P.W.Anderson 惊人的物理直觉来自哪里？（1）
这两天看到
这篇文章以及网友的讨论。发现网友的讨论主要集中在第一问，第二问少有涉及。"Thinking like an electron" 的说法固然有启发，却不能太当真。以下是我的一些看法。
首先说明，我的目的不是写一篇物理学思想史方面的文章。我所依据的是我对于Anderson思想脉络的个人揣测，这种揣测肯定不完全符合史实。此外，我在本文中对具体物理问题的叙述将高度概括，不涉及任何公式。这符合Anderson的风格："'Math is for PR".【1】
我个人认为，Anderson对于基础物理的贡献主要体现在以下几个方面[【2】
- 基于涌现观念对物态理论的发展和完善
- 基于Anderson正交定理对费米液体理论的扩展和超越
- 电子局域化理论
- 标度分析在凝聚态物理中的应用
在本系列的两篇文章里，我将分别讨论Anderson在第一和第二方面的贡献。第三个方面的贡献我个人基本无感，因此无法讨论，也许其背后的物理直觉确实可以用''Thinking like an electron''来形容，毕竟这是一个单粒子问题。第四个方面的贡献我个人认为更多是一种表达涌现观念的“术”，因此也不打算讨论。
我个人认为，在这四方面贡献中，第一方面的贡献最能体现Anderson的思想主线和物理直觉的来源。Anderson从早期关于量子反铁磁体的研究开始，到Anderson-Higgs机制的提出，再到复杂超流及其拓扑缺陷的研究，自旋玻璃的研究，一直到自旋液体理论及其在高温超导研究中的发展，一以贯之地体现了以涌现这一观念描述物态和理解物性的思想。我认为这是Anderson物理直觉最重要的基础。
朗道是涌现观念最早的倡导者。这一观念最初以对称性自发破缺的形式出现，并在超导研究中获得了巨大的成功（Ginzburg-Landau理论）。这让人困惑为何朗道会如此抵触此前Neel提出的反铁磁有序理论。朗道的看法是，与铁磁体的基态不同，反铁磁Neel态并不具有确切的总自旋，因此不可能是量子反铁磁海森堡模型的本征态。按现代的观念，零温下d维量子系统基本等价于d+1维的经典统计系统，因此量子反铁磁海森堡模型的基态确实有可能自发破缺自旋旋转对称性形成Neel序（尽管并不必然如此）。但是在Anderson的时代，人们确实需要严肃面对朗道的质疑：一个不具有确切总自旋的状态如何能成为具有自旋旋转对称性的反铁磁海森堡模型的基态？
众所周知的是，Anderson在假设自发对称性破缺的前提下于1950年建立了量子反铁磁体的自旋波理论。然而，Anderson显然并不满足于这一回答。关于这一理论前提合理性的思考成为他此后关于量子磁性一系列工作的基本动机。Anderson认为，一个不具有确切总自旋的状态之所以能成为具有自旋旋转对称性的量子反铁磁海森堡模型的基态，原因在于体系在热力学极限下将会发生准经典自由度的涌现现象。在有限尺寸的体系中，这些准经典自由度的对应物将在体系低能物理中导致特征的谱结构，即所谓的Anderson tower结构。随着体系尺寸趋向于热力学极限，这种准经典自由度对应物的有效质量将趋向于无穷大，从而导致其量子特征逐步被掩盖。例如，对于二维正方晶格上的反铁磁海森堡模型，我们可以将两个子格上的总自旋看成这种准经典自由度的对应物。在热力学极限下，子格总自旋将失去其量子动力学成为准经典自由度，尽管它并非守恒量。现在，Anderson tower结构已经成为在有限尺寸体系的能谱中判断体系在热力学极限下是否存在长程有序的重要数值指针。
需要说明的是，这种准经典自由度的涌现现象与经典相变中的临界慢化现象本质是一致的，都是体系微观自由度长程关联的后果。考虑到Anderson的工作出现在现代相变理论刚刚起步的1950年，有这样的认识确实不易。另外需要说明的是，朗道的论证并没有错误，准经典自由度是否涌现，以何种形式涌现，取决于体系的细节，尤其是空间的维度，体系的对称性以及相互作用的阻挫以及无序的情况。
