为什么蓝星人永远建不成太空电梯?

为什么蓝星人永远建不成太空电梯?

星移君星移君

蓝星人始终幻想着,能有一天摆脱火箭这种低效率的运输方式,直接建立从地面通往天穹的“天梯”。有人把它叫做“太空电梯”,也有人称之为“轨道升降机”。然而他们并不知道,由于无法突破物理定律的限制,在蓝星上建起太空电梯并不现实。而与此相反的是,若干年后,离太阳更为遥远的火星上,一架架太空电梯却能“屹立”而起。


太空电梯的前世今生

早在《圣经·创世纪》中,人类就希望共同建造一座从地面高耸至天际的通天巨塔——巴别塔,来传扬自己的声名。而最早提出太空电梯这个概念的人应该是俄国的“火箭之父”——齐奥尔科夫斯基。他设想中的这座太空电梯从地面一直通往高达 36000 千米的地球同步轨道。随着电梯高度的不断升高,内部的重力也逐渐降低。当货物随着电梯到达终点站时,其自身的速度就已经能维持绕地球的同步轨道运动了。因此同步轨道站点处于完全失重的状态。


在 1979 年,亚瑟·克拉克的科幻小说——《天堂的喷泉》第一次将太空电梯这个超前的概念带入了公众的视野。在此之后,太空电梯也广泛存在于各类科幻作品中。不论是《三体》中使用先进的纳米材料制造的太空电梯,还是《机动战士高达00》中 Union、AEU、人革联三分天下时的三架轨道升降机,其基本概念与原理都是相同的。

《机动战士高达00》中设想的太空电梯

如今,我们也能时不时地听到一些相关的新闻报道,要么是日本的公司“大林组”计划在 2050 年之前建成第一座太空电梯,抑或是加拿大的公司提出了新的太空电梯方案。先不管这是否是商业公司进行炒作的噱头,这些新闻确实让更多的人产生了一种疑惑——我们离抛弃火箭、拥抱太空电梯的时代真的很近了吗?


事实果真如此?建造太空电梯所需要的科技离我们究竟有多远?我们将在下文中进行详尽的分析。


太空电梯?受压还是受拉?

在介绍太空电梯的原理之前,我们必须要明确一个问题——太空电梯是一座伫立于地面的巨塔还是一条从轨道上垂下的悬链?或者也可以这样问——太空电梯是受压的还是受拉的?


在齐奥尔科夫斯基最早提出的方案中,太空电梯是一座塔。与大多数高层建筑的受力情况类似,这样的太空电梯内部受到的是压力。对于常用的建筑材料,例如混凝土来说,其抗压性能是抗拉性能的十倍。但是如今的太空电梯方案都是从同步轨道向下延伸的一条悬链,而寻找高强度的抗拉材料则成为了太空电梯能否建成的关键。


为什么选择让太空电梯受拉而不是受压呢?这就要谈到力学上稳定性的问题。在生活中我们都有这样的经验:对于一根空心的吸管,怎么拉都拉不断;但是一旦你顶住吸管的两头向内使力的话,用很小的力就可以让吸管弯折。实际上,吸管并不是由于内部应力超过抗压强度被压坏的,而是由于压力导致吸管产生了稳定性失效(也称为失稳或者屈曲失效)。


材料刚好发生失稳时的受到的压力被称为临界失稳压力,这个临界力的大小与结构的长度的平方成反比。换句话说,如果将这根吸管对半剪开,那么使它失稳的临界压力就会变为原来的四倍。


相比于地球上的高层建筑来说,太空电梯的长细比可就大得多了。比如目前最高的建筑迪拜塔,它的长细比约在 10:1。而长度达到 36000 千米的太空电梯,其长细比至少也能接近万的量级。如果让它承受压力的话,它的失稳临界压力将会非常之小,很可能会直接被自己的自重给压垮。因此,我们只有考虑受拉的太空电梯方案,才能避开稳定性失效的问题继续分析。


太空电梯的设计原理

我们已经知道了,太空电梯是一条从同步轨道垂下来的“悬链”。这意味着,在越接近同步轨道的地方,太空电梯内部受到的拉力将越大。这是因为在电梯的任何一个分段,都将受到其下所有部分的重力的作用。

