物理所之行学术总结 凝聚态中的哲学与概念

宋飞宋飞
七月月初在中科大严班的组织下参加了为期半个月的暑期实践活动,我进入了杨义峰老师的重费米子研究组进行研究实习活动,在老徐等师兄和同学的帮助参与之下,进行了很丰富的实践活动,下面就就在实践过程中的一些学术上的收获和感想写一篇总结。

本文将分为以下几个部分,第一部分关于什么是凝聚态以及凝聚态理论家们的思考哲学展开,第二部分是关于凝聚态物理中的一些概念和现象的描述,第三部分尝试将MonteCarlo模拟、动力学平均场以及数值重整化群这几个在凝聚态物理中得到广泛应用的数值方法进行简单的介绍。当然这其中的很多内容是包含了我个人的一些理解,由于接触的时间还不算很久所以有错误也是再所难免的,这里只是希望记录下来给自己以后作一些参考

凝聚态物理中的哲学思想

如果研究粒子本性希望通过几个简单的方程式来解释出粒子对撞机碰出来的各种奇妙现象的人被称作高能物理学家,那么研究从实验材料中主要由于各种粒子由于库伦相互作用而演生出的各种现象的人就该被称作“低能物理学家”----也就是凝聚态物理学家。相对于高能物理学家感兴趣的领域,凝聚态的研究范围是低能标大尺度的物理现象。而大尺度则意味着涉及到的粒子数目是一个很大的量级,联立每个粒子的那些基本方程而期望得到一个有用的结果是不可能的,显然在这种情况下我们要扔掉我们不感兴趣的部分,而要做一个合理的近似,所以在凝聚态中所描述的一些性质往往是众多粒子的表现出的一个集体行为,而其理论往往也对应于一个低能的有效理论。正所谓more is different,凝聚态中很多不同的物理现象背后提炼出的物理模型竟然是相同的,因为从最简单的二次量子化即可获知,多体体系的哈密顿量无非包括了单粒子自己的单体算符,以及考虑粒子间相互作用的多体算符,而在这个多体算符内起作用的也都是库伦相互作用,但是如何去解释相应的物理问题则是如何去简化近似这个物理模型。

在暑期实践的过程中,阅读了几篇对于凝聚态这一理论的整体发展进行综述的一些文章,几位著名的凝聚态理论家在回顾他们研究时的思考哲学都不约而同的提到了还原论以及演生论的两种方式。还原论和支持还原论的那些学者大多是有一点理想主义的,他们希望世界利用还原论的思想抽丝拨茧简化到只剩几个基础方程所谓theory of everything,这无疑是很多研究物理的人所能期望达到的一个终极状态。不过出发点看似很优美的很多理论,在实验上现在依然不能发现支持它们的证据,那么我想在一个优美的统一理论和实验的空白零结果之间填充的只能是研究人员的信仰了。而相信演生论的人,基本都是实用派的,他们相信那些从实验上涌现出来的现象是不可能从那些基本理论中直接推出来的,我们大部分时间最终得到的是一个低能有效理论,而其与背后的高能理论沟通的那条通道,可能早就被各种技术细节给模糊掉了,直接通过实验现象总结而得的那些唯象的理论由于其理论对于适用环境强烈的依赖可能不太可能去找到彼此的联系,从而找到其与背后更一般性的理论的联系。

可以换个角度理解前面的两种观点,一定尺度的物理,是由那个尺度范围内的“基本”定律所支配的,而不同尺度范围间的基本定律是存在一定的。演生论认为大尺度的定律是从小尺度的定律演生而来的,不过不同尺度的物理定律都有一定的独立性,在考察相应范围的物理时,那么那个范围内的定律可以说就是本质的。还原论则认为,在这些不同尺度的”基本”间是存在一个最基本的定律,而不同尺度的“基本”则对应于这个最基本理论在不同尺度范畴内的体现。

