Poisson与Theta函数

Poisson与Theta函数

题图来自wiki

Siméon Denis Poisson

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如所周知,Riemann Zeta函数的函数方程的一个证明是与Jacobi的\theta函数密切相关的。证明zeta函数的函数方程归结于证明\theta函数的函数方程。现在我们知道,\theta函数的函数方程通常是用Poisson求和得到的。既然证明归于Poisson(Jacobi在自己1828年的文章里也提过这件事情),那么,Poisson本人的证明是怎样的呢?

命题:定义

\theta(q)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}q^{n^2}

其中q=\exp(-\pi\tau). \tau的实部大于0. 那么

\sqrt\tau\theta(q(\tau))=\theta(q(1/\tau)).

证明:通常的方法是利用Fourier级数。但Poisson本人1823年的文章是从另一个角度出发的。

1. 证明从等比级数开始。

\frac{1}{1-a}=1+a+a^2+a^3+\cdots,\vert a\vert <1

a=re^{2\pi ix}, 0<r<1, x是实数。 在等式两边取实部,我们就得到

\frac{1-r\cos2\pi x}{1-2r\cos{2\pi x}+r^2}=1+r\cos{2\pi x}+r^2\cos{4\pi x}+r^3\cos{6\pi x}+\cdots

稍稍变形一下,就是

\frac{1-r^2}{1-2r\cos{2\pi x}+r^2}=1+2r\cos{2\pi x}+2r^2\cos{4\pi x}+2r^3\cos{6\pi x}+\cdots

这当然就是Poisson kernel

2. Poisson 在文章的49,50,51节就开始尝试在上面等式的两边乘各种函数,然后积分。他在51节尝试的函数就是\exp(-\alpha x^2). 在等式两边乘以这个函数后,对x-\infty积分到\infty. 首先碰到的问题当然是计算

\int_{-\infty}^{\infty}\exp(-\alpha x^2)\cos(\beta x)\mathrm{d}x

这样的积分。用所谓Feynman技巧(其实Euler他们早就知道,通过对含参数积分作分部积分及求导建立含参积分所满足的微分方程可以求出含参积分的闭形式),可以得到上面含参积分的闭形式

\sqrt\frac{\pi}{\alpha}\exp(-\beta^2/(4\alpha))

交换积分和求和顺序后,得到的等式右边就是

\sqrt\frac{\pi}{\alpha}\sum_{n\in\mathbb{Z}}r^{\vert n \vert}\exp(-\pi^2n^2/\alpha)

3. 等式的左边当然就是带着Poisson kernel的复杂积分。

\int_{-\infty}^{\infty}\exp(-\alpha x^2)\frac{1-r^2}{1-2r\cos{2\pi x}+r^2}\mathrm{d}x

Poisson的技巧是:考虑r\rightarrow 1^-时积分的性状。上边这个积分可以写成

\int_{-1/2}^{1/2}f(x)\frac{1-r^2}{1-2r\cos{2\pi x}+r^2}\mathrm{d}x

其中

f(x)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\exp(-\alpha (x+n)^2).

Poisson在原文中没有做详细说明就写下:积分在r\rightarrow 1^-时趋于f(0). 不过在这里不难简单推理一下。f本身是关于x的光滑偶函数,不难得到,\vert f(x)-f(0)\vert\leq A(1-\cos2\pi x)在[-1/2,1/2]上对某个正的常数A成立。利用这个估计,Poisson的结论是以下两个等式的自然结论。

\int_{-1/2}^{1/2}\frac{1-r^2}{1-2r\cos{2\pi x}+r^2}\mathrm{d}x=1
\int_{-1/2}^{1/2}(1-\cos 2\pi x)\frac{1-r^2}{1-2r\cos{2\pi x}+r^2}\mathrm{d}x=1-r

\alpha=\pi\tau, 这样Poisson的证明就完成了。

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注1: Poisson如果考察r\rightarrow-1^{+},那么他会发现另外一组\theta函数的公式。

注2: Poisson所不知道的是,他的这个关于\theta函数的等式已经被与他同时代的另一人发现。具体时间已经不可考察,但可以确定的是,发现时间不会晚于1808年。

注3: Cauchy在1817年有一篇很短的文章

“Sur une loi de réciprocité qui existe entre certaines fonctions”

里面就已经出现\theta函数的变换公式了。

编辑于 2017-03-26