6. Quantum Physics in Daily Life

关键词: 声速 热膨胀 乐器 山 水黾 水滴

在上篇文章中, 我们看到了原子世界中存在内禀长度a_0. 仅通过仅通过Ze^2m_e无法组合出长度量纲. 引入普朗克常数之后, 有长度量纲a_0\simeq\frac{\hbar^2}{m_ee^2}. 这是原子世界的特征长度. 由此还得到原子世界的特征能量E_0\simeq\frac{e^2}{a_0}. \hbar, a_0, E_0这三个不同的量纲本质上是等价的, 由任何一个出发, 结合已有的m_eZe^2量纲都可以推出另外两个.


在上篇文章的最后, 我们将目光转向了固体. 在固体系统中, 特征长度不是原子尺寸a_0而是原子间距a. 它们之间的关系为a\simeq6a_0\simeq3\,\overset{\circ}{\mathrm{A}}. 这导致固体的特征能量E_b\simeq\frac{1}{6}E_0\simeq2\,\mathrm{eV}. 如果我们考虑固体的力学性质, 起主要作用的不是电子, 而是质子和中子. 因此特征质量不是m_e, 而是m_p.


在这篇文章中, 我们将继续之前的讨论, 利用固体中的a, E_b, m_p这三个量纲讨论日常生活中的一些现象.

除了这三个量纲以外, 本文还频繁涉及与温度有关的能量量纲k_BT. 这一量纲由热力学给出, 表明原子分子的热运动的平均动能与温度成正比.


  • 声速与弹性模量

记固体中的声速为c_s, 其量纲为[c_s]=LT^{-1}. 可以根据动能的形式E_k=\frac{1}{2}mv^2猜测c_s=\sqrt{\frac{E_0}{m}}. 结合能是我们仅有的能量量纲, 代入E_0\simeq2\,\mathrm{eV}, m\simeq Am_p, A\simeq 20, 可以估算得到: c_s\simeq\sqrt{\frac{E_0c^2}{Am_pc^2}}=c\sqrt{\frac{E_0}{Am_pc^2}}\simeq10^{-5}c\simeq3\,\mathrm{km/s}. 这和真实值十分接近!

(估算中引入光速c是为了化成能量尺度简化计算. 参考上一篇文章中的原子模型一节. )

类似地, 我们也可以估计气体中的声速c_g. 固体和气体声速的唯一差别在于气体中的能量量纲不是来自于结合能, 而是分子的平均动能: \langle E_k \rangle\simeq \frac{3}{2}k_BT
. 在室温下T\simeq300\,\mathrm{K}\simeq30\,\mathrm{meV}, 因此: c_g\simeq\sqrt{\frac{k_BT}{E_0}}c_s\simeq0.1c_s\simeq300\,\mathrm{m/s}. 这和真实值也十分接近!

我们可以用理想气体模型对气体声速稍加严格地分析. 对于有碰撞的理想气体, 两次碰撞的平均间隔, 即弛豫时间\tau\ll\frac{1}{\nu}, 其中\nu是声音的频率. 取倒数就有碰撞率f\gg\nu. 在这个尺度下, 由于碰撞频繁, 我们既不需要考虑碰撞细节, 也不需要考虑原子的微观结构, 唯一自然的速度量纲只能是气体原子的平均速度\bar{v}, 它的定义为\frac{1}{2}m{\bar{v}}^2=\frac{3}{2}k_BT. 因此有\bar{v}\simeq\sqrt{\frac{k_BT}{m}}. 这和之前用量纲分析得到的结果是一致的. 根据理想气体状态方程: pV=Nk_BT, \frac{k_BT}{m}=\frac{p}{\rho}, 其中\rho=m/v为气体的密度. 由此我们得到c_g\simeq\bar{v}\simeq\sqrt{\frac{k_BT}{m}}\simeq\sqrt{\frac{p}{\rho}}.

(当然在热力学中也有均方根速率, 最可几速率等速度量纲. 但它们必然在一个数量级上, 只有系数略微不同, 不影响估算结果. 事实上, 严格的计算表明, \text{均方根速率}:\text{平均速率}:\text{最可几速率}=1.225:1.1128:1. )

在固体中没有理想气体状态方程, 那么\sqrt{\frac{p}{\rho}}这一速度量纲的意义是什么? [p]=\frac{[\text{力}]}{[\text{面积}]}=\frac{[\text{能量}]}{[\text{体积}]}. 记固体中的p\mathcal{M}, 则\mathcal{M}=\frac{E_0}{a^3}\simeq10\,\mathrm{GPa}.

