玻色弦学习札记

弦论脱胎于高能物理,以大统一理论以及出了名的艰难深刻而著称。的确,超弦理论中有非常非常多的数学结构,其难度也是异常巨大的。弦论中的内容异常丰富,研究弦论的人可以做着完全不同的课题,甚至看不到彼此之间的联系。这次string2016弦论大会,有做黑洞信息佯谬的,有做量子纠缠与时空关系的,有做conformal bootstrap的,有做散射振幅的,也有做模形式等纯粹的数学物理的。在弦论研究的前沿,聚集着一批世界上最有天赋的物理学家,通过他们的共同努力,已经在这个领域取得了一系列的重大进展。可以说无论弦论是否是正确的统一理论,它对于物理学的影响已经渗透到了方方面面。无论做引力,凝聚态强关联还是高能,了解弦论的东西都是必要的。

首先是学习材料的推荐:

个人觉得从玻色弦入手会容易很多,因为很多概念都是一样的。在单独学习超对称之后,再转入超弦的学习是一个比较合理的路径。我也只了解了一点玻色弦。个人推荐的材料都比较基础:

1 David 的弦论讲义,David的课一生推,深入浅出,点到为止,引人入胜。同时,内容编排上非常合理。

David Tong -- Cambridge Lecture Notes on String Theory

2 MIT刘宏的holographic duality

课程视频:

youtube.com/watch?

3 Polchiniski的弦论课,和他编写的两卷本教材不同,这个课的讲义删去了不少初学难以理解的细节,读起来容易了很多。

Physics 230A, String Theory

4 Zwiebach的书也非常适合初学,不过内容有点多。

A First Course in String Theory

玻色弦目录:

1 作用量及其对称性

2 运动方程,模式展开,边界条件

3 正则量子化(闭弦)

4正则量子化(开弦)和D-brane

5 共形场论

6 路径积分量子化(FP method)



1 作用量和对称性

在点粒子中,因为线长是一个相对论不变量,通常作用量可以写作S=-mc\int ds进行变分,得到狭义相对论的动力学。将点粒子进行推广,认为基本粒子是弦的话,作用量的一个自然的推广就是弦扫过的世界面的面积S=-\frac{1}{2\pi \alpha}\int d\sigma d\tau \sqrt{-h},其中h是target space在世界面上的诱导度规,这就是Nambu-Goto作用量。Nambu-Goto作用量的根号特点使得量子化及其困难,所以通常用的是和Nambu-Goto作用量等价的Polyakov作用量代替。

S=-\frac{1}{4 \pi \alpha'}\int d^{2}\sigma \sqrt{-g}g^{\alpha\beta}\partial_{\alpha}X^{\mu}\partial_{\beta}X^{\nu} \eta_{\mu\nu}

其等价性可以通过S对度规求变分,发现度规g_{\alpha\beta}和诱导度规h只差一个2f,f是一个标量,f^{-1}=g^{\rho\sigma}\partial_{\rho}X \partial_{\sigma}X.代入就发现f相互抵消,它回到了Nambu-Goto作用量。

Polyakov作用量还有一个好处就是它的对称性变多了,出了Nambu-Goto的Poincare对称性和reparameterization对称性之外,还具有weyl不变性。也就是说当g_{\alpha\beta}\to e^{2\phi}g_{\alpha\beta},作用量不变。其实这个要求是比较苛刻的,当存在宇宙学常数或者势能项之后,都会导致这个weyl对称性的破缺。

2

2.1运动方程

我们可以依据对称性,将原来较为复杂的Polyakov作用量进行化简。在二维的情况下,当度规关系是g'_{\alpha \beta}=e^{2\phi}g_{\alpha \beta},不难计算标量曲率具有如下关系R'=R-2\nabla^{2}\phi. 我们可以通过解\phi的方程得到标量曲率为0的情况,二维下,标量曲率为0对应于平直度规。再由weyl不变性,所以给定的一个度规,我们总可以把它变成闵式度规\eta_{\alpha \beta}.

S简化为S=-\frac{1}{4\pi \alpha'}\int d^{2}\sigma \partial_{\alpha}X\partial^{\alpha}X。 运动方程可以通过变分马上得出

\partial_{\alpha}\partial^{\alpha}X^{\mu}=0, it is nothing but a free wave equation.

