邻域与黑帮-数学分析

邻域与黑帮-数学分析

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有人问这样一个问题:
链接:什么是极限点,孤立点?极限点,内点,边界点和孤立点的联系?极限点是不是等于内点+边界点? - 引线小白的回答
我们来形象解释一下:
想像1:
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如果某国 S有一个无限人数组成的黑帮A=\{x \in R \mid x \,is \,a \,member\, of \,the \,gang\} \subset S
说 x 是内点:意思是说 x 在某种关系下所有小弟(包括他自己)是黑帮的成员。显然x 自己是黑帮成员
说 x 是外点:意思是说 x 在某种关系下的所有小弟(包括他自己)都不是的黑帮成员,显然x 自己不是黑帮成员
说 x 是边界点:意思是说 x 所有各种关系下的有一部分小弟(包括他自己)都是的黑帮成员,显然x 自己可能是,也可能不是黑帮成员
说 x 是孤立点:意思是说 x 在所有关系下的小弟(不包括他自己)都不是的黑帮成员,但是他自己是黑帮成员,所以孤立点这个名词:还是非常形象的。显然孤立点是边界点的成员并且是黑帮成员。
-----------理解八卦一下-----------------
1、可见孤立点x_0是忠诚的,那么他应该是黑帮最可以信赖的人,因为他只和组织 A 有关系x_0\in A。但是关系似乎不是很好,是个独行侠。是一把利刃。但是不忠诚的话,也有可能是警方卧底。因为他和组织外有关系。
2、内点,很显然他们组织的基础。孤立点是边界点中,是黑帮成员那一部分。
3、边界点是组织要提防的争取的人。
4、外点,显然不是非常重要的。

同理:某国 S有一个有限人数组成的黑帮,上述定义也是有意义的。
------------继续思考--------------------
我们来继续考虑 S国的一个无限人数组成的黑帮A
x 是极限点: 意思是说 x 在所有各种关系(不包括他自己)总有一个小弟是黑帮成员。 显然x 自己可能是,也可能不是黑帮成员。
x 是聚点:意思是说 x 在所有各种关系下有无数个小弟是黑帮成员。
-----------理解八卦一下-----------------
1、我们发现极限点和聚点其实是一个意思。证明请看 bady rudin 2.20定理。还有一些书上有附着点 x 的定义,是一个意思。
2、显然聚点:是带特殊关系的黑帮成员或者是非黑帮成员。通过组织其他的人,总可以环环相扣找到他聚点。
3、如果聚点不是黑帮成员,可以设想他是某个高官。是这个黑帮的后台,但是不是黑帮成员,但是通过组织其他的人,总可以环环相扣找到他。
4、如果聚点是黑帮成员,可以想想,他混的不错,是个能人
想像2:
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如果某国 S有一个有限人数组成的黑帮 B
我们可以发现,黑帮B 中没有极限点。证明请看baby rudin 2.20定理。
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解释:
\exists r >0\,,U(x_0,r)=\{x \in S \mid d(x,x_0)<r\}:某种关系下的小弟(包括他自己)
\forall r >0\,,U(x_0,r)=\{x \in S \mid d(x,x_0)<r\}:所有各种关系下的小弟(包括他自己)
\forall r >0\,,\mathring{U}(x_0,r)=\{x \in S-\{x_0\}\mid d(x,x_0)<r\}:所有各种关系(不包括他自己)的小弟
显然我们思考有限和无限时,内、边、外和孤是可以的。对于无限,还有聚点的概念。而且有 Weierstrass Theorem魏尔斯特拉斯聚点定理:


\Bbb{R}^n中每个有界无限子集在\Bbb{R}^n中有聚点。

换句话说,

每个黑帮都有一个强大的高官后台或者内部的能人。

这就是神秘无限世界的一瞥。

编辑于 2016-12-26

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