诺特定理
我们知道，对于拉格朗日系统，连续对称性意味着守恒量，即诺特定理。
特别地，如果一个场的拉格朗日量由局域的拉格朗日密度L的积分给出，那么守恒也是局域的，也就是由一个守恒流给出。
考虑一个李群G，光滑地作用在场\psi上，而且有
L(\psi,\nabla\psi)=L(a\psi,\nabla (a \psi))\ ,\ \forall a \in G那么对任意A \in g，其中g是G的李代数，
\frac{d}{dt} L(e^{At}\psi, \nabla (e^{At}\psi))=0即
\frac{\partial L}{\partial \psi}A\psi+\frac{\partial L}{\partial (\nabla \psi)}\nabla(A\psi)=0其中A\psi:=\frac{d}{dt}(e^{At}\psi)
如果\psi满足拉格朗日方程，那么
\frac{\partial L}{\partial \psi}A\psi=(\nabla\cdot\frac{\partial L}{\partial (\nabla\psi)})A\psi=\nabla\cdot(\frac{\partial L}{\partial (\nabla\psi)}A\psi) -\frac{\partial L}{\partial (\nabla\psi)}\nabla(A\psi)因此有
因此对每一个对称性的无穷小生成元A，我们得到了一个守恒流\frac{\partial L}{\partial (\nabla\psi)}A\psi。这就是诺特定理。
物理上我们知道，时空平移对称性造成能动量守恒。然而以上的诺特定理并不适用，因为拉格朗日密度在时空平移变换下并不是不变的。
作为一个推广，我们考虑这样的李群G，它在场上的作用不再使拉格朗日密度不变，那么\frac{d}{dt} L(e^{At}\psi, \nabla (e^{At}\psi))一般不再为零。然而，如果它等于某个散度\nabla\cdot f_A,其中f_A是以场为自变量的向量值函数，而且只局域地依赖于\psi。那么进行同样的操作之后，我们有
\nabla\cdot(\frac{\partial L}{\partial (\nabla\psi)}A\psi)=\nabla\cdot f_A即
\nabla\cdot(\frac{\partial L}{\partial (\nabla\psi)}A\psi-f_A)=0这样仍然有守恒流存在。
注意我们没有要求底流形是平直的。L允许（也不得不）局域地依赖于度规。
现在我们令G是时空所有保持度规的自同构组成的群。自然定义a\psi为a诱导的拉回推前映射，那么显然A\psi=-l_{\hat{A}}\psi，其中\hat{A}是李代数A相应的Killing矢量场，l_{\hat{A}}代表对\hat{A}的李导数。对于L，很显然有
L(a\psi,\nabla (a \psi))|_x=L(\psi,\nabla\psi)|_{a^{-1}x}\ ,\ \forall a \in G，
因此对于李代数A有
\frac{d}{dt} L(e^{At}\psi, \nabla (e^{At}\psi))=-\hat{A}\cdot(\nabla L)=-\nabla\cdot (L\hat{A})+L(\nabla\cdot \hat{A})=\nabla\cdot (-L\hat{A})注意Killing矢量场的协变导数是反对称的因此缩并为零。
因此对于时空对称性可以使用推广的诺特定理，得到守恒流
\nabla\cdot(-\frac{\partial L}{\partial (\nabla\psi)}l_{\hat{A}}\psi+L\hat{A})=0注意\frac{\partial L}{\partial (\nabla\psi)}l_{\hat{A}}\psi-L\hat{A}对\hat{A}是线性的。如果背景时空是平直的，对任意一点x处的任一矢量v，我们考虑它相应的常矢量场作为Killing矢量场，得到相应的守恒流，进而考虑该守恒流在x点的取值。这样我们得到了x点切空间到自身的线性映射，即得到了一个张量。这个张量场就是正则能动张量。