它是否就如此简单了?其实不是,我们忽略了约束。作用量对度规变分为0(也即世界面上的能动张量是0)\frac{\partial S}{\partial g^{\alpha \beta}}=0, 通过简单计算推导出如下两个约束条件

\partial_{\tau}X\partial_{\sigma}X=0(\partial_{\tau}X)^{2}+(\partial_{\sigma}X)^{2}=0.

因此弦的解要考虑是否满足这两个约束条件。

除了运动方程之外,确定一个解还要看边界条件,一维物体只有开弦和闭弦两种,对于闭弦,边界条件就是周期性条件X(\sigma+2\pi, \tau)=X(\sigma,\tau),对于开弦,端点可能有Dilerich边界条件(第一类边界条件)和诺伊曼边界条件(第二类边界条件).值得一提的是,由于开弦的D边界条件,则端点需要固定在什么东西上,也就发现,弦论中具有动力学的物体不只有弦,还有更高维的,这也就是著名的D-brane.

2.2 模式展开

lightcone 坐标\sigma^{+}=\sigma+\tau, \sigma^{-}=\sigma-\tau

\partial_{+}\partial_{-}X=0的满足闭弦边界条件的解可以分为left moving和right moving, 可以写成如下的展开形式(质心的位置和运动加上弦上的激发的贡献)。

X_{L}^{\mu}(\sigma^{+})=\frac{1}{2}x^{\mu}+\frac{1}{2}\alpha'p^{\mu} \sigma^{+}+i\sqrt{\frac{\alpha'}{2}}\sum_{n\ne 0}\frac{1}{n}\tilde{\alpha}_{n}^{\mu}e^{-in\sigma^{+}}

X_{L}^{\mu}(\sigma^{-})=\frac{1}{2}x^{\mu}+\frac{1}{2}\alpha'p^{\mu} \sigma^{-}+i\sqrt{\frac{\alpha'}{2}}\sum_{n\ne 0}\frac{1}{n}\alpha_{n}^{\mu}e^{-in\sigma^{-}}

同时根据这个解满足约束条件,代入(\partial_{+}X)^{2}=(\partial_{-}X)^{2}=0,可以推导出L_{n}=\tilde{L}_{n}=0

其中L_{n}=\frac{1}{2}\sum_{m}\alpha_{n-m}\alpha_{m}. 这一系列约束确定了系数之间的关系,其中L_{0}的约束给出了质量的表达式,为了让左行和右行模给出同一个质量,我们得到了所谓的level maching条件,这个条件在量子化中是有用的。

正则量子化:

场论中通常有正则量子化和路径积分量子化两种,弦论中也不例外。因为规范对称性,不论哪种方法都会给出ghost,而如何消除ghost是很有趣的。这里先介绍正则量子化的lightcone quantization方法,而不去涉及更fancy的BRST。 关于路径积分的问题,在后面我们会详述。

lightcone quantization的思路是先解约束,找出物理态的空间,然后进行量子化,由于约束的存在以及\tilde{\sigma}^{+}(\sigma^{+}), \tilde{\sigma}^{-}(\sigma^{-})这个剩余的reparameterization,原本2D(包括left moving 和right moving)个函数被缩减到2(D-2)个,独立的自由度描述了弦的横向振动。

引入lightcone坐标X^{\pm}=\sqrt{\frac{1}{2}}(X^{0} \pm X^{D-1})

ds^{2}=-2dX^{+}dX^{-}+\sum_{i=1}^{D-2}dX^{i}dX^{i}

规范固定之后lightcone坐标是可以完全被确定的,物理的态空间就是D-2维的横向空间。

并且可以得到质量的表达式

M^{2}=-p_{\mu}p^{\mu}=2p^{+}p^{-}-\sum_{i=1}^{D-2}p^{i}p^{i}=\frac{2}{\alpha'}\sum_{i=1}^{D-2}\sum_{n\ne 0}\alpha_{n}^{i}\alpha_{-n}^{i}( 最后一步来自于满足约束条件)

下面就可以进行量子化了,即将展开系数\alpha_{n}promote成算符

[\alpha_{n}^{i},\alpha_{m}^{j}]=n\delta^{ij}\delta_{n+m,0}. 不难看出\frac{\alpha_{-n}}{\sqrt{n}}充当了产生算符的作用,用来得到激发态。

