复数的实矩阵表示

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主要整理了一下代数上的一些对应关系，以及最后提出了用这个来推导Cauchy-Riemann方程的思路，因为也是初学所以应该有许多不严谨的地方，望指正

1、表示形式

构造一个从复数集合 \mathbb{C} 到特定矩阵集合 \mathbb{M} 的映射

对任意复数 z=a+bi ，都有矩阵 M=\begin{bmatrix} a & -b\\ b & a \end{bmatrix} 与之一一对应，即

\exists \varphi:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{R}^{2\times2} \quad s.t. \quad \varphi(z)=\begin{bmatrix} \mathfrak{Re}(z) & -\mathfrak{Im}(z)\ \\\mathfrak{Im}(z) & \mathfrak{Re}(z) \end{bmatrix}

当然，这样的映射当然不是满的，所以需要对值域加一个限制，即设

\mathbb{M} =\left\{\begin{bmatrix} a & -b\\ b & a \end{bmatrix}:a,b\in\mathbb{R}\right\}\subset \mathbb{R}^{2\times 2}

则 \varphi:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{M} 是满射，同时自然可以看出，这是单射，因此一一

2、代数运算

\mathbb{M} 中的代数运算及与 \mathbb{C} 中相应运算的关系

（1）、加减

就是基本的矩阵加减：

加法： Z_1=\begin{bmatrix} a_1 & -b_1\\ b_1 & a_1 \end{bmatrix}, Z_2=\begin{bmatrix} a_2 & -b_2\\ b_2 & a_2 \end{bmatrix}\\[1ex]\Rightarrow Z_1+Z_2=\begin{bmatrix} a_1+a_2 & -b_1-b_2\\ b_1+b_2 & a_1+a_2 \end{bmatrix}\in\mathbb{M}

可以看到， \mathbb{M} 关于加法运算封闭

零元：就是零矩阵 O=\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}

反元：

\forall Z=\begin{bmatrix} a & -b\\ b & a \end{bmatrix}\in\mathbb{M},\quad \exists(-Z)=\begin{bmatrix} -a & -(-b)\\ -b & -a \end{bmatrix}\in\mathbb{M}\\ s.t.\, Z+(-Z)=O

减法： Z_1-Z_2=Z_1+(-Z_2)

与 \mathbb{C} 的联系：

\varphi(z_1\pm z_2)=Z_1\pm Z_2=\varphi(z_1)\pm\varphi(z_2)

可以看到 \mathbb{M} 中的加减法与 \mathbb{C} 中的加减法是对应的

同样地， \mathbb{M} 中的单位元及反元与 \mathbb{C} 中的单位元及反元也是对应的: \varphi(0)=O , \varphi(-z)=-Z

（2）、乘法

同样是基本的矩阵乘法，而且也是封闭的：

乘法：

\begin{eqnarray*} Z_1 \cdot Z_2 &=&\begin{bmatrix} a_1 & -b_1\\ b_1 & a_1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} a_2 & -b_2\\ b_2 & a_2 \end{bmatrix}\\[1ex] &=&\begin{bmatrix} a_1a_2-b_1b_2 & -(a_1b_2+a_2b_1)\\ a_2b_1+a_1b_2 & a_1a_2-b_1b_2 \end{bmatrix}\in\mathbb{M} \end{eqnarray*}

单位元：即单位矩阵： E=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}

与 \mathbb{C} 的联系：

\varphi(z_1\cdot z_2)=Z_1\cdot Z_2=\varphi(z_1)\cdot\varphi(z_2)

可以看到 \mathbb{M} 中的乘法与 \mathbb{C} 中的乘法是对应的

同样地， \mathbb{M} 中的单位元也与 \mathbb{C} 中的单位元是对应的: \varphi(1)=E

注： 这里如果复数用的三角形式，即 z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta) ，同样可以在 \mathbb{M} 中得到相应的形式以及乘法法则，而且你会发现，把 \rho 提到矩阵外后，里面的部分其实就是表示平面旋转的矩阵。自己试试吧！

（3）、数乘

同样是基本的矩阵数乘，封闭的：

数乘：

\begin{eqnarray*} k \cdot Z &=&k\cdot \begin{bmatrix} a & -b\\ b & a \end{bmatrix}\\[1ex] &=&\begin{bmatrix} ka & -kb\\ kb & ka \end{bmatrix}\in\mathbb{M},\quad\forall k\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}

与 \mathbb{C} 的联系：

\varphi(k\cdot z)=k\cdot Z=k\cdot\varphi(z)\quad k\in\mathbb{R}

可以看到 \mathbb{M} 中的数乘与 \mathbb{C} 中用实数与复数相乘是对应的

（4）、转置

同样是基本的矩阵转置，封闭的：

转置：

\begin{eqnarray*} Z^T &=&\left( \begin{bmatrix} a & -b\\ b & a \end{bmatrix}\right)^T\\[1ex] &=&\begin{bmatrix} a & b\\ -b & a \end{bmatrix}\in\mathbb{M},\quad\forall k\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}

与 \mathbb{C} 的联系：

\varphi(z)^T=Z^T = \begin{bmatrix} a & -(-b)\\ (-b) & a \end{bmatrix} =\varphi(a-bi)=\varphi(\,\bar{z}\,)