对于二维正方晶格上的反铁磁海森堡模型而言，由于所有近邻的反铁磁相互作用在经典意义上都可以通过Neel序得到优化（因此不存在阻挫），因此Neel序的涌现是自然的事情，只要量子涨落不是太强。但是对于更复杂形式的相互作用，例如二维三角晶格上的近邻反铁磁海森堡模型，其准经典自由度的形式就没有那么显然了（三子格的120度平面非共线磁性结构），如果再适当添加相互作用，还可以形成与晶格周期非共度的磁性结构，或者是具有四个子格的正四面体型的非共面磁性结构（这个时候准经典自由度的形式（或有序波矢）不是一种，而是相互简并的三种）。
沿着这条思路继续往前走，我们可以达到以下奇异情形：即准经典自由度的形式（其有序波矢）不是可数的有限多种，而是对应于布里渊区中的一条线，一个面，甚至遍及整个布里渊区（即形成所谓的严格平带）。Kagome晶格上的最近邻反铁磁海森堡模型就属于最后这种情况【3】。另外，如果体系中存在相互作用的无序，那么还有可能会出现以下情形：即体系具有指数多近似简并但是相互隔离的准经典自由度形式。
在这些极端的情况下，体系该如何选择其涌现的准经典自由度的形式呢？由无序诱导的有序（order by disorder）是解决这一问题的一种可能途径。其原理是通过考虑超越准经典极限的涨落效应（热涨落或量子涨落）解除上述简并。但是这一机制并不总是奏效。对于这个问题的思考导致了Anderson在磁性研究方面的两项重要成就，即自旋液体和自旋玻璃概念的提出。自旋液体说的是通过量子涨落解除阻挫量子磁性系统的准经典简并，使体系进入一个确定的量子液体状态，就像He4中的零点振动使体系进入超流状态一样。自旋玻璃主要考虑经典效应，指数多相互隔离的近简并极小点使得自旋玻璃体系破坏了热力学的各态历经性。
自旋液体概念的提出对于物态理论提出了一个重要的问题，即自旋液体的结构该如何描述，以及如果存在可描述的结构，那么这个结构与体系的低能物理行为如何联系。在He4超流的例子中，人们通常仍然习惯采用对称破缺的方式定义所谓的非对角长程序来描述其结构，这一结构的后果是激发谱中出现所谓的Bogliubov模式。自旋液体并不存在这样的对称破缺和长程序，关于其结构的理论研究发源于Anderson在高温超导研究中对于自旋液体理论的进一步发展。其基本思想是：与自发对称破缺的磁性有序状态不同，在自旋液体中我们无法用单个自旋的平均值感知体系的状态（这个平均值为零），因此要描述自旋液体的结构，我们必须诉诸于自旋之间的非局域关联（至少是三个及以上自旋之间的非局域关联，因为两个自旋之间的关联在平庸的高温顺磁态同样存在）。也就是说，自旋液体的结构信息蕴藏在某种与自旋的非局域关联相对应的非局域自由度中，这难道不就是规范场！因此，Anderson的物理经验告诉他，自旋液体中涌现出的准经典自由度一定是某种规范场的经典结构。这里我不想展开讨论关于自旋液体的规范理论，以及由此导致的自旋液体的结构分类和相应的激发谱特征。这些内容遍布了高温超导和量子磁性此后几十年的研究。这里只想说，Anderson为了描述这些规范结构所采用的数学形式确实不够高级，甚至一些结果有定性的问题，但是由于问题的复杂性（极端耦合强度的规范理论），后续更现代的场论处理方法并没有能做得更好（文小刚老师在这个涌现框架下发展的拓扑序理论算是一个成功的例外）【4，5】。因此，Anderson所开辟的这个领域仍然任重道远。
准经典自由度的涌现将决定和重组体系的低能物理行为。大家耳熟能详的Goldstone定理就是其最直接的体现。但是，作为对称性自发破缺后果的Goldstone定理之所以成立，关键在于体系相互作用的局域性。这种局域性在磁性系统中通常不是问题，但是超导却是一个显著的例外。Ginzburg-Landau理论表明，超导有序破缺的是与体系的电磁响应有关的U(1)规范对称性，而与U(1)规范对称性相关的电磁相互作用却是长程的【6】。Anderson-Higgs 机制正是考虑到这一因素提出的。通常人们把这一机制形容为规范场吃掉Goldstone模式获得质量，但是实际上所谓的“吃掉”只是去掉规范冗余的形象说法，而获得质量则是电磁相互作用长程性的后果。在超导体中，通过Anderson-Higgs机制获得质量将产生三个特征长度：与电磁场横向分量质量对应的穿透深度，与序参量场幅度涨落质量对应的超导相干长度，以及与电磁场纵向分量质量（即等离子体频率）对应的电荷屏蔽长度。