既然是算符,这里也存在量子场论中出现的order ambiguity。如果我们采取normal order, 利用关系得到M^{2}=\frac{4}{\alpha'}(\sum_{i=1}^{D-2}\sum_{n>0}\alpha_{-n}^{i}\alpha_{n}^{i}+\sum_{n>0}\frac{D-2}{2}n)

其中涉及到了著名的求和\sum_{n\in Z} n, 利用\zeta(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}n^{-s}, \zeta(-1)=-\frac{1}{12}

M^{2}式子中第一项是粒子数N,所以

M^{2}=\frac{4}{\alpha'}(N-\frac{D-2}{24})

有了质量的表达式就可以讨论闭弦的粒子谱了,这里也会有一些有趣的东西。

首先,当不存在激发的时候,弦的基态的质量是虚数,这在物理上通常被称作快子(tachyon),快子理解为是速度超光速粒子帮助不大,正确的理解是真空不稳定,注意到质量的平方可以是势能对于场的二阶导数,如果是负的,意味着我们在势能曲线的顶点附近进行的展开,也就意味着不稳定平衡。其实,墨西哥帽在V=0处也会有快子。

快子的出现以及最终的演化并没有被很好的理解,也是玻色弦的一个不足之处,引入超对称之后,快子的问题可以得到解决。

再看第一激发态\tilde{\alpha}^{i}_{-1} \alpha^{j}_{-1}|0,p\rangle, 这么写是level maching的要求。

M^{2}=\frac{4}{\alpha'}(1-\frac{D-2}{24})

因为 i,j分别取1.....D-2, 所以一共有(D-2)^{2}种粒子。 根据wigner定理,我们需要找到一个群的表示能够放下这么多的粒子。

这就和质量有关,如果是massive的,意味着我们可以处于和这个粒子相对静止的参考系,它的little group是SO(D-1), 但这个群无法具有(D-2)^{2}个表示。 而如果考虑massless的情况,最好的可能是将粒子boost到(p,0,0,,,,,p)这个情况,其小群就是SO(D-2),其实还应该包括平移的ISO,不过这里不影响结论。这个群正好具有(D-2)^{2}维度的表示,于是我们知道为了理论的自洽,M一定是为0的,也就是说D=26. 从一个角度得到了玻色弦的临界维数。

SO(24)这个表示可以被分解成三个不可约的表示,无迹对称部分G_{\mu\nu},反对称部分B_{\mu\nu}, 和迹标量场\Phi. 这些在低能有效作用量中能看到,其中G_{\mu\nu}给出无质量自旋为2的粒子,也就是引力子,弦论预测了引力!\Phi是dilaton,给出string coupling 。

4 : 开弦和D-brane

依然从弦的Polyakov作用量说起:S=-\frac{1}{4\pi \alpha}\int d^{2}\sigma \partial_{\alpha}X \partial^{\alpha}X

进行变分\delta S=\frac{1}{2\pi \alpha} \int d^{2}\sigma(\partial^{\alpha}\partial_{\alpha}X)\delta X -\frac{1}{2\pi \alpha}\int d^{2}\sigma\partial^{\alpha}(\delta X \partial_{\alpha}X)

第一项由于运动方程自动为0,第二项给出边界条件。

开弦的特点是具有两个端点,空间坐标参数可以选为\sigma \in [0,\pi], 第二项给出-\frac{1}{2\pi \alpha}[\int^{\tau_{f}}_{\tau_{i}} d\tau \partial_{\sigma}X\delta X]^{\sigma=\pi}_{\sigma=0}

边界条件为\partial_{\sigma}X \delta X=0\sigma=0,\pi,

有可能是\delta X=0, 也有可能是\partial_{\sigma} X=0, 前者对应Dirichlet 边界条件,后者对应Neumann边界条件。

Dirichlet边界条件的出现意味着弦在时空中存在一个终点,也就是说弦论中除了弦之外,还有其他的高能物体存在,供弦的端点处于其上。这就是D-brane.

