5. Quantum Physics by Dimensional Analysis

关键词: 量纲分析 原子模型 普朗克常数 波粒二象性 不确定性原理

在之前的几篇文章中, 我们探索了宇宙, 领略了物理作为一门归纳科学的魅力. 但物理学更是一门演绎科学. 接下来的几篇文章中, 我们将从原子的角度出发看身边的世界, 定量地解释日常生活中的很多现象. 旅程中引导我们的工具是量纲分析. 量纲分析是强有力的工具, 对于非物理学家来说又相对容易掌握.

  • 单摆的频率

我们首先考虑量纲分析的一个简单例子: 单摆. 问题是关于系统内禀性质的问题: 单摆运动的频率\omega(或者周期T=2\pi/\omega)是多少? (相反的, 一个关于系统外部性质的问题取决于系统的初始条件. )

和这个问题有关的量纲为长度, 时间, 质量, 即L, T, M, 物理量为单摆长度l, 重力加速度g, 单摆质量m.

[l]=L, [g]=LT^{-2}, [m]=M. 而频率[\omega]=T^{-1}. 显然, \omega不可能与m有关. 这蕴含着爱因斯坦(Einstein)的等效原理. 稍加计算还可以看出\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}. 我们没有求解任何微分方程却得到了正确的答案, 同时还发现了一个深刻的物理学原理!

  • 我们能走多快?

再考虑这样一个问题: 人能走多快? 速度的量纲为[v]=LT^{-1}. 和这个问题有关的物理量为l: 腿长; m: 人的质量; g: 重力加速度. 之所以考虑重力加速度是因为我们注意到宇航员在月球上的行走很缓慢.

容易发现v=\sqrt{g\cdot l}. 代入g\simeq10\mathrm{m/s^{2}}, l\simeq1\mathrm{m}, 得到v\simeq 3\mathrm{m/s}. 事实上最快的竞走运动员的速度为4.3\mathrm{m/s}. 我们的估算十分合理.

  • 开普勒第三定律

我们知道原子结构与太阳系的结构非常相似. 在考虑原子模型之前, 让我们首先复习一下行星运动的规律. 开普勒第三定律的表述为: 行星运动周期T的平方正比于平均距离a的立方, 即T^2/a^3=\text{const}, 且这个常数与行星无关.

行星的机械能为动能与引力势能之和: E=\frac{1}{2}mv^2-G\frac{Mm}{r}. 有关的物理量为a: 行星轨道的平均半径, T: 公转周期. 在牛顿运动方程中不出现m, 因此他们只可能与GM有关: [GM]\cdot\frac{M}{L}=M\frac{L^2}{T^2}, 因此[GM]=\frac{L^3}{T^2}, 于是a^3\sim GMT^2. 在不知道万有引力常数G的情况下也可以检验开普勒第三定律的正确性, 只需要将其改写成\frac{a_1^3}{a_2^3}=\frac{T_1^2}{T_2^2}. (实际上在2. Planetary Revolution一文中, 我们已经通过牛顿运动定律利用量纲分析得到了这一结论. )


注意到由GMm并不能组合出长度的量纲, 即行星没有一个内禀的长度a_0. 而且实验也表明, 行星的轨道确实也不应该有内禀的长度: 行星的轨道有大有小, 它取决于初始条件. 只有开普勒定律是内禀的.

(这里再次强调系统的旋转对称性也只存在于系统内部, 即开普勒第二定律, 而不是外部, 即轨道形状. )


  • 原子模型

绕原子核运动的电子能量为动能与静电势能之和: E=\frac{1}{2}m_ev^2-\frac{Ze^2}{r}, 其中m_e是电子质量, Z是原子序数, 也是原子中的电子数. 与引力势能的情形不同, 现在m_e不会被消去, 物理量可以由m_e决定: [Ze^2]=EL=ML^3T^{-2}=[m_e]L^3T^{-2}.