来源:Mars Elevator | Wanderers ,经作者 Erik Wernquist 授权后使用。

不过,材料破坏与否并不是仅仅看受力大小,还要看力所作用的面积。这一点很好理解,在同样大小的拉力下,越细的管子越容易被拉断。所以我们需要用“应力(力除以作用面积)”来衡量太空电梯是否会被破坏。如果太空电梯的截面积是均匀的话,那么很显然,受到拉力最大的地方,也就是同步轨道处最容易发生断裂。


我们有没有什么办法让整个太空电梯内部所受到的应力相等呢?当然有了!我们知道了拉力是随着高度增加而变大,那么一架等强度(内部拉应力均相等)太空电梯的截面积也应该随着高度增加而变大。因此,优化的太空电梯方案就从一条粗细均匀的“悬链”变成了上粗下细的漏斗状“悬链”。


此外,我们还能通过力学上的分析获得拉力大小随高度变化的函数,那么理想太空电梯的横截面积变化函数也就能够轻易地得到了。


(注:具体推导与计算部分已全部标注出来,读者可以选择性跳过)

推导①


设太空电梯内部拉力、横截面积随距离 x(与地心的距离)的变化函数分别为 T(x)A(x)

应用牛顿第二定律

dT= -\rho A(x) g(x)dx

其中,等效加速度 g(x) 是重力加速度与离心加速度的矢量和

g(x) = -\frac{GM}{x^2} + x\Omega^2

拉力还可以表示为应力乘以截面积 dT = d(\sigma(x) A(x))。由于我们假设整个电梯内应力为常值,那么\sigma(x) = \sigma

\frac{dA(x)}{dx} = -\frac{\rho}{\sigma} A(x) g(x)

积分后我们可以得到

A(x)  = A _ 0 \exp{\left(- \frac{\rho}{\sigma} \left[ G M \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x _ 0} \right) + \frac{1}{2} \Omega^2 (x^2 - x _ 0^2) \right] \right)}

其中下标 _0 代表行星表面的值. 以地球为例,我们有 x_0=R_E。太空电梯起始处的横截面积为 A(x_0)=A_0。地球同步轨道(GEO)处的横截面积用 A(x_{GEO}) 来表示,将地球的相关数据带入,可以计算出

A(x_{GEO}) = A _ 0\exp\left(C_{earth} \frac{\rho}{\sigma} \right)

对于地球,常数 C_{earth}=4.85\times 10^7(均为国际单位制,下同)。

\frac{A(x_{GEO})}{A_0} 被定义为太空电梯的 Taper Ratio(根尖比,也就是最高处的截面积与地面截面积之比)。

推导①结束


比强度!比强度!还是比强度!

从上面的理论分析我们可以知道,制约太空电梯最重要的因素就是材料的比强度\frac{\sigma}{\rho}(材料的抗拉强度除以材料的密度)。如果建造材料的比强度减小,那么电梯最上端的横截面积将会以指数的速度增加,所需材料也会随之增多。


假设我们用比强度较低的钢材在地球上建造太空电梯的话,所需要的钢材质量比整个宇宙的质量都还要多。而使用碳纤维建造的话,需要的质量能够达到月球质量的百分之一。

来源:youtube.com/watch?

这也是为什么我们必须使用碳纳米管这种比强度傲视群雄的材料才能在地球上制造太空电梯的原因。

来源:Specific strength

虽然从比强度的数据上来看,碳纳米管能够担当太空电梯建筑材料的重任。但是,以目前的材料科学水平,仅仅能在实验室中制备长度在分米量级的碳纳米管,离实际的工程应用还很遥远,更别说制备长达数万千米的碳纳米管了。


如果材料科学无法取得颠覆性突破的话,在地球上建造太空电梯只能成为天方夜谭。但是,如果将地点放在火星,情况就会大不一样。


推导②

将火星的质量、同步轨道高度、自转角速度等数据代入公式

A(x)  = A _ 0 \exp{\left(- \frac{\rho}{\sigma} \left[ G M \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x _ 0} \right) + \frac{1}{2} \Omega^2 (x^2 - x _ 0^2) \right] \right)}

重新计算,可以得到火星上太空电梯 Taper Ratio 的计算式

\frac{A(x_{ASO})}{A_0} = \exp\left(C_{mars} \frac{\rho}{\sigma} \right)

对于火星,常数 C_{mars}=9.52\times 10^6

将上面表格中柴隆的比强度数据\frac{\sigma}{\rho}=3.766\times 10^6代入公式后,得到 Taper Ratio 为12.5。而碳纤维的Taper Ratio 为 48。