开弦的端点终结在一个p+1维的超曲面上,其边界条件为

\partial_{\sigma}X^{a}=0 , a=0,....p

X^{I}=c, I=p+1,.....D-1

也就是说在D膜上,弦的端点可以自由移动。 这样的D-brane叫做Dp brane。p表示的是空间的维度,通常我们默认时间是诺伊曼边界条件,如果时间方向满足D边界条件,就是我们通常所说的瞬子。可以写作D(-1)brane。 相似的,D(0)brane是点粒子,D(1) brane是弦。

D-brane的出现破坏了原来的洛仑兹对称性,SO(1,D-1) 破缺为SO(1,p) \times SO(D-p-1)

和闭弦一样,开弦也可以做类似的mode expansion

X^{\mu}_{L}(\sigma^{+})=\frac{1}{2}x^{\mu}+\alpha'p^{\mu}\sigma^{+}+i\sqrt{\frac{\alpha'}{2}} \sum_{n\ne 0} \frac{1}{n}\tilde{\alpha}^{\mu}_{n}e^{-in\sigma^{+}}

X^{\mu}_{L}(\sigma^{-})=\frac{1}{2}x^{\mu}+\alpha'p^{\mu}\sigma^{-}+i\sqrt{\frac{\alpha'}{2}} \sum_{n\ne 0} \frac{1}{n}\alpha^{\mu}_{n}e^{-in\sigma^{-}}

我们也可以做lightcone quantization, 将展开系数promote成算符

X^{+}=\sqrt{\frac{1}{2}}(X^{0}+X^{p})

X^{-}=\sqrt{\frac{1}{2}}(X^{0}-X^{p})

可以得到类似的关于质量的关系式

M^{2}=\frac{1}{2\alpha'}(\sum_{i=1}^{p-1}\sum_{n\ne 0} \alpha_{-n}^{i}\alpha_{n}^{i}+\sum_{i=p+1}^{D-1}\sum_{n\ne 0} \alpha_{-n}^{i}\alpha_{n}^{i})

normal order之后,将湮灭算符放到右边

M^{2}=\frac{1}{\alpha'}(\sum_{i=1}^{p-1}\sum_{n> 0} \alpha_{-n}^{i}\alpha_{n}^{i}+\sum_{i=p+1}^{D-1}\sum_{n> 0} \alpha_{-n}^{i}\alpha_{n}^{i}-\frac{D-2}{24})

我们发现开弦质量的公式和闭弦不同,首先差了一个四倍,因为开弦\sigma \in [0,\pi], p^{\mu}为了满足动量的定义,展开系数少了一个2. 其次,由于边界条件,\alpha, \tilde{\alpha}不再是相互独立的了。展开只用\alpha即可。

开弦处于26维的空间,我们最终得到了质量和总角动量之间的关系N=\alpha'M^{2}+1, N和M的平方是正比的关系,这叫Regge trajectories. 最早研究强相互作用粒子角动量和质量之间关系的时候提出来,算得上是弦论早起的motivation之一了。

开弦粒子谱:

N=0的时候,M^{2}=-\frac{1}{\alpha'}, 开弦也存在快子态,其真空是不稳定的

N=1的时候是massless粒子,当它是brane的纵模激发时,\alpha_{-1}^{a} |0,p\rangle a=1,....p-1. 是规范粒子,即光子。

当它是垂直于brane的激发时,会给出D-p-1个无质量的标量粒子。

5: 共形场论

共形场论是弦论的数学基础,也是一个异常丰富的课题。共形场论的应用已经超出了弦论的范畴,在凝聚态物理(conformal bootstrap)等领域都有重大用途。

本专栏的前几篇文章已经对于CFT做了最简单的一点介绍,这里我们只提和弦论密切相关的primary field和state operator map.

primary field的变换性质类似于我们熟悉的张量密度的变换性质,在CFT中,判断的依据在于看它和能动量张量T的算子积展开。

T(z)O(w,\bar{w})=h\frac{O(w,\bar{w})}{(z-w)^{2}}+\frac{\partial O(w,\bar{w})} {z-w}+...的时候,证明O是primary operator,h叫做conformal weight。 这个展开也会存在\frac{1}{(z-w)^{4}}项, 也对应着理论存在中心荷c,意味着共形对称性在量子化之后不再具备,即共形反常。关于算子积展开的具体计算的例子,这里由于篇幅不再涉及,Conformal Field Theory此书有详细的论述。

state operator map:

