深度学习最全优化方法总结比较(SGD,Adagrad,Adadelta,Adam,Adamax,Nadam)

深度学习最全优化方法总结比较(SGD,Adagrad,Adadelta,Adam,Adamax,Nadam)

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前言

(标题不能再中二了)本文仅对一些常见的优化方法进行直观介绍和简单的比较,各种优化方法的详细内容及公式只好去认真啃论文了,在此我就不赘述了。

SGD

此处的SGD指mini-batch gradient descent,关于batch gradient descent, stochastic gradient descent, 以及 mini-batch gradient descent的具体区别就不细说了。现在的SGD一般都指mini-batch gradient descent。

SGD就是每一次迭代计算mini-batch的梯度,然后对参数进行更新,是最常见的优化方法了。即:

g_t=\nabla_{\theta_{t-1}}{f(\theta_{t-1})}

\Delta{\theta_t}=-\eta*g_t

其中,\eta是学习率,g_t是梯度 SGD完全依赖于当前batch的梯度,所以\eta可理解为允许当前batch的梯度多大程度影响参数更新

缺点:(正因为有这些缺点才让这么多大神发展出了后续的各种算法)

  • 选择合适的learning rate比较困难 - 对所有的参数更新使用同样的learning rate。对于稀疏数据或者特征,有时我们可能想更新快一些对于不经常出现的特征,对于常出现的特征更新慢一些,这时候SGD就不太能满足要求了

  • SGD容易收敛到局部最优,并且在某些情况下可能被困在鞍点【原来写的是“容易困于鞍点”,经查阅论文发现,其实在合适的初始化和step size的情况下,鞍点的影响并没这么大。感谢@冰橙的指正】

Momentum

momentum是模拟物理里动量的概念,积累之前的动量来替代真正的梯度。公式如下:

m_t=\mu*m_{t-1}+g_t

\Delta{\theta_t}=-\eta*m_t

其中,\mu是动量因子

特点:

  • 下降初期时,使用上一次参数更新,下降方向一致,乘上较大的\mu能够进行很好的加速
  • 下降中后期时,在局部最小值来回震荡的时候,gradient\to0\mu使得更新幅度增大,跳出陷阱
  • 在梯度改变方向的时候,\mu能够减少更新 总而言之,momentum项能够在相关方向加速SGD,抑制振荡,从而加快收敛

Nesterov

nesterov项在梯度更新时做一个校正,避免前进太快,同时提高灵敏度。 将上一节中的公式展开可得:

\Delta{\theta_t}=-\eta*\mu*m_{t-1}-\eta*g_t

可以看出,m_{t-1}
并没有直接改变当前梯度g_t,所以Nesterov的改进就是让之前的动量直接影响当前的动量。即:

g_t=\nabla_{\theta_{t-1}}{f(\theta_{t-1}-\eta*\mu*m_{t-1})}

m_t=\mu*m_{t-1}+g_t

\Delta{\theta_t}=-\eta*m_t

所以,加上nesterov项后,梯度在大的跳跃后,进行计算对当前梯度进行校正。如下图:

momentum首先计算一个梯度(短的蓝色向量),然后在加速更新梯度的方向进行一个大的跳跃(长的蓝色向量),nesterov项首先在之前加速的梯度方向进行一个大的跳跃(棕色向量),计算梯度然后进行校正(绿色梯向量)

其实,momentum项和nesterov项都是为了使梯度更新更加灵活,对不同情况有针对性。但是,人工设置一些学习率总还是有些生硬,接下来介绍几种自适应学习率的方法

Adagrad

Adagrad其实是对学习率进行了一个约束。即:

n_t=n_{t-1}+g_t^2

\Delta{\theta_t}=-\frac{\eta}{\sqrt{n_t+\epsilon}}*g_t

此处,对g_t从1到t进行一个递推形成一个约束项regularizer,-\frac{1}{\sqrt{\sum_{r=1}^t(g_r)^2+\epsilon}}\epsilon用来保证分母非0

特点:

  • 前期g_t较小的时候, regularizer较大,能够放大梯度
  • 后期g_t较大的时候,regularizer较小,能够约束梯度
  • 适合处理稀疏梯度

缺点:
  • 由公式可以看出,仍依赖于人工设置一个全局学习率
  • \eta设置过大的话,会使regularizer过于敏感,对梯度的调节太大
  • 中后期,分母上梯度平方的累加将会越来越大,使gradient\to0,使得训练提前结束

Adadelta

Adadelta是对Adagrad的扩展,最初方案依然是对学习率进行自适应约束,但是进行了计算上的简化。 Adagrad会累加之前所有的梯度平方,而Adadelta只累加固定大小的项,并且也不直接存储这些项,仅仅是近似计算对应的平均值。即:

n_t=\nu*n_{t-1}+(1-\nu)*g_t^2

\Delta{\theta_t} = -\frac{\eta}{\sqrt{n_t+\epsilon}}*g_t

在此处Adadelta其实还是依赖于全局学习率的,但是作者做了一定处理,经过近似牛顿迭代法之后:

