所周知,自从香农祖师爷以来,通信中最关键的指标就是信道容量(Channel Capacity),信道容量的计算方式有很多种,但是在涉及矩阵的、比较优雅的信道容量计算中,都离不开信号的协方差矩阵(covariance matrix)。

一个well-known的结论是(当然也欢迎各位自己推导一下试试看)。

很多人都知道的定理 1: 在点对点单用户信道中,如果我们已知发送信号的协方差矩阵 \mathbf{Q}=\mathbb{E}\{\mathbf{x}_k\mathbf{x}_k^H\} ,假设干扰加噪声协方差矩阵是单位矩阵,那么单用户的信道容量就是 \log |\mathbf{I}+\mathbf{H}\mathbf{Q}\mathbf{H}^H|

这个结论可以扩展到多用户IC信道,此时干扰加噪声协方差矩阵(interference-plus-noise covariance matrix)就不会再成为单位矩阵,它是 \mathbf{R}_i = \sum_{i \neq j} \mathbf{H}_{ji}\mathbf{Q}_j \mathbf{H}_{ji}^H+\mathbf{I}, 多用户信道容量就变成了:

\sum_{i=1}^K \log |\mathbf{I}+\mathbf{R}^{-1}_i\mathbf{H}_{ii}\mathbf{Q}_i\mathbf{H}^H_{ii}|

我们考虑它更广义的形式[1],对于第 i 个用户,加入效用因子 \lambda_i 。当效用因子都是1时,就和上式等价,问题就变成了:

\sum_{i=1}^K \lambda_i\log |\mathbf{I}+\mathbf{R}^{-1}_i\mathbf{H}_{ii}\mathbf{Q}_i\mathbf{H}^H_{ii}| ,这里我们标记为问题1

其中,为了便于大家和传统的香农公式比较, \mathbf{H}_{ii}\mathbf{Q}_i\mathbf{H}^H_{ii} 这部分可以理解为有用信号能量, \mathbf{R} 是干扰信号能量。这就是在多用户IC信道中,非常非常常见的一个优化问题 Sum-Rate Optimization的目标函数(注意NP-hard且非凸)。


我们要优化的目标有了,那么优化的可控自由度在哪儿体现呢?

关键依然在协方差矩阵。我们分为两种主流的优化问题来介绍:

  1. Power Allocation问题。PA问题通常可控自由度是子载波的功率分配因为OFDM信号存在子载波正交性,那么因此,在数学上, \mathbf{R}_i\mathbf{H}_{ii}\mathbf{Q}_i 就都是典型的对角矩阵(这里可以自己推算一下)。问题1的矩阵形式( \max_{\mathbf{Q}_i}\sum_{i=1}^K \log |\mathbf{I}+\mathbf{R}^{-1}_i\mathbf{H}_{ii}\mathbf{Q}_i\mathbf{H}^H_{ii}| )就可以被拆解开来,降维成其子载波所形成的正交信道容量之和。

拆解后,假如OFDM信号中共有L个子载波可用,那么问题1就可以写作 \max_{q} \sum_{i=1}^K \sum_{l=1}^L\log_2 |1+\frac{h_{l,i}^2q^2_{l,i}}{r_{l,i}}| ,其中 h_{l,i}\mathbf{H}_{ii} 的第l个对角元素,q, r 的符号标记同理。在K=2时,这是一个比较典型的log形式的凹问题,其中需要优化求解的变量是q因子。这个问题的正统求解方式比较简单,在一些弱约束条件下可以直接用KKT方法求得解析解。强约束条件下,需要自己寻找计算途径。

2. Beamforming/Precoding问题。Beamformer/Precoder通过修改各个天线的相位/功率分配来改变波束指向(形状),而对于Beamformer/Precoder,通常需要一个复矩阵来描述其可控参数和波束指向角度 \theta ,这里我们记为 \mathbf{v}(\theta) (这里我没有标注维度,它可以使一个beamforming vector or precoding matrix,维度请自行思考,很简单)。

此时实际上,发送信号的协方差矩阵也因此发生了变化,\mathbb{E}\{\mathbf{v}(\theta)^H\mathbf{x}_k\mathbf{x}_k^H\mathbf{v}(\theta)\}=\mathbf{v}(\theta)^H\mathbb{E}\{\mathbf{x}_k\mathbf{x}_k^H\}\mathbf{v} (\theta)=\mathbf{v}^H(\theta)\mathbf{Q}\mathbf{v}(\theta)

这里需要特别强调一下, \mathbf{v}^H(\theta)\mathbf{Q}\mathbf{v}(\theta) 是一种非常重要的数学/凸优化表示形式,你们能看到的很多论文,包括大多beamforming论文,都离不开这种数学表达。实际上,为了更简单的表达,或者为了解决其他的一些细分问题,\mathbf{v}^H(\theta)\mathbf{Q}\mathbf{v}(\theta)存在很多变种。
在通信里,我们更倾向于采用Precoding定义,因为通信用户往往更倾向于获得多个互不相关数据流,而向量形式的beamformer \mathbf{v}(\theta)\in \mathbb{C}^{M \times 1} 仅能提供单空间流输出,主要目的是为了调整波束角度和形状,矩阵形式的precoder \mathbf{V}\in\mathbb{C}^{M \times N} 可以提供多流输出。当然我这里表述并不严谨,precoder 和beamformer的区别物理意义不仅仅是这样的,感兴趣的同学可以自行查阅论文。事实上两种数学表述都有道理,向量形式的数学计算更简单一点。但这里我们为了下文表述方便,把它写成矩阵形式。