可以看到 \mathbb{M} 中的转置与 \mathbb{C} 中的共轭是对应的

（5）、行列式

与 \mathbb{C} 的联系：

\det(\varphi(z))=\det(Z)=\begin{vmatrix} a& -b\\ b&a \end{vmatrix}=a^2+b^2=|z|^2

注意这里是与复数模的平方对应的

（6）、逆与除法

矩阵的逆：

由(5)可知，只要 Z\neq O ，那么 Z^{-1} 存在，按通常的矩阵逆的求法可以求得：

Z^{-1}=\cfrac{1}{\det(Z)}Z^*=\cfrac{1}{a^2+b^2} \begin{bmatrix} a & b\\ -b & a \end{bmatrix}\in\mathbb{M}

从而封闭，那么除法就可以定义了，只要被除的矩阵不是零矩阵，就可以定义：

Z_1/Z_2=Z_1\cdot (Z_2)^{-1},\quad Z_2\neq O,\,Z_1,Z_2\in\mathbb{M}

这样，除法也是封闭的

与 \mathbb{C} 的联系：

由上面的关系，我们不难发现：

\begin{eqnarray*} (\varphi(z))^{-1}&=&Z^{-1}=\cfrac{1}{\det(Z)}Z^{T}=\cfrac{1}{|z|^2}\varphi(\,\bar{z}\,)\\ &=&\varphi\left(\cfrac{\bar z}{z\cdot \bar z}\right)=\varphi(z^{-1}) \end{eqnarray*}

也就是说，\mathbb{M} 中的逆与 \mathbb{C} 中的逆是对应的，那么相应的除法也是对应的

3、函数

注：为方便起见，这一部分作为函数自变量的 z 和 Z 都用 x,y 而不再是 a,b 来表示

（1）、线性变换

\mathbb{M} 中的线性变换可以用一个二阶矩阵来表示

首先可以证明，对于 \mathbb{M} 上的任意线性变换 f ，有：

f(Z)=TZ,\\[1ex] T=\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}，a,b\in\mathbb{R}

证明：

对\mathbb{M}中的任意矩阵 Z=\begin{bmatrix}x&-y\\ y&x\end{bmatrix}，对其进行线性变换 Z\rightarrow TZ ，这里 T 为一个二阶矩阵 \begin{bmatrix}a&c\\ b&d\end{bmatrix} ，得到：

\begin{bmatrix}a&c\\ b&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x&-y\\ y&x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ax+cy&-ay+cx\\bx+dy&-by+dx\end{bmatrix}

为使 TZ\in\mathbb{M} ，有：

\begin{cases} ax+cy=dx-by\\ bx+dy=-cx+ay \end{cases}\quad \forall x,y\in\mathbb{R}

于是

\begin{cases} a=d\\ b=-c \end{cases}\Rightarrow T=\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}，a,b\in\mathbb{R}

其次可以证明这个 T 是唯一的，即若确定了 Z\,(\neq O) 与 f(Z) 以及知道 f 是线性变换的情况下，矩阵 T 可以唯一确定

因为 T\cdot Z=f(Z) ，且只要 Z\neq O ，就有 T=f(Z)\cdot Z^{-1} ，从而唯一

（2）、一般情况

函数 f:\mathbb{M}\rightarrow\mathbb{M},\, \begin{bmatrix}x&-y\\y&x\end{bmatrix}\mapsto \begin{bmatrix}u&-v\\v&u\end{bmatrix} 其中 x,y,u,v\in\mathbb{R} ，这里 u,v 看作是 x,y 的函数，那么可以画个图：

\begin{CD} \mathbb{M} @<\varphi<< \mathbb{C} @>\phi>> \mathbb{R}^2\\ @Vf VV @VVgV @VVhV\\ \mathbb{M} @<\varphi<< \mathbb{C} @>\phi>> \mathbb{R}^2\\ \end{CD}

\begin{CD} \begin{bmatrix}x&-y\\y&x\end{bmatrix} @<\varphi<< x+iy @>\phi>> (x,y)\\ @VfVV @VVgV @VVhV\\ \begin{bmatrix}u&-v\\v&u\end{bmatrix} @<\varphi<< u+iv @>\phi>> (u,v) \end{CD}

不太严谨，只是为了方便理解

（3）、可微条件

根据导数的定义，可得：

f(M)=f(M_0)+T\cdot H+\psi(H)

其中，

H=(x-x_0)\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}+(y-y_0)\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}

当 |H|\to 0 时， \psi(H)\to 0

这样， f'(M_0)=T

如果将 u,v 看作是 x,y 的函数，那么这里应有：

TH=\begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x}(x_0)\Delta x+\frac{\partial u}{\partial y}(y_0)\Delta y &-\frac{\partial v}{\partial x}(x_0)\Delta x-\frac{\partial v}{\partial y}(y_0)\Delta y\\ \frac{\partial v}{\partial x}(x_0)\Delta x+\frac{\partial v}{\partial y}(y_0)\Delta y &\frac{\partial u}{\partial x}(x_0)\Delta x+\frac{\partial u}{\partial y}(y_0)\Delta y \end{bmatrix}

而由前可知，这里 T=\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}

于是，得到：

\begin{eqnarray}\frac{\partial u}{\partial x}(x_0)&=&a&=&&\frac{\partial v}{\partial y}(y_0)\\ \frac{\partial v}{\partial x}(x_0)&=&b&=&-&\frac{\partial u}{\partial y}(y_0)\end{eqnarray}

这也就是Cauchy-Riemann方程