里德堡(Rydberg)提出了氢原子谱线的经验公式: \frac{1}{\lambda}=R(\frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{n'^{2}})\qquad n=1,2,3\cdots\quad n'=n+1,n+2,n+3\cdots

氢原子中的电子通过吸收/放出光子从低/高能量的轨道跃迁到高/低能量的轨道上. 这一过程导致了谱线的吸收. R是里德堡常数, 而1/R则具有长度的量纲: [1/R]=L. 与行星运动不同, 电子的运动是有内禀长度的: 所有氢原子的电子都有相同的R(即a_0). 但是仅通过Ze^2m_e我们无法组合出长度的量纲! 如果想要提出一个可以解释里德堡经验公式的理论, 就必须引入一个具有新的量纲的常数! 普朗克(Planck)常数\hbar就扮演着这个角色: [\hbar]=ET=ML^2T^{-1}. 无论是早期玻尔(Bohr)的轨道量子化条件, 还是海森堡(Heisenberg)的正则量子化条件, 甚至到费曼(Feynman)的路径积分量子化条件都逃不出普朗克常数\hbar, 就是这个原因. 有关普朗克常数的很多秘密物理学家们直到今天还没有完全明白.


有了普朗克常数, 我们可以组合出长度量纲: \left[\frac{\hbar^2}{e^2}\right]=\frac{M^2L^4T^{-2}}{ML^3T^{-2}}=ML. 因此a_0\simeq\frac{\hbar^2}{m_ee^2}. 这就是著名的玻尔半径: a_0\simeq0.5\overset{\circ}{\mathrm{A}}\simeq0.5\times10^{-10}\mathrm{m}. 由此还可以组合出能量量纲E_0\sim\frac{e^2}{a_0}\sim13\mathrm{eV}. 实验表明, 对于大部分原子中的电子, 轨道半径a\simeq2\overset{\circ}{\mathrm{A}}, 能量E_0\sim2\mathrm{eV}. 这再次说明了估算的合理性.

在之后的旅程中我们将会不断看到, 这些基本的长度和能量尺度定量地决定了我们宏观世界中的很多性质. 我们先在这里列举这些常见的尺度, 以便之后使用: \alpha=\frac{e^2}{\hbar c}\simeq\frac{1}{137}, \hbar c\simeq 2000\mathrm{eV}\overset{\circ}{\mathrm{A}}. m_pc^2\simeq1\mathrm{GeV}, m_ec^2\simeq0.5\mathrm{MeV}, 1\mathrm{eV}\simeq 10^4\mathrm{K}. 其中\alpha称为精细结构常数, 是一个无量纲量. m_pm_e分别是质子质量和电子质量.

事实上, 从里德堡公式到普朗克常数的过程与从开普勒第三定律到万有引力常数的过程是十分类似的. 再次回顾开普勒第三定律: T^2/a^3=\text{const}. 如果现在我们想要提出一个理论解释开普勒第三定律, 那么我们需要一个量纲为[a^3/T^2]=L^3T^{-2}的常数. 由于轨道半径a不是内禀的, 行星质量m又与之不相关, 唯一地选择就是引入一个新的常数. 根据牛顿第二和第三定律, a^3/T^2正比于恒星质量, 因此我们应当引入一个量纲为L^3T^{-2}M^{-1}的常数. 这就是万有引力常数G. 有关万有引力常数则有着更多的未解之谜.


两个常数G\hbar看似不起眼, 但单其量纲背后就蕴含着深刻的道理. 人类的两次科技革命, 说到底就是围绕着这两个常数展开的.
  • 波粒二象性

普朗克和爱因斯坦引入了光量子的概念: E=\hbar\omega, 其中E是能量, 表现了光的粒子性; \omega是频率, 表现了光的波动性. 这种对偶的观点(即波粒二象性)统一了牛顿的粒子理论和惠更斯的波动理论. (但是为了避免误解, 对于波粒二象性更确切的说法是: 光既不像波也不像粒子. )

而德布罗意(de Broglie)则更进一步, 假设这种波粒二象性适用于自然界中的所有粒子. 特别地, 粒子具有动量\bm{p}. 比如\bm{p}=m\bm{v}. 而波具有波长\lambda以及波矢k=1/\lambda. 德布罗意假设\bm{p}=\hbar\bm{k}. 对比两边的量纲\frac{\text{[能量]}}{\text{[速度]}}=\text{[能量]}\text{[时间]}\frac{1}{\text{[长度]}}, 这是合理的.因此波粒二象性可以总结为下面两个公式:

E=\hbar\omega\\
\bm{p}=\hbar\bm{k}.