此时,问题的重心是寻找最优矩阵 \mathbf{V}_i ,发送信号的协方差矩阵变成了次要因素,我们可以认为 \mathbf{Q}_i 已知。更进一步,我们可以假设 \mathbf{Q}_i 是一个单位矩阵。问题1就变成了:

\max_{\mathbf{V}_i}\sum_{i=1}^K \log |\mathbf{I}+\mathbf{R}^{-1}_i\mathbf{H}_{ii}\mathbf{V}_i\mathbf{V}_i^H\mathbf{H}^H_{ii}| ,

这里其它用户所造成干扰的数学表达形式也发生了变化, \mathbf{R}_i = \sum_{i \neq j} \mathbf{H}_{ji}\mathbf{V}_j \mathbf{V}_j^H\mathbf{H}_{ji}^H+\mathbf{I}. 这就是比较典型的总速率优化问题的目标函数了。这个问题的实际解法和问题1类似,因为可以通过一些数学符号代入,转换回问题1。

当然,如我们这里取消\mathbf{Q}_i 是一个单位矩阵的假设,这个问题的数学构型就发生了变化,需要更多数学变换才能求解,我这里不赘述。

3. 一些约束

凸优化算法在通信中的应用,基本是优化目标和约束条件两者一起发展。目前来看,学术领域中优化目标发展接近停滞,因为衡量系统参数的方式其实目前已经比较确定了。大多常见构型都存在套路解法,所以寻找多样的实际约束(大多是非凸的),并把这些约束数学化,relax解决这些约束,是常见的Top论文思路。

这里我们列举一些在通信领域比较常用的约束。

  • 峰值传输功率约束(Peak Transmit Power Constraint):这是最基本的约束,我们需要约束峰值发射功率(峰值是指的时间维度): Tr(\mathbf{Q}_k)\leq P_k , P_k是峰值功率。
  • 平均传输功率约束(Average transmit power constraint)[2]:有时候,需要约束用户各个天线的平均发射功率,来优化系统能量: \frac{1}{L}\sum_{l=1}^KTr(\mathbf{Q}_k[l])\leq P_k , [l] 是对第l个天线的发射功率。
  • 峰值干扰功率约束(Peak interference power constraint)[3]:信号需要经历信道才能到达用户接收机,所以如果我们知道了干扰信道的信道矩阵,那么可以直接以接收的干扰信号能量作为约束: \sum_{i=1}^KTr(\mathbf{H}_{ki}\mathbf{Q}_k\mathbf{H}_{ki}^H)\leq P
  • 用户信噪比约束[4]:如上述,既然我们已经知道干扰信道状态,那么如果我们也知道全局所有用户的信道矩阵,我们就可以考虑采用用户的信噪比作为约束,约定用户的接收信噪比不能低于某个下限: |\mathbf{R}^{-1}_k\mathbf{H}_{kk}\mathbf{Q}_k\mathbf{H}^H_{kk}|\geq P_k ,其中 \mathbf{R} 遵从上文定义。
  • 用户信道容量约束:同上,既然我们可以知道全局所有用户的信道矩阵,那么我们就能够用用户的信道容量作为约束,约定用户的信道容量不能低于某个下限,  \log |\mathbf{I}+\mathbf{R}^{-1}_k\mathbf{H}_{kk}\mathbf{Q}_k\mathbf{H}^H_{kk}| \geq P_k 。当然,这一条里下限需要谨慎选取,因为可能会存在和目标函数的冲突。

其它约束有很多,比如单天线功率约束[5]...等等等等。上述约束在实际应用中的选取,也会引入一些非凸性质,需要根据实际情况自行判断。

参考

  1. ^Z.-Q. Luo and S. Zhang, “Dynamic spectrum management: complexity and duality,” IEEE J. Select. Topics Signal Processing, vol. 2, no. 1, pp. 57–73, Feb. 2008.
  2. ^R. Zhang, “On peak versus average interference power constraints for protecting primary users in cognitive radio networks,” IEEE Trans. Wireless Commun., vol. 8, no. 4, pp. 2112–2120, Apr. 2009.
  3. ^S. Hayashi and Z.-Q. Luo, “Spectrum management for interference-limited multiuser communication systems,” IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 55, no. 3, pp. 1153–1175, Mar. 2009.
  4. ^M. Schubert and H. Boche, “Solution of the multiuser downlink beamforming problem with individual SINR constraints,” IEEE Trans. Veh. Technol., vol. 53, no. 1, pp. 18–28, Jan. 2004.
  5. ^W. Yu and T. Lan, “Transmitter optimization for the multi-antenna downlink with per-antenna power constraints,” IEEE Trans. Signal Processing, vol. 55, no. 6, pp. 2646–2660, June 2007.
编辑于 05-17

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