实际上, 在固体中\mathcal{M}的物理意义是弹性模量(elastic modulus). 这是固体的内禀性质. 在材料力学中, 弹性模量的定义为\frac{F}{A}=\mathcal{M}\cdot\frac{\Delta l}{l}. 弹性模量的左边为应力, 右边为应变. 弹性模量为应力和应变的比值, 描述固体抵抗外力形变趋势.

对上式变形, 得到F=\left(\mathcal{M}\cdot\frac{A}{l}\right)\Delta l. 令括号中的量为弹簧的劲度系数k, 我们就得到了熟悉的胡克定律(Hooke's law). 劲度系数k是广延量, 和电导率相似: 将n个相同的弹簧并联, 则新的弹簧的劲度系数为nk. 它们的定义也具有某种相似性. 回忆稳恒电路的欧姆定律(Ohm's law): V=RI=\rho\frac{l}{A}I. 因此\frac{V}{l}=\rho\cdot\frac{I}{A}. 电阻率的左边为电场强度, 右边为电流密度. 这是线性响应系统所具有的普遍性质.

  • 固体热膨胀与铁轨间隙


我们还可以估算固体的热膨胀率. 在零温时, 影响原子间距的能量量纲只有结合能. 随着温度升高, 原子具有额外的动能, 这一能量量纲由k_BT引入. 不妨认为热膨胀时固体中所有原子间距的变化程度都相同. 只考虑关于温度的线性项, 有\frac{\delta l}{l}\simeq\frac{k_B\delta T}{E_0}\simeq5\times10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}}\,\delta T. 此公式最常见的应用就是铁轨间的间隙. 我国一节铁轨的标准长度为 12.5m 或者 25m, 因此取l\simeq10\,\mathrm{m}. 对于温差\delta T=10\,\mathrm{K}, 铁轨的长度变化为\delta l\sim5\,\mathrm{mm}.
  • 波动现象与乐器

上面我们估算了声速. 除了速度以外, 波动现象还可以用很多其他的物理量刻画.

如果在一个周期T内, 波前运动了\lambda的距离, 则可以定义波速\lambda=cT. 变形为\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{1}{c}\frac{2\pi}{T}, 即\omega=ck. \omega=\omega(k)的关系描述了波基本性质, 称为波的色散关系(dispersion relation). 这一名字最早来源于光的色散. 通常来说, 色散关系关于k不是线性的. 比如上一篇文章中提到了德布罗意物质波: E=\frac{1}{2m}p^2, 即\hbar\omega=\frac{1}{2m}(\hbar k)^2. 这是一个平方色散关系. 但对于声波, 线性色散关系\omega=ck总是成立的.

我们首先考察影响弦乐音调的因素. 将弦视为一维物体, 定义一维物体的线密度为\rho_{\mathrm{1D}}\equiv \rho A, 量纲为[\rho_{\mathrm{1D}}]=ML^{-1}. 其中\rho为弦密度, A为弦的横截面积. 影响弦发声的另一个重要指标是弦的松紧程度, 即弦的张力. 张力可以由体变模量B给出. 体变模量是弹性模量的一种, 量纲也为[B]=[E]L^{-3}. 注意到张力的量纲[T]=[E]L^{-1}, 则有T=BA.


速度量纲为[c_s]=\frac{L}{T}=\left({\frac{[E]}{[M]}}\right)^{1/2}, 因此量纲分析给出c_s\simeq\sqrt{\frac{T}{\rho_{1D}}}. 对于长度为L的弦, 色散关系给出它的基本频率\omega_0=c_s\cdot\frac{2\pi}{L}=\sqrt{\frac{T}{\rho_{1D}}}\cdot\frac{2\pi}{L}. 钢琴弦为了覆盖较广的频率范围, 需要选择张力T和线密度\rho_{\mathrm{1D}}不同的弦.

下面我们考虑一个更有趣的问题: 如果我们在上午排练一场音乐会, 但在晚上正式演出. 早晚温差有\delta T=10\ \mathrm{K}, 那么乐器将会失调(detune)多少呢?

声波有色散关系\omega=ck. 其中[k]=L^{-1}, 这一长度量纲由乐器的尺寸所决定, 基本可以认为是固定的. 因此有\frac{\delta\omega}{\omega}=\frac{\delta c}{c}. 弦乐器由弦振动发声, 管乐器由空气振动发声, 因此:

对于弦乐器, \frac{\delta\omega}{\omega}=\frac{\delta c_s}{c_s}\simeq\frac{1}{2}\frac{\delta E_0}{E_0}\simeq\frac{1}{2}\frac{k_B\delta T}{E_0}\simeq 0.02\%.

