偏微分方程基础——分离变量法

本章内容：

介绍波动方程的分离变量法求解

一、一维波动方程

问题：长为 l 两端固定的弦，由于初始状态而引起振动

\left\{ \begin{array}{c} u_{tt}=a^2u_{xx},0<x<l,t>0\\ u\left( x,0 \right) =f\left( x \right) ,u_t\left( x,0 \right) =g\left( x \right) ,0\leqslant x\leqslant l\\ u\left( \text{0,}t \right) =\text{0,}u\left( l,t \right) =\text{0,}t\geqslant 0\\ \end{array} \right. \\

该问题包含了初值条件与边界条件。

分离变量法的核心思想就是：设法找到所有具有分离变量形式的解，即：

u\left( x,t \right) =X\left( x \right) T\left( t \right) \\把该式代入原方程得： XT''=a^2X''T 或写为

\frac{X''}{X}=\frac{T''}{a^2T} \\ 上式右端仅是 t 的函数，与 x 无关，而左端仅是 x 的函数，与 t 无关。那么左右两边一定等于同一个常数，记为 -\lambda （负号仅是为了后面运算书写的方便） ，\lambda 称为分离常数，即有：

\frac{X''}{X}=\frac{T''}{a^2T} =-\lambda\\ 于是

X''+\lambda X=0\\ T''+\lambda a^2 T=0\\先解第一个方程，由边界条件

u\left( \text{0,}t \right) =X\left( 0 \right) T\left( t \right) =0 \\ 因为 T\left( t \right) \ne 0 ，所以 X\left( 0 \right) =0 ，同理可得 X(l)=0

于是，该问题变成了一个Sturm-Liouville问题，利用S-L问题的性质进行求解。

\left\{ \begin{array}{c} X''+\lambda X=\text{0,}0<X<l\\ X\left( 0 \right) =X\left( l \right) =0\\ \end{array} \right. \\

由 \lambda>0 ，该方程的通解形式为

X\left( x \right) =A\cos \sqrt{\lambda}x+B\sin \sqrt{\lambda}x\\ 代入端点条件 X(0)=0,X(l)=0

A=0,B\sin \sqrt{\lambda}l=0 \\

若 B=0 ，则该问题仅有平凡解，若要有非零解，则 \sin \sqrt{\lambda}l=0

从而 \sqrt{\lambda}l=n\pi ，则特征值：

\lambda _n=\left( \frac{n\pi}{l} \right) ^2,n=1,2,...\\

对应的特征函数 X_n=\sin \frac{n\pi}{l}x,n=\text{1,2,}...

解第二个方程，代入特征值得：

T_n\left( t \right) =C_n\cos \frac{n\pi a}{l}t+D_n\sin \frac{n\pi a}{l}t \\ 从而

u_n=X_n\left( x \right) T_n\left( t \right) =\left( a_n\cos \frac{n\pi a}{l}t+b_n\sin \frac{n\pi a}{l}t \right) \sin \frac{n\pi}{l}x \\

其中 a_n=C_nB_n,b_n=D_nB_n

由叠加原理

u=\sum_{n=1}^{\infty}{u_n\left( x,t \right)} =\sum_{n=1}^{\infty}{\left( a_n\cos \frac{n\pi a}{l}t+b_n\sin \frac{n\pi a}{l}t \right) \sin \frac{n\pi}{l}x} \\ 接下来的问题是求 a_n,b_n ，

对 t 求导得:

u_t=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n\pi a}{l}\left( -a_n\sin \frac{n\pi a}{l}t+b_n\cos \frac{n\pi a}{l}t \right) \sin \frac{n\pi}{l}x} \\ 应用初始条件，得

u\left( x,0 \right) =f\left( x \right) =\sum_{n=1}^{\infty}{a_n\sin \frac{n\pi}{l}}x \\ u_t\left( x,0 \right) =g\left( x \right) =\sum_{n=1}^{\infty}{b_n\frac{n\pi a}{l}\sin \frac{n\pi}{l}x} \\

这表明 a_n,b_n\frac{n\pi a}{l} 分别是函数 f(x),g(x) 关于特征函数系 sin\frac{n\pi}{l}x 展开式的系数。显然该特征函数系正交，即