德布罗意提出波粒二象性, 除了与辐射现象类比之外, 另外一个重要的动机就是洛伦兹(Lorentz)不变性. 如果一个波的相位的形式为2\pi(\bm{k}\cdot\bm{x}-\nu t), 并且这个相位是洛伦兹不变的, 那么波矢\bm{k}和频率\nu也必须像\bm{x}t那样进行洛伦兹变换, 因此也会像\bm{p}E一样进行变换. 这只可能是与其成正比. 既然对于光子有E=\hbar\omega, 那么最自然的想法就是对于所有粒子都有一样的关系.


德拜(Debye)在收到德布罗意有关波粒二象性的PhD论文后让薛定谔(Schrödinger)在讨论班上讨论. 如果粒子是波, 那么一定可以建立对应的波动方程. 这就是薛定谔方程. 早在傅里叶(Fourier)的年代, 人们就知道信号的"不确定性原理": 一个波如果在频域上分布很广, 那么在时域上就很窄, 反之亦然. 一个波不可能同时对应很窄的时域和频域. 有了薛定谔方程, 时域和频域就分别对应起了位置和动量, 自然就导出了海森堡(Heisenberg)不确定性原理: \Delta x\Delta p\ge\hbar. 值得注意的是, 这一原理本身完全是粒子作为波的特性导致的, 与"测不准"没有关系.

海森堡不确定性原理可以用来简单解释原子的稳定性: V(r)=-\frac{Ze^2}{r}将电子引向质子. 如果电子局限在距离质子很近的位置, 那么\Delta x很小, 相应它的动量\Delta p, 以及动能就会变得很大. 这一平衡最终导致了玻尔半径a_0. 事实上, 我们就可以用不确定性原理估算估算原子半径: E=\frac{p^2}{2m_e}-\frac{e^2}{r}. 而根据不确定性原理p\cdot r\sim\hbar, 代入能量表达式E(r)=\frac{\hbar^2}{2m_er^2}-\frac{e^2}{r}. 在平衡点时能量最小, 即\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}r}=-\frac{\hbar^2}{m_er^3}+\frac{e^2}{r^2}=0\Rightarrow r_0=\frac{\hbar^2}{e^2m_e}, 我们再次得到了与之前量纲分析相一致的结论.

  • 固体密度与结合能

从现在开始, 一直到下一篇文章, 我们将目光放在固体上. 首先我们先来看看固体中有哪些长度量纲和能量量纲.

通常说来, 随着电子壳层数量的增加, 原子半径也会增加. 但在壳层数n=3时达到饱和, 大约为1.5\,\overset{\circ}{\mathrm{A}}. 因此固体中原子间距为a\simeq3\overset{\circ}{\mathrm{A}}.

为什么固体密度通常在1-10\mathrm{g/cm^3}之间而不是1-10\mathrm{kg/cm^3}? 由于质子质量(m_p=1.67\times10^{-24}\mathrm{g})远大于电子质量(m_e=9.11\times10^{-28}\mathrm{g}), 因此原子半径和质子质量决定了物质的密度. 做简单的估算: \rho\simeq\frac{Am_p}{a^3}, 其中A是质子数与中子数之和. 代入数据, 得到\rho\simeq\frac{A}{15}\mathrm{g/cm^3}. 这个粗糙的公式与实际物质的密度相差往往不超过20%.


我们还可以进一步估计固体中原子的结合能. 在固体中, a\simeq3\overset{\circ}{\mathrm{A}}\simeq6a_0. 因此\frac{E_b}{E_0}=\frac{1}{6}\Rightarrow E_b=2\mathrm{eV}. 这就是固体中的结合能, 即需要打断一个化学键所需要的能量. 这一能量会极大地决定固体的力学性质. 为什么固体的声速是几千米每秒而不是几百米每秒? 在下一篇文章中, 我们会尝试估算这些性质.

编辑于 2014-10-15

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