推导②结束


可以发现,如果将火星的相关数据带入公式进行计算的话,柴隆这种材料就完全可以满足太空电梯的建造需要了。


仅仅从对材料的要求上来看的话,在火星上建造太空电梯比在地球上更为可能。现有的材料已经能够担此重任。


此曲只因天上有:太空电梯的振动

上面我们只分析了太空电梯的静力状态。如果继续考虑太空电梯上的移动载荷(货舱)以及大气层内的风载荷,我们还需要对太空电梯的动力学状态进行分析。


通过生活上的经验我们都知道,对于弦乐器来说,琴弦拉得越紧,演奏出的音调就越高,也就是说弦振动的频率越高;而弦的长度越长,演奏出的音调越低,其振动频率也就越低。那么我们是否可以把太空电梯当做一根从天际连接到地面的琴弦来分析呢?


由于太空电梯的长细比很高,内部的拉力也非常大。为了问题的简化,我们可以将其考虑为一根均匀弦的振动而不考虑为工程中常用的梁振动。


太空电梯的长度非常长,但弦上的拉力也非常大,那么它的振动频率究竟处在一个什么样的量级上呢?


推导③

对于两端固定的均匀弦的自由振动,振动微分方程与边界条件为

u_{tt}-a^2u_{xx}=0,

u|_{x=0}=0,
u|_{x=l}=0

其中a^2=T/\rho,T为拉力。

使用分离变量法(解法可见任意一本数理方程教材),可以解出上述偏微分方程

u_n(x,t)=\left(A_n\cos{\frac{n\pi at}{l}}+B_n\sin{\frac{n\pi at}{l}}\right)\sin{\frac{n\pi x}{l}}\quad(n=1,2,3,...)

当 n=1 时,固有频率被称为基频,其他阶频率都与基频呈简单的倍数关系

f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{a}{2l}=\frac{\sqrt{T/\rho}}{2l}=\frac{\sqrt{\sigma A/\rho}}{2l}

对于地球,我们假设A=10(实际上太空电梯的截面积是不均匀的,这导致了电梯上的拉力各处都不相同,关于这个问题更为详细的推导可以见这个文档。而在这里,我们只将拉力与截面积均视为均匀,以方便计算),取碳纳米管的比强度数据\frac{\sigma}{\rho}=6e7,以及地球同步轨道高度l=36000e3,算出

f_{earth} = 3.40\times10^{-4} Hz,\quad
T_{earth} = 2.94\times 10^3 s = 0.82 h

而对于火星,我们仍然假设 A=10,取柴隆的比强度数据\frac{\sigma}{\rho}=3.766\times 10^6,火星同步轨道高度l=17000\times 10^3,算出

f_{mars} = 1.80\times10^{-4} Hz,\quad
T_{mars} = 5.54\times 10^3 s = 1.54 h

推导③结束


通过计算,我们可以知道,不管是对于地球上还是火星上的太空电梯,其振动的固有周期大约在小时量级(如果将电梯的截面积A取大一点的话,频率会增加而周期会减小),这等于是说太空电梯大约每一个小时才振动一个来回。


对于工程上的结构,我们研究其固有频率主要是为了避免发生共振。当外界激励力的频率与结构的固有频率相近时,振动幅度会显著增大,这种现象被称为共振。而对于太空电梯来说,其固有周期在小时量级,一般的声波对它来说是高频振动,只有频率相当相当小的次声波才会对太空电梯产生显著的影响。另外,周围大气与风力的周期性变化也可能使太空电梯发生共振。


有了太空电梯振动的固有频率和模态(可以理解为振动方式),我们就可以根据实际的载荷计算出太空电梯的动响应。具体的问题需要深入的分析,在这里我们就不进一步计算了。


下面是剧(guang)透(gao)

星际移民之书的设定中,就设想了一个材料科学的极限无法突破,蓝星人永远无法在地球上成功建造太空电梯,而火星移民者却能凭借着太空电梯建立起相较于地球的太空优势,从而......(啊,星移君不能剧透太多了_(:з」∠)_)......的世界。


来源:Mars Elevator | Wanderers ,经作者 Erik Wernquist 授权后使用。

如果对星际移民之书中庞大的设定内容感兴趣的话,星移君会在本专栏中逐步更新关于这个设定的连载文章哦,敬请关注~


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