\int_0^l{\sin \frac{n\pi}{l}x\sin \frac{k\pi}{l}xdx=\left\{ \begin{array}{c} \text{0,}n\ne k\\ \frac{l}{2},n=k\\ \end{array} \right.} \\ 于是，用 sin\frac{n\pi}{l}x 分别乘上两式，再对 x 在 [0,l] 上积分，则有

a_n=\frac{2}{l}\int_0^l{f\left( x \right) \sin \frac{n\pi}{l}xdx} \\ b_n=\frac{2}{n\pi a}\int_0^l{g\left( x \right) \sin \frac{n\pi}{l}xdx} \\

至此，我们完整地给出了混合问题的解的级数表达式

1.2 总结

（1）令 u\left( x,t \right) =X\left( x \right) T\left( t \right) 适合方程（齐次）及边界条件，从而得到 X 对应的S-L问题，以及 T(t) 适合的ODE

（2）解S-L问题，得到全部的 \lambda_n 及对应的 X_n ，继而得到 T_n 的表达式

（3）令 u\left( x,t \right) =\sum_{n=1}^{\infty}{u_n\left( x,t \right)} ，利用初始条件求出其中的待定系数

1.3 解的存在性和唯一性

若函数 f\in C^3,g\in C^2 ，并且 f(0)=f(l)=f''(0)=f''(l)=g(0)=g(l)=0 ，则由级数解表达式给出的函数 u(x,t) 确实是混合问题的属于 C^2 的解，且唯一。

1.4 非齐次情况

基本的思路是将非齐次问题转化成齐次问题。

非齐次问题形式如下：

\begin{cases} u_{tt}=a^2u_{xx}+F\left( x \right) ,0<x<l,t>0\\ u\left( x,0 \right) =f\left( x \right) ,u_t\left( x,0 \right) =g\left( x \right) ,0\leqslant x\leqslant l\\ u\left( 0,t \right) =A,u\left( l,t \right) =B,t\geqslant 0\\ \end{cases} \\

其中 A,B 为常数。

求解步骤：设解的形式为 u(x,t)=v(x,t)+w(x)

代入方程，得

v_{tt}=a^2\left( v_{xx}+w_{xx} \right) +F\left( x \right)\\ 为使 v 满足齐次方程，令 a^2w_{xx}+F\left( x \right) =0

于是 v_{tt}=a^2 v_{xx}\\ 再由初始条件和边界条件，有

u\left( x,0 \right) =v\left( x,0 \right) +w\left( x \right) =f\left( x \right) \\ u_t\left( x,0 \right) =v_t\left( x,0 \right) =g\left( x \right) \\ u\left( 0,t \right) =v\left( 0,t \right) +w\left( 0 \right) =A \\ u\left( l,t \right) =v\left( l,t \right) +w\left( l \right) =B \\ 为了使 v 还满足齐次边界条件，令

w(0)=A,w(l)=B\\ 于是求解下列常微分方程定解问题，即可求得 w(x)

\left\{ \begin{array}{c} a^ww_{xx}+F\left( x \right) =0\\ w\left( 0 \right) =A,w\left( l \right) =B\\ \end{array} \right. \\ 求得 w\left( x \right) =A+\left( B-A \right) \frac{x}{l}+\frac{x}{l}\int_0^l{\left[ \frac{1}{a^2}\int_0^{\eta}{F\left( \xi \right) d\xi} \right] d\eta -\int_0^x{\left[ \frac{1}{a^2}\int_0^{\eta}{F\left( \xi \right) d\xi} \right] d\eta}} \\ 再解关于 v 的定解问题

\left\{ \begin{array}{c} v_{tt}=a^2v_{xx}\\ v\left( x,0 \right) =f\left( x \right) -w\left( x \right)\\ v_t\left( x,0 \right) =g\left( x \right)\\ v\left( 0,t \right) =v\left( l,t \right) =0\\ \end{array} \right. \\ 由1.1推导的齐次方程解法，得

v\left( x,t \right) =\sum_{n=1}^{\infty}{\left( a_ncos\frac{n\pi a}{l}t+b_nsin\frac{n\pi a}{l}t \right) sin\frac{n\pi}{l}x} \\ a_n=\frac{2}{l}\int_0^l{\left[ f\left( x \right) -w\left( x \right) \right] sin\frac{n\pi}{l}xdx} \\ b_n=\frac{2}{n\pi a}\int_0^l{g\left( x \right) sin\frac{n\pi}{l}xdx} \\ 于是：

u(x,t)=v(x,t)+w(x)\\

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