CFT的一个重大的特点是态和局域算符可以进行一一对应,这是通常的QFT所不具备的,原因在于根据CFT的radial quantization, 平面的中心可以map到柱面的过去无穷远。我们在过去无穷远有一个初态,\Psi_{i}, 可以经过时间演化变到态\Psi_{f}=\int D\phi_{i}\int^{\phi(r_{f})}_{\phi(r_{i})} D\phi e^{-S(\phi)}\Psi_{i}, 无穷远对应于平面上z=0的地方,所以不妨另\Psi_{i}=O(z=0),于是我们发现对于z=0附近的任意一个算符O,都可以通过这种方法找到一个态与之对应。

一般的QFT,由于没有办法通过z=e^{-iw}联系柱面的过去无穷远和平面的原点。所以不具有良好的state-operator correspondence.

回顾一下上次关于径向量子化的问题,一个复数可以表示为z=re^{-i\theta}, 做一个共形变换w=i ln(z), 我们可以得到w=\theta+i lnr,其中\theta因为是复数的辐角,以2\pi为周期。我们来看w, 因为r>0,不妨令r=e^{\tau}, 这样w=\sigma+i\tau,w的意义就比较清楚了,-\infty<\tau<\infty,所以可以看成是时间坐标,而空间\sigma是紧致化为了一个圆周。这就是一个柱面,我们实现了一个柱面到一个平面的映射,其中r=0对应于\tau=-\infty,也就是说柱面上的过去无穷远对应了复平面的原点。过去无穷远的态可以看作是复平面原点上的一个算符。这就是闭弦的state-operator map.

再来看开弦的,开弦和闭弦的不同之处在于worldsheet,开弦的空间部分可以取值为\sigma \in [0,\pi]z=e^{-iw}=e^{\tau}e^{-i\sigma}, 因为空间部分的取值导致z的虚部始终是正的,也即开弦只能映射到复平面的上半平面,对应的是CFT with the boundary, boundary是Im(z)=0.

二者的不同如图:


一个有趣的事情是,当我们计算后者的标量场X的两点关联函数的时候


\langle X(z,\bar{z})X(w,\bar{w})\rangle=G(z,\bar{z};w,\bar{w})

并且\partial^{2}G=-2\pi \alpha \delta(z-z'), (这个方程可以通过一个小trick得到,那就是全微分的积分为0).不再展开叙述。

如果我们给它加上诺伊曼边界条件的话,那么还有如下的边界条件\partial_{\sigma}G(z,\bar{z};w,\bar{w})=0|_{\sigma=0},

这个方程我们其实在电动力学的学习中非常的熟悉,如果认为G是电势的话,G的第一个方程代表了点电荷的高斯定理,而G的边界条件意味着边界上的电势不变,即电场垂直于边界,it is nothing but a method of image charge!!, 所以对于有边界的CFT来说,计算其关联函数还有一项来自于像点的贡献。

5 弦的路径积分量子化:

顶点算子:

根据我们之前state-operator的介绍,我们是在一点给予了一个算符。但是对于变化的背景时空(广义相对论的核心),给予一点的算符并不具备微分同胚不变性,因为我们总可以做坐标变换将一点变到另一点。但是弦的世界面具有微分同胚不变性,所以为了代表弦的态,就不能单纯的指定一个点的算子,而是要对整个世界面做积分。一个满足微分同胚不变的定义是

V\sim \int d^{2}z O

同时,除了微分同胚不变性,弦的世界面还具有weyl不变性,这就要求V是一个权h=0的量。测度d^{2}z的权是(h,\tilde{h})=(-1,-1), 所以O的权是(1,1). 马上我们会看到weyl不变性,确定的是质量关系(在壳条件),这也很容易理解,在一个散射过程中,顶点算子的作用其实就类似于场论中费曼图外腿的作用,费曼图中的外腿是在壳的(满足质能方程),所以说顶点算子也应该是在壳的

一些精确的顶点算子的例子:

这里我们以闭弦为例,具体说明一下顶点算子应该怎么写:

首先是基态,也就是快子态:V_{tachyon}\sim \int d^{2}z: e^{ipX}:

这里e^{ipX}可以证明它是primary的,证明的方法是让它和能动量张量做一个算子积展开,这个展开的具体结果如下:

T(z):e^{ipX(w,\bar{w})}:=\frac{\alpha' p^{2}:e^{ipX}:}{4(z-w)^{2}}+......