Anderson-Higgs机制的提出对于基础物理造成的影响和贡献是有目共睹的。历史上是Anderson首先提出了这一机制，随后粒子物理学家将其改造为相对论协变和非阿贝尔规范场的形式（参见Witten的历史回顾文章【7-9】）。我这里想要说的是，考虑到这一机制背后的涌现观念，我们可以合理怀疑
（1）粒子物理的标准模型真的可以看成是一个还原论理论吗？
（2）粒子物理学家真的可以不受Anderson思想的启发独立提出这一质量获得机制吗？
这两个怀疑背后的潜台词是：粒子物理学家是否可以在（当时）可实现的能量尺度下进行的粒子物理实验结果的基础上建立的理论中导出这一机制？对于凝聚态物理来说，无论基态结构如何新奇，我们总可以将其直观地解释为底层自由度的某种关联模式。而在粒子物理学中，想依靠低能物理的测量结果猜测真空的非平庸结构则变得相当困难。Anderson-Higgs机制暗示：粒子物理学研究也许同样是一种More is different的学问【10】。
实际上，上述论证与Anderson在高温超导研究中一贯反对将低能物理中观察到的一些现象当作理解高温超导机制核心要素的思想完全一致。按照Anderson的观点，这些低能物理现象应该作为正确理论的后果涌现出来，而不应该反客为主地被当成微观理论的核心构件。毕竟，直接体现涌现观念的重整化群是单向的。
注：
【1】 PR = public relation
【2】这里的贡献是指思想性的贡献，因此看起来和网友列出的贡献不太一样。
【3】 关于阻挫的讨论，参见我在以下两篇文章中的回答（1）阻挫和自旋液体的关系是什么？（2）如何理解Kagome格子中的flat band？
【4】Anderson显然对于规范场的物理实质非常精通，只是也许对于非阿贝尔规范场了解不多。不过话说回来，一直到现在，也没有人真正理解自旋液体的SU(2)理论中SU(2)规范夹角究竟有什么物理解释，尽管在U（1）理论中规范通量可以用自旋手征度表示（Wen,Zee,and Wilczek，1988）。
【5】说更现代的场论处理方法并没有在自旋液体问题上做得更好实际上是委婉的说法，这些处理某些时候甚至模糊了问题本来的面貌 - 即规范自由度作为一种低能下涌现的自由度真实的物理效应（参见1707.00135）。
【6】关于规范对称性及其在超导体中的破缺，参见我在以下两篇文章中的回答：（1）为什么规范对称性不是对称性？（2）htsc-ruc：和中学生朋友谈超导（3）
【7】E.Witten关于Anderson-Higgs机制历史回顾的文章： Phil Anderson And Gauge Symmetry Breaking, http://www.physics.rutgers.edu/~pchandra/physics601/AndersonWitten.pdf
【8】从Witten文章了解到，Anderson在提出Anderson-Higgs机制的文章中还考虑了声子与引力场耦合的问题。
【9】Witten的文章同时提到，人们从超导研究获得的物理启发不仅有助于理解粒子质量获得的机制，而且有助于理解禁闭效应。
【10】说粒子物理学的研究也许同样是一种More is different的学问完全无意冒犯粒子物理学家，对于自然的所有真诚探索都同样可贵，在大自然面前，所有的理论都是唯象的。
【11】本系列的第二篇文章将探讨的问题与费米液体的edge singularity有关，这也是Anderson晚年最看重的想法。但是我个人感觉这方面他还是没有能够说得很透。因此下一篇文章我将努力脑补他这方面想法的确切含义。
【12】本篇文章写作花了大半天的时间。之所以愿意花这么长时间写这样一篇类似马后炮的文章，一个重要的动机是招生宣传，改变人们对于人大物理系一些刻板的看法（参见我在中国人民大学物理系怎么样？这个话题下的回答以及这一话题下的一些留言）。