力的流动途径——什么样的结构最高效?

力的流动途径——什么样的结构最高效?

在「高层建筑下层楼层是不是要承受它以上所有楼层的总重力?」这个回答里,我提到了普通框架、巨型框架和悬挂巨型框架。它们各自的结构效率如何呢?怎么来衡量它们的效率呢?

我们先来看普通框架的重力荷载传递的途径,很简单,所有的柱子都受压,从上到下逐层加大。

蓝色的数字就是柱子所承受的轴向压力,我们把所有的这些数字加起来,结果等于多少呢?边柱从上到下是1到9,中柱从上到下是2到18,四排柱子全加起来,结果是270。

我们再来看一下巨型框架。

同样,把所有的柱子的竖向轴力的数值加起来。玫红色的巨型框架柱子其实跨越了多个楼层,所以要算做多个柱子。或者,简单说,就是柱子的轴力还要乘以这根柱子的楼层数。

每个小框架,边柱从1到3,中柱从2到6,加起来等于36。一共有两个小框架,所以再乘以2,等于72。

巨型框架柱,单侧为3×4+15×4+27×1=99,两边两根巨型柱加起来,等于99×2=198。

然后,整个结构的竖向轴力和就是72+198。这个数等于多少呢?等于270。

看,跟上面的普通框架的数值是一样的。

我们最后看一下「不差钱」的悬挂巨型框架,它的数值是多少呢?我们为什么说它「不差钱」呢?

跟上面两个不同,这个有了拉力的存在,小框架的柱子都是受拉的。我们把拉力计作负值,这样,上面的小框架轴力和是-36,下面的小框架轴力和是-60。

巨型柱承受的还是压力,所以是正值。单侧巨型柱为12×4+27×5=183,两边两根巨型柱加起来,等于183×2=366。

同样,366-36-60=270。

神奇吧?虽然三个结构形式看上去很不一样,但是它们的竖向轴力和都是270。

或者,换句话说,270就是这三个结构的目的,有270这么多的力通过结构传递到大地。虽然目的一样,但是因为解决方案的不同,所以付出的代价也不同。

第一个普通框架,总轴力和等于压力-拉力,也就是270=270-0。为了达到270这个目的,付出了270+0=270的代价。

第二个巨型框架,同样也是270=270-0,同样也付出了270的代价。所以,它跟第一个普通框架的效率是一样的。

第三个悬挂体系,270=366-96,为了同样的270这个目的,它付出了366+96=462的代价,效率远远低于前面两个,所以我们说它是「不差钱」的结构体系。

简单理解,前两个结构体系里,轴力都没有走回头路,全部都是一路向下,所以效率值最高。而第三个悬挂体系,轴力先在小框架里向上到达巨型框架,再180度掉头,从巨型框架里向下传递,走了不少冤枉路,所以效率就不那么高了。

换言之,同样的起点,同样的目的地,位移相同,路程越短越好。对于力的流动,「路程」也就是力的大小乘以力流动的长度。

这样的衡量标准,对于重力荷载是如此,对于侧向荷载也是如此。

前段时间有幸在学校听了 SOM 的 Bill Baker 老师的一堂讲座,主题就是结构的效率。Bill Baker 举的是下面这个悬臂结构的例子。

外荷载 P 的作用点固定,两个支座的位置固定。在这三点固定的前提下,应该如何布置这个悬臂结构呢?什么样的结构效率值最高?

最简单的是这种结构,moment diagram truss。上弦受拉,拉力为根号下10,杆件长度也是根号下10。下弦受压,压力为3,杆件长度也是3。

所有的拉力乘以拉力走过的路程,也就是上弦杆的拉力大小乘以上弦长度,等于10。所有的压力乘以压力走过的路程,也就是下弦杆的压力大小乘以下弦长度,等于9。10-9等于1,这就是这个结构的目的,把大小为1P 的力向上传递 1B 的长度。10+9等于19,这就是这个结构的效率。

我们再看一下这种 Pratt truss。所有的拉力乘以自己走过的路程等于9,所有的压力乘以自己走过的路程等于8。9-8等于1,看,它的目的同样也是这个1。但是它的效率呢?9+8等于17,比上面那个19已经强一些了。

接下来是 Warren truss。结构的目的同样是1,但是它的这个1等于8-7。它的效率是8+7等于15,比上面两个的19和17都要高效。

最后出场的这个虽然看上去乱糟糟的,但却是个「效率之王」。达到同样的目的,第一个付出了19的代价,第二个17,第三个15,而它只用了13.864。也就是说,跟第一个结构相比,第一个需要用19份材料,而它只需要13.864份材料,足足节省了27%。

把我们这个悬臂桁架旋转90度,把它给竖起来,我们就得到了一个抗侧力体系。所以我们可以继续用同样的分析方法寻找最优的抗侧力体系。

结构的目的是抵御作用在顶部的水平力,因为没有竖向荷载的传递,所以它们的「目的」为0,也就是它们的轴力乘以杆件长度的 T-C 为0。而因为结构形式不同,它们的效率值 T+C 却各不相同。第一个最差,为了抵御这个水平力,T+C 等于18.5,也就是它需要18.5份的材料;第二个的效率值是16;而第三个相对最好,达到了13.68。拿第三个跟第一个相比,从18.5 减小到 13.68,节省了26%的材料。

如果下次你在杂志上看到一栋高层建筑的斜撑是最右边这个样子的,并且设计公司是 SOM,结构工程师是 Bill Baker,你明白为什么要这个样子了吧?

在讲座的最后,Bill Baker 老师说,他认为建筑工程的「设计」和「创新」指的应该是这些东西,而不是给建筑加一个炫酷的表皮或者加一个 funny hat。

编辑于 2013-12-15

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