根据h的定义,我们可以看出h=\frac{\alpha'p^2}{4},令h=1

我们可以得到p^{2}=-M^{2}=\frac{4}{\alpha'}. 这就是之前介绍的快子的质量。

其次是第一激发态\xi _{\mu\nu}\alpha_{-1}^{\mu}\tilde{\alpha}_{-1}^{\nu}|0;p\rangle, 这个态的顶点算子可以表示成

V_{excited} \sim \int d^{z}:e^{ipX} \partial X^{\mu} \bar{\partial}X^{\nu}:\xi_{\mu\nu}.

之所以能写成这样,其实是来自于更基础的state-operator Map

\alpha_{-n}=\int DX e^{-S[X]} \partial^{n}X(z=0) (这个很容易利用湮灭算符\alpha_{m}作用在其上进行验证)。

第一激发态是产生算符作用在基态上,也将h提高了1,h=1+\frac{\alpha' p^{2}}{4}. h=1对应于p^{2}=0.这也是第一激发态的特征,massless。 我们知道第一激发态给出了,引力子,一个反称的二形式场和一个dilaton。

这里有一个问题,那就是虽然\partial Xe^{ipX}都是primary的,但是它们的组合不一定是primary的,实际上,它们和T的算子积展开会出现\frac{1}{(z-w)^{3}}项从而破坏primary性。为了避免这个的出现,我们需要引入条件p^{\mu}\xi_{\mu\nu}=0,这意味着偏振和动量垂直,也就是所谓的横波条件,这在massless的时候出现,我们是非常熟悉的。

同样的思想也可以应用于开弦,给出了开弦快子的质量和光子的无质量性和横波性。快子的质量这次是M^{2}=-\frac{1}{\alpha'}, 是闭弦的1/4, 这是因为之前说的,要考虑像点的贡献。

Fadeev-Popov Method:

FP方法是用来量子化规范理论的,因为规范对称性带来的冗余的自由度带来的发散问题,可以考虑固定规范,将和规范自由度冗余的部分分离出来。

弦的路径积分可以写成Z=\frac{1}{Vol}\int Dg DX e^{-S_{poly}[X,g]},Vol代表的是我们要分离的冗余自由度, 固定规范的时候,我们考虑如下的恒等式

\int D \xi \delta(g-g^{\xi}) \Delta_{FP}=1

\Delta_{FP}是我们换变量的时候出现的Jacobian factor, 叫做FP 行列式。

将其带入之后,积分掉Dg的部分

Z=\frac{1}{Vol}\int D\xi DX \Delta_{FP}[g^{\xi}]e^{-S_{poly}[X,g^{\xi}]}

作用量S必定是规范不变的,而根据测度的规范不变性,我们也可以证明FP行列式也是规范不变的。那么这个积分当中的被积函数都不依赖于\xi. 这个\xi的积分就是所谓的冗余自由度,可以和Vol消掉,于是我们完成了规范的固定,这时的积分将不再依赖于度规g的选取(规范的来源),Z=\int DX \Delta_{FP}[g]e^{-S_{poly}[X,g]}.

so far , 我们只在量子化的过程中进行了很小的一部分,我们发现FP行列式被引入了进来,我们需要计算它,并且看它具有什么形式。实际上,这一项给出了一个鬼场(满足错误的自旋统计关系,不满足幺正性)。 这在弦论中很有名,叫做bc-ghost. 鬼场的出现也是每个规范理论路径积分量子化所必需出现的,在量子电动力学和Yang-Mills理论中也都有。


额外的话:感觉国内物理学界对于弦论并不重视,而且相关的科普也做的比较少,这不仅不利于外行人了解弦论,培养科学素养(这一点国外很多纪录片和科普书都做的不错),也不利于物理学界自身的发展。毕竟弦论中出现的很多思想和方法,对于凝聚态物理,引力,高能都是有影响的。有关弦论有两个纪录片拍的非常漂亮,一个是fabric of the universe , 一个是elegant universe

编辑于 2017-12-10

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