演生论的优点在于其可以快速有效的做出一些可靠的预言,但是却不能满足人们打破沙锅问到底的好奇心,而还原论则可以满足人类对于自然本原不断探求,用人类智慧的极限去不断接近那个完美的最终答案,从那个theory of everything到我们关心得尺度物理之间的距离实在太远,所以很难做出准确有效的预言。对于凝聚态物理学家们而言,采用演生论的观点来看待他们研究的问题无疑是很省力的一种方式,不过有些情况下也需要从高能的理论中获取一些养分,从而得到新的研究思路。

凝聚态中的一些理论和概念

电子能带论electronic band structure

本质上电子能带论是一个单电子理论,其考察的是一个电子在周期性的晶体结构的的运动规律,对于这个电子而言,可以把其与其他电子之间的相互作用转化为一个复杂的势场。简单来说能带就是一个展示解薛定谔方程本征谱的过程,一般选择在动量空间,也就是要解出$E(k)$这样一个函数,它展示了哪些能量是固体材料中的电子可以占据的。而从实验上,通过能带的信息,可以读出很多关于材料的性质。考察基态的电子在Fermi面附近的一个填充情况。如果电子恰好填满最低的一系列能带,再高的各带都是空的。则最高的满带是价带,最低的空带是导带,价带的最高能级和导带的最低能级之间的范围被称为带隙,这种情况对应的是绝缘体和半导体,带隙比较大(如10ev)被称为绝缘体,带隙比较小(1ev)被称作半导体。如果电子的填充情况是,最高的一个能带只是被部分的填满,这时最高占据能级为费米能级,这种情况对应得材料就是金属导体。

在拓扑绝缘体的发现早期,研究人员提出了一种叫拓扑能带论的方法(topological band theory),我们可以从能带图中算得一些拓扑不变量,而这些数对于同类的拓扑绝缘体都是相同的

上图中存在能带反转的情况,所以可以计算穿越能带穿越费米面的次数,穿越次数为偶数次的,和穿越次数为奇数次的会对应两类不同的拓扑绝缘体。

但是能带的预言,也存在它的局限性,由于能带论只是一个单粒子的理论,所以很多情况下光是把电子之间的库伦相互作用简单的归结为对于单粒子的势能的一个贡献是不够的,如果考虑一个原子位置已经有一个电子,而在加进一个电子时会存在比较强的库伦相互作用,所以对于这样的一个强关联体系是没有办法只从能带论角度中得到准确预言的,比如Mott绝缘体在能带中计算的是一个导体的能带,但是实际上是一个绝缘体。这个问题指出了能带论的局限性。

Kondo效应

由于杂质与传导电子的交换作用 , 使这类系的低温电子特性表现出一系列的反常。 最早观测到的是在电阻随温度变化的曲线上出现极小;其次是磁化率偏离居里定律,有效磁矩随温度降低连续减小,以及比热和热功率在低温下出现宽峰等一系列反常现象Kondo在解决电阻极小问题时做出了很大贡献,其指出在处理电子与磁性杂质进行散射时,不仅电子的自旋有影响,杂质的自旋也会发生改变,是一个多体问题,其利用微扰论的方法解决了这一问题,kondo的模型是

 H = H_{0}+H_{scatter} = \sum_{k \mu} \sigma_{k} C_{k\mu}^\dag C_{k\mu} - (J/N) \sum_{kk'\mu\mu'} S\cdot\sigma_{\mu\mu'} C_{k\mu}^\dag C_{k'\mu'}

中第二项为杂质和导带电子散射项

S\cdot\sigma=S_{z}\sigma_{z}+\frac{1}{2}(S_{+}\sigma_{+}+S_{-}\sigma_{-})

Kondo通过低阶微扰算出了一个对数的发散项


R=R_{0} \{1+4J\rho_{F}ln(\frac{k_{B}T}{D})+\ldots\}

然而T趋于零时,会有一个对数发散跟实验发生冲突,因为ln的贡献越来越明显,所以随着温度越来越低,高阶的微扰对于效应的现象也是有很大贡献的应该,计入这些项中所有的对数发散项项

