反证法证明股票价格不是随机变量

问题：假设 S(t) 为 t 时刻的股票价格， S(t) 究竟是时间 t 的函数？还是 t 时刻的随机变量？

为什么股票价格不是随机变量？一文已从随机过程的定义和基本概念角度对股票价格与时间之间的数量关系进行了分析，得出了股票价格只是随机过程中的一个样本轨道（时间函数），而非随机过程随机变量的结论。

事实上，随机过程是定义在 \Omega\times T 上的二元函数，从时间和空间两个维度描述随机现象，有时间和空间两个自变量，可用来描述大量布朗粒子随时间的空间位置分布情况。但人们观察到的股票价格变化过程只有时间一个自变量，相当于只观察一个布朗粒子的位移随时间变化过程，因此，股票价格只能被抽象为随机过程中的一条样本轨道，也就是中学函数定义的时间函数。

本文先假定股票价格为随机过程随机变量，然后推导出了一系列与事实严重不符的错误结论，从而证明了“股票价格不是随机变量”。

一、随机游走模型

Working、Kendall、Osborne、Samuelson和 Fama等人的实证研究结果均表明：股票价格的对数收益率为零均值不相关白噪声序列。

设 S(t) 为 t 时刻的股票价格， y(t)=lnS(t) ，则股票价格 S(t) 的对数收益率可表示为

y(n)-y(n-1)=\varepsilon(n) （1）

式中 \varepsilon(n) 为零均值不相关白噪声时间序列。

图1为上证指数1998年-2020年的对数收益率（日），可以看出，上证指数的对数收益率与白噪声序列的函数图像极为相似，在下一时刻的方向和大小完全随机，不同时刻的对数收益率近似服从正态分布（实际分布有尖峰厚尾现象）。

将式（1）变换为

y(n)=y(n-1)+\varepsilon(n) （2）

上式即为股票价格的随机游走模型。

注意：式（2）的随机游走模型是众多学者通过对股票价格波动现象长期观察和实证研究得到的经验模型，式中的 y(n) 和 \varepsilon(n) 均为时间函数。

二、反证法

假设式（2）随机游走模型中的 y(n) 和 \varepsilon(n) 均为随机变量,《数理金融学》和《随机过程》教科书事实上就是这样假设的。

设 y(0)=0 ， \varepsilon(n) 为服从 (0,\sigma^{2}) 正态分布的高斯白噪声随机变量，则股票价格 y(n) 的数学期望和方差分别为

E[y(n)]=0 （3）

D[y(n)]=n\sigma^{2} （4）

式（3）和式（4）表明，股票价格 y(n) 服从 (0,n\sigma^{2}) 正态分布。

（1） y(n) 的数学期望为零，表明股票价格中不存在长期线性趋势，Fama根据这个结论建立了著名的EMH（Efficient Markets Hypothesis）有效市场假说，得出了股票市场不可预测的结论。但是 y(n) 数学期望为零的结论与实际股票价格中存在长期线性趋势的事实完全不符，为了使随机变量形式的随机游走模型能够描述股票价格长期线性趋势，Samuelson强行加入了线性漂移项，建立了著名的几何布朗运动模型，但该模型的对数收益率为常数，与“股票价格的对数收益率为零均值不相关白噪声序列”的实证研究结果严重不符。

（2） y(n) 的方差与时间成正比，表明股票价格中高频噪声的平均功率随时间线性增大，但实际股票价格中高频噪声的平均功率始终基本不变（见图1）。

（3）正态分布的股票价格 y(n) 曲线应具有正态分布的对称性和集中性，但实际股票价格曲线完全不满足正态分布的对称性和集中性。

图1的上证指数对数收益率曲线明显具有正态分布的对称性和集中性。

图2给出了服从 (0,n\sigma^{2}) 正态分布的股票价格曲线，虽然完全满足正态分布的对称性和集中性，但描述的根本不是人们观察到的实际股票价格曲线。如果将随机变量模型广泛用于金融市场实践，必然会给金融市场带来巨大的灾难。

事实上，随机变量模型描述的是随机过程大量样本轨道的空间分布特性。

图3给出了布朗运动的随机变量和样本轨道，每条样本轨道代表每个布朗粒子的位移时间曲线，随机过程是所有样本轨道的集合，随机变量描述的是某一时刻所有样本轨道在空间的分布情况，即所有布朗粒子在 t 时刻的空间位置服从 （0，t\sigma^{2}） 正态分布。

三、结论：

股票价格只是随机过程中的一条样本轨道，也就是中学函数定义的时间函数。股票价格数学模型应该回归到式（1）或式（2）表示的时间函数模型，这样才能正确描述股票价格随机现象，并揭示股票价格运动规律。