对于管乐器, \frac{\delta\omega}{\omega}=\frac{\delta c_g}{c_g}\simeq\frac{1}{2}\frac{k_B\delta T}{k_BT}\simeq 1\%. 计算中已取\delta T=10\,\mathrm{K}.


可见温度对于管乐器频率的影响比弦乐器大得多.

  • 珠穆朗玛峰有多高?

考虑一座金字塔形状的山, 与地面的倾角为45^\circ, 高度为h. 它的底面积为h^2, 重力大约为\rho g h^3. 对地面的压强为p=\frac{\rho g h^3}{h^2}=\rho g h.
与之前在估算弹性模量时的分析类似, 有量纲上的关系[p]=\alpha \frac{E_0}{a^3}, 其中a为原子核的间距, E_0为固体结合能. 对于岩石来说, 当\alpha\simeq 10^{-2}时就屈服了, 由此得到h_{\mathrm{max}}\approx\frac{\alpha E_0/ a^3}{\rho g}=\frac{\alpha E_0/ a^3}{Am_pg/a^3}=\frac{\alpha c^2}{g}\frac{E_0}{Am_pc^2}, 其中m_p是质子的质量. 代入数值: \frac{\alpha c}{g^2}=10^{14}\,\mathrm{m}, \frac{E_0}{Am_pc^2}\approx\frac{2\mathrm{eV}}{20\times10^9\mathrm{eV}}=10^{-10}. 因此h_{\mathrm{max}}\approx 10^4\,\mathrm{m}=10\,\mathrm{km}. 珠穆朗玛峰的高度大约为9\,\mathrm{km}, 与我们的估计符合得很好.

我们还能得到一些更有意思的结论.

R为地球半径, 则\frac{h_{\mathrm{max}}}{R}\simeq\frac{\alpha E_0/a^3}{\rho\frac{G\rho_\mathrm{e} R^3}{R^2}R}\sim\frac{1}{R^2}. 对于地球R_{\mathrm{e}}\simeq6000\,\mathrm{km}, \frac{h_{\mathrm{max}}}{R_{\mathrm{e}}}\simeq10^{-3}. 对于小行星, 其半径R\simeq\frac{R_{\mathrm{e}}}{30}, 即\frac{h}{R}=\left(\frac{R_{\mathrm{e}}}{R}\right)^2\times10^{-3}\simeq1. 小行星上最高的山与小行星半径相比几乎相当, 这也是为什么小行星看起来大都不是球形的.

  • 水黾有多大? 水滴有多大?

原子世界的特征长度为a_0\simeq2\,\overset{\circ}{\mathrm{A}}, 而生物的特征长度为l\simeq1\,\mathrm{cm}. 为什么它们之间相差了八个数量级? 也许生命从海洋演化到陆地. 而水黾作为水上的生物可以在水上行走, 它在生命演化的过程中可能是重要一环. 水黾的大小和生物的大小直接相关. 我们可以估算水黾的大小.

水黾的重力为f_g=mg\simeq\rho r^3g. 水的表面张力大小为f_\sigma\simeq\sigma r^2. 其中r是水黾的特征长度, \sigma为表面张力系数. 二力平衡, 有r\simeq\sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}}.

表满张力系数的量纲为[\sigma]=[E]L^{-2}. 因此\sigma\simeq\frac{E_0}{a_0^2}. 而\rho\simeq\frac{Am_p}{a_0^3}. 令A=20并带入相关数据, 可得r\simeq 1\,\mathrm{cm}. 这与我们的日常经验符合得很好.

除了估算水黾的大小以外, 上面的方法还可以估算水滴的大小. 水滴受重力作用, 下部比上部受更大的压强. 与这一压强竞争的是表面张力. 表面张力导致水滴不破裂. 但表面张力f_\sigma\simeq\sigma r^2与尺寸的平方成正比, 重力f_g=mg\simeq\rho r^3g与尺寸的立方成正比. 显然重力增长得更快, 因此水滴大到一定程度便会受重力作用破裂. 二力平衡, r\simeq\sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}}\simeq 1\,\mathrm{cm}. 这也确实符合我们的经验.

  • 大统一!

总结一下上面从原子到水黾再到珠穆朗玛峰的估算:
    • 水黾/水滴: r\simeq\sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}}, \sigma\simeq\frac{E_0}{a^2};
    • 珠穆朗玛峰: h\simeq \frac{\mathcal{M}}{\rho g}, \mathcal{M}\simeq\frac{E_0}{a^3}.

由此可以得到\frac{r^2}{h}\simeq a. 这个简单的公式统一了原子, 生命和高山!

编辑于 2014-12-24

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