E|g^2|_t=\rho*E|g^2|_{t-1}+(1-\rho)*g_t^2

\Delta{x_t}=-\frac{\sqrt{\sum_{r=1}^{t-1}\Delta{x_r}}}{\sqrt{E|g^2|_t+\epsilon}}

其中,E代表求期望。

此时,可以看出Adadelta已经不用依赖于全局学习率了。

特点:

  • 训练初中期,加速效果不错,很快
  • 训练后期,反复在局部最小值附近抖动

RMSprop

RMSprop可以算作Adadelta的一个特例:

\rho=0.5时,E|g^2|_t=\rho*E|g^2|_{t-1}+(1-\rho)*g_t^2就变为了求梯度平方和的平均数。

如果再求根的话,就变成了RMS(均方根):

RMS|g|_t=\sqrt{E|g^2|_t+\epsilon}

此时,这个RMS就可以作为学习率\eta的一个约束:

\Delta{x_t}=-\frac{\eta}{RMS|g|_t}*g_t

特点:

  • 其实RMSprop依然依赖于全局学习率
  • RMSprop算是Adagrad的一种发展,和Adadelta的变体,效果趋于二者之间
  • 适合处理非平稳目标 - 对于RNN效果很好

Adam

Adam(Adaptive Moment Estimation)本质上是带有动量项的RMSprop,它利用梯度的一阶矩估计和二阶矩估计动态调整每个参数的学习率。Adam的优点主要在于经过偏置校正后,每一次迭代学习率都有个确定范围,使得参数比较平稳。公式如下:

m_t=\mu*m_{t-1}+(1-\mu)*g_t

n_t=\nu*n_{t-1}+(1-\nu)*g_t^2

\hat{m_t}=\frac{m_t}{1-\mu^t}

\hat{n_t}=\frac{n_t}{1-\nu^t}

\Delta{\theta_t}=-\frac{\hat{m_t}}{\sqrt{\hat{n_t}}+\epsilon}*\eta

其中,m_tn_t分别是对梯度的一阶矩估计和二阶矩估计,可以看作对期望E|g_t|E|g_t^2|的估计;\hat{m_t}\hat{n_t}是对m_tn_t的校正,这样可以近似为对期望的无偏估计。 可以看出,直接对梯度的矩估计对内存没有额外的要求,而且可以根据梯度进行动态调整,而-\frac{\hat{m_t}}{\sqrt{\hat{n_t}}+\epsilon}对学习率形成一个动态约束,而且有明确的范围。

特点:

  • 结合了Adagrad善于处理稀疏梯度和RMSprop善于处理非平稳目标的优点
  • 对内存需求较小
  • 为不同的参数计算不同的自适应学习率
  • 也适用于大多非凸优化 - 适用于大数据集和高维空间

Adamax

Adamax是Adam的一种变体,此方法对学习率的上限提供了一个更简单的范围。公式上的变化如下:

n_t=max(\nu*n_{t-1},|g_t|)

\Delta{x}=-\frac{\hat{m_t}}{n_t+\epsilon}*\eta

可以看出,Adamax学习率的边界范围更简单

Nadam

Nadam类似于带有Nesterov动量项的Adam。公式如下:

\hat{g_t}=\frac{g_t}{1-\Pi_{i=1}^t\mu_i}

m_t=\mu_t*m_{t-1}+(1-\mu_t)*g_t

\hat{m_t}=\frac{m_t}{1-\Pi_{i=1}^{t+1}\mu_i}

n_t=\nu*n_{t-1}+(1-\nu)*g_t^2

\hat{n_t}=\frac{n_t}{1-\nu^t}\bar{m_t}=(1-\mu_t)*\hat{g_t}+\mu_{t+1}*\hat{m_t}

\Delta{\theta_t}=-\eta*\frac{\bar{m_t}}{\sqrt{\hat{n_t}}+\epsilon}

可以看出,Nadam对学习率有了更强的约束,同时对梯度的更新也有更直接的影响。一般而言,在想使用带动量的RMSprop,或者Adam的地方,大多可以使用Nadam取得更好的效果。

经验之谈

  • 对于稀疏数据,尽量使用学习率可自适应的优化方法,不用手动调节,而且最好采用默认值
  • SGD通常训练时间更长,但是在好的初始化和学习率调度方案的情况下,结果更可靠
  • 如果在意更快的收敛,并且需要训练较深较复杂的网络时,推荐使用学习率自适应的优化方法。
  • Adadelta,RMSprop,Adam是比较相近的算法,在相似的情况下表现差不多。
  • 在想使用带动量的RMSprop,或者Adam的地方,大多可以使用Nadam取得更好的效果

最后展示两张可厉害的图,一切尽在图中啊,上面的都没啥用了... ...

损失平面等高线

在鞍点处的比较

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引用

[1]Adagrad

[2]RMSprop[Lecture 6e]

[3]Adadelta

[4]Adam

[5]Nadam

[6]On the importance of initialization and momentum in deep learning

[7]Keras中文文档

[8]Alec Radford(图)

[9]An overview of gradient descent optimization algorithms

[10]Gradient Descent Only Converges to Minimizers

[11]Deep Learning:Nature

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