凝聚态中的拓扑（一）：Kosterlitz-Thouless相变：拓扑元激发导致的特殊相变
文\戴希（中科院物理所）
今年的诺贝尔物理学奖授予了三位理论物理学家，分别是美国华盛顿大学的David J. Thouless, 普林斯顿大学的F. Duncan M. Haldane和布朗大学的J. Michael Kosterlitz, 以表彰他们在理论上提出了凝聚物质中的拓扑相变和拓扑相。作为在这一领域工作多年的研究者，衷心地为几位前辈的获奖而感到高兴，同时也深受鼓舞。
许多朋友来信，要求科普一下凝聚态物理学中的拓扑相，我在这里就向大家简单介绍一下。很多人都觉得拓扑这个数学概念很深奥，似乎很难跟生活中的物理现象发生联系，其实不然，生活中到处都有拓扑现象。比如说涡旋，就是一种常见的拓扑现象，我们每天清晨在洗漱台见到，在水流湍急的河边偶遇，在每一个台风过境的夜晚，我们怀着忐忑的心情等待。本次诺贝尔物理学奖得主Thouless先生和Kosterlitz先生发现的二维超流／超导体中的Kosterlitz-Thouless（KT）相变，就跟其中的涡旋激发有着密切的关系。因此作为本系列文章的开篇之作，先来讲讲涡旋激发和KT相变。
在介绍超流／超导体中的涡旋之前，我先向大家介绍一点非常基本的场论，考虑一个二维标量场，比如一个绷紧的鼓面，考虑它的横向振动，就是一个典型的二维标量场，它的运动可以由平面坐标(x,y)点处的振幅Z(x,y)来描写，它的集体运动模式就是我们熟悉的声波振动。与之类似，二维超流／超导薄膜的集体运动也可以由一个二维标量场来刻画，即平面坐标(x,y)点处的波函数相位θ(x,y),由于超流／超导相变破缺了U(1)对称性，当不存在集体激发时，刻画超流／超导体的波函数相位在空间各处是固定在一个值上的，可以假设为θ(x,y)＝0。我们可以用图二中每一点的单位矢量与x轴的夹角来形象地演示相位场θ(x,y)。
图一：鼓面的不同振动模式由一个标量场描述
接下来，我们来讨论系统的集体激发，它可以被分成两类模式，第一类是θ(x,y)在0附近做小幅振动，这种模式跟鼓面上的声波振动是非常类似的，如图二（b）所示。而另一种模式则是鼓面振动问题中没有的，也就是涡旋激发模式，为什么会存在这种不同呢？这是因为超导／超流问题和鼓面振动中的二维标量场是很不一样的，前者是紧致的而后者是非紧致的。紧致和非紧致是一个数学上的概念，大家别怕，它的意义很容易理解，通俗地说就是该标量的取值范围是在一个开放的空间（像鼓膜的横向振动），还是在一个收尾相连的封闭空间（如相位）。相位空间是一个典型的紧致空间，它是一个定义在0到2π之间的角度，而零度则严格等价于2π。正因为相位场的紧致性，导致了在超流／超导体系中另一类激发，拓扑型激发，也就是涡旋的出现。
图二：超导／超流体波函数的相位构型
（a）基态构型（b）普通型激发（c）涡旋激发
一个典型涡旋的空间构型如图二（c）所示，围绕着涡旋中心，相位场θ(x,y)连续地从0变化到2π，注意由于0和2π的等价性，相位场的连续性并未被破坏。从图二（b）和（c）的对比中，可以看出涡旋和普通声波振动的不同，图二（b）中的声波激发构型可以通过对相位场施加连续形变来消除掉，而图二（c）中的涡旋在连续形变下只能移动位置而不能消除，把涡旋消掉的唯一办法就是通过连续形变，将一对手性相反（左旋和右旋）的涡旋挪到同一点上，让它们互相抵消。从拓扑学的角度看，具有单个涡旋激发的相位场构型跟没有涡旋的构型，是不能通过连续变形来互相转化的，属于不同的拓扑类，因此把涡旋激发称为是“拓扑型激发”。
图三：拓扑相变
1960年，Thouless和Kosterlitz两位先生通过漂亮的理论工作，推导出了在二维超流／超导体系中涡旋运动的理论模型，他们发现两种手性的涡旋（左旋和右旋）可以看成是被限制在二维平面内的正负“电荷”，互相之间存在二维“库仑作用”。更有意思的是，他们还发现随着温度的变化，这一体系中还存在着一种特殊的相变。在相变温度以上，存在着自由运动的涡旋，从而破坏了超导／超流的长程相位有序；而在相变温度之下，不同手性的涡旋只能两两配对形成束缚态，这时候存在着波函数相位的“准长程序”，也就是说相位关联随距离按幂函数而不是指数函数衰减。这种相位无序到“准长程序”的特殊相变，是涡旋游离态到束缚态转变所导致的，并不伴随着对称性的破缺，因此不能用朗道相变理论来刻画，后来以两位发现者的姓名命名为Kosterlitz-Thouless相变。在实验上，Kosterlitz-Thouless相变在许多超导薄膜中被观测到，这种由拓扑元激发导致的相变，受到了广泛的关注。此外，前苏联科学家Berezinskii也几乎完全独立地提出了这一相变机理，由于东西方冷战而被无情的铁幕隔在一边，不为许多人知晓，甚为遗憾，因此这一相变也被称为是Berezinskii－Kosterlitz-Thouless相变。