R=R_{0}/[1-2J\rho_{F}ln(\frac{k_{B}T}{D})+\ldots]^2

虽然消除了$T$等于零时的发散,但是出现了一个T_k,在T_k时分母是发散的,并且T_k与耦合常数j的关系与超导中电子声子耦合关系很像,人们猜想是否在磁性杂质和电子之间也存在类似的关系,导致一类超导现象

但是,该理论在T_k下依然存在问题,物理学家们为了寻找 适用于T>T_k 与了T<T_k 的统一理论 , 花费了近十年的时间。但是 , 一切从高温出发的解析理论都在$T_k$以下失效 , 因为在强关联区涉及到一个真正的多体问题 , 人们既不可能对全部相互作用图形求和,又不明确强关联区到底那些图形起主要作用 . 这一困难直到 K . G . Wilson 的文章发表后才得到解决 。他与众不同地抛弃了微扰图形计算方法,利用重正化群变换减少系统的自由度数,再运用计算机作哈密顿量的对角化,从而求得了单杂质与传导电子互作用系统严格解。(这就是后面将要涉及的数值重整化群)

重fermion现象与二流体理论

Ce基的很多重费米子材料中,Ce为+3价最外层有一个f电子,其在低温下表现为一个局域磁矩,考虑到这个局域磁矩与导带电子之间的相互散射,所以会有ondo效应,描述这个体系时也要用前面Kondo用的那个哈密顿量。而在一些混价材料中,会有两个5f电子,比较寻巡游,所以要考虑到f电子在不同晶格位置的一个跃迁,所以要用周期Anderson模型去描述。对于前面所说的f电子我们可以认为其具有局域和巡游的二重性质,从而来解释重费米子材料中一些物理现象,这也就是杨义峰老师等人发展的重费米子二流体理论。

因为之前通过大量的实验拟合发现,重费米子的很多物理量可以被拟合成一个加权平均的式子

C=C_1 [1-f(T)]+C_2 f(T)

所以进一步推测给出了两种流体更为具体的描述,即由部分杂化的局域f 磁矩构成的自旋液体和由集体杂化形成的巡游重电子,认为两种流体的共存与竞争是描述重费米子物理的本质。并且上面的那个公式的权重是一个随温度变化的函数,可以由此来解释一块材料在降温过程中可能产生的现象。

作为一个唯象理论来说二流体理论取得比较大的成功,首先可以进行磁导率热导率等物性材料都可以进行类似上面那个公式的拟合,其次可以成功预言一些新的现象被实验验证,如Fano干涉效应,:低温下,重费米子体系中的导带电子与f 电子局域磁矩集体杂化,使得f电子产生退局域化,从而探针中的电子可以通过两个通道进入重费米子材料,或直接隧穿到导带,或隧穿到晶格上的f 能带。入射电子在两个通道中会形成类似于双缝干涉的一种干涉效应。并且利用很多数值方法(包括采用隶玻色子近似、单杂质动力学平均场理论(DMFT)、数值重整化群(NRG)、行列式量子蒙特卡罗(DQMC) 和密度矩阵重整化群(DMRG) 等方法来近似计算周期Anderson模型或者Kondo模型这样的强关联模型得到的结果大多可以符合用二流体做出的预言。

但是就目前来看,这个二流体理论可以提供给研究人员构建更深层次的微观理论的线索还是比较少的,二流体这样的唯象理论背后的物理机制还不是十分清晰,需要再做很多细致的分析工作才能得到更为清晰的一个线索。

就如超流二流体理论的背后是对称性自发破缺这样的普遍规律,超导的二流体理论背后是BCS理论中形成的Cooper对,我们应该有一定理由相信重费米子的二流题理论并不是一个简单的巧合,其背后或许蕴藏着解决强关联体系的一个普遍机制,但尚需继续挖掘,和理清思路。

「真诚赞赏,手留余香」
1 人赞赏
吴尚
文章被以下专栏收录
8 条评论