复变函数的柯西定理

在定义了复变函数的可导、解析、积分后，可以推导得到关于复变函数围线积分值的定理，即柯西定理。柯西定理可以使得复变函数积分值的求解更加简便。

单连通区域的柯西定理：

f(z)在单连通闭区域 \overline {B}上解析，则沿\overline{B}上任一光滑闭合曲线l，有

\oint_l f(z) dz=0.

这个结论乍一看是有些令人吃惊的.对于一个解析的复变函数，沿任意闭曲线积分值竟然都是0，而且被积函数可以不是一个恒为零的常数。这似乎有些奇怪？回忆实变函数的围线积分，形式上跟复变函数的围线积分也很像，但为何积分值却未必为0？这矛盾吗？

这并不矛盾。实际上，复变函数一旦是解析的，那么对其函数形式是有要求的，那就是柯西-黎曼条件（C-R Condition），其实部和虚部是有联系的，不是相互独立的。正是这个联系，导致了围线积分值恒为0的结果。

而对于实变函数而言，则没有这种限制。

特别地，若令复变函数的自变量的虚部恒为0，则复变函数退化为实变函数。这时围线积分退化为往返积分（从实数x_0积到实数x_t，再重新积到x_0）,积分值为0也是成立的。

对于复连通区域（直观上看就是有“洞”的区域）的柯西定理：

f(z)在复连通闭区域上解析，则有

\oint_l f(z) dz+ \sum_i \oint _{l_i}f(z)dz=0

其中l为区域的外边界，l_i为区域的内边界，积分均沿正方向。

其证明只需作辅助线，将复连通区域分成若干单连通区域，运用单连通区域上的柯西定理，结合积分的方向性即可。

下以只有一个“洞”的复连通区域为例，作辅助线（红线）。

其中l为区域的外边界，l_1为区域的内边界，红色线为辅助线。则将复连通区域分成了上、下两个单连通区域。对这两个单连通区域分别应用单连通区域上的柯西定理，结合积分的方向性可得证。

最后，还有一个重要的推论：

对于某个单/复连通区域上解析的复变函数f(z),只要起点和终点不变，当积分路径连续变形（不跳过任何的“洞”）时，积分值不变。.

这个推论可以帮助我们求解复变函数的积分！

对于非围线积分，可以将积分路径变成直线、折线、弧线求解，如下图所示。

沿着红线、紫线、蓝线的积分值是相同的。

对于围线积分，则可以转化为任意半径的圆，这可为积分的求解带来许多便利。比如一个重要积分的求解。

I=\oint_l (z-\alpha )^n dz ,\ n \in Z

这个积分的被积函数是一个幂级数项，故也可称为幂级数项积分，在推导留数定理时会用到。

沿着黑线、紫线的积分值是相同的。

参考资料

【1】《数学物理方法》 梁昆淼