一个有趣的指标定理

最近复习复变函数, 发现了一个漂亮的指标定理. 它属于Bernard Malgrange(此人是Laurent Schwartz的学生). 因为什么都不懂, 不知道这个定理有什么背景, 最多能做到把它解释成"平面区域的Riemann-Roch定理", 所以也就是描述一下罢了, 诸位看官图一乐吧.

参考文献:

GTM 125, p. 624 (我最早查到这个定理的地方)

Malgrange, B., Sur les points singuliers des équations différentielles, Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) (1971-1972): 1-13. (原始文献)

定理可以表述如下.

\Omega\subset\mathbb{C}是多连通区域, 具有有限的连通数(即第一Betti数)b
_1. 考虑全纯函数空间的微分算子L:\mathcal{O}(\Omega)\rightarrow\mathcal{O}(\Omega), 定义为

L=a_n(z)\frac{d^n}{dz^n}+...+a_1(z)\frac{d}{dz}+a_0(z),

这里诸系数都是\Omega上的全纯函数, a_n\Omega中的零点数目(计算重数)N为有限. 则L是有指标的算子, 且有下列指标公式:

\mathrm{Ind}(L)=n(1-b_1)-N.

在这里, 指标的定义与通常一样:

\mathrm{Ind}(L)=\mathrm{dim}(\mathrm{ker}L)-\dim(\mathrm{coker}L).

注意\mathrm{ker}L指的是定义在整个区域\Omega上的L的零空间, 因此它的维数\leq n.

这个定理的证明要分几步.

第一步: 局部的指标定理.w\in\Omegaa_n的一个零点, 取r足够小使得B(w,r)中没有a_n的其它零点. 命E_k(w,r)=\mathcal{O}(B(w,r))\cap{C}^k(\bar{B}(w,r)), 则熟知它是Banach空间. 易见

a_{n-1}(z)\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}+...+a_0(z):E_{n}(w,r)\rightarrow E_0(w,r)

是紧算子, 从而若计算指标, 只需要计算首项的指标就够了. 据此容易算出

\mathrm{Ind}(L:E_n(w,r)\rightarrow E_0(w,r))=n-v(a_n,w).

这里v(f,w)是全纯函数fw点的valuation(零点的阶). 由此再加上一些初等的复变函数知识, 容易过渡到局部的指标定理

\mathrm{Ind}[L:\mathcal{O}(B(w,r))]=n-v(a_n,w).

第二步: 首项a_n没有零点的情形.\Delta是有限连通区域, 第一个Betti数是\beta. 在\Delta上考虑微分算子L:\mathcal{O}(\Delta)\rightarrow\mathcal{O}(\Delta), 定义为

L=a_n(z)\frac{d^n}{dz^n}+...+a_1(z)\frac{d}{dz}+a_0(z),

其中a_n\Delta上不取零值. 要证明\mathrm{Ind}(L)=n(1-\beta).

根据拓扑知识, 可以造出\beta
条彼此不相交的Jordan弧J_1,...,J_\beta, 使得(1)它们的端点都在\partial\Delta上(2)\Delta\setminus J是单连通的区域, 其中J=J_1\cup...\cup J_\beta. 又可以作出彼此不交的单连通区域U_1,...,U_\beta\subset\Delta, 使得J_k\subset U_kU_k\setminus J_k有两个分支(如图).

这个时候就需要开始借助一点层论工具了. 容易定义\DeltaL的零空间层, 它在一点的的stalk是L在这一点处的零空间. 于是这是一个复向量空间的层, 每一点的stalk都可以看成全纯函数芽空间的子空间, 具有复维数n. 记这个层为\mathcal{N}. 由于微分算子L的首项系数没有零点, 根据常微分方程解的局部存在定理, 显然有层的短正合列

0\rightarrow\mathcal{N}\rightarrow\mathcal{O}\xrightarrow{L}\mathcal{O}\rightarrow0.

由此导出上同调的长正合列

0\rightarrow\Gamma(\Delta,\mathcal{N})\rightarrow\Gamma(\Delta,\mathcal{O})\xrightarrow{L}\Gamma(\Delta,\mathcal{O})\rightarrow....

又有下面写出的两个层的短正合列:

0\rightarrow\mathcal{N}_J\rightarrow\mathcal{N}\rightarrow\mathcal{N}_{\Delta\setminus J}\rightarrow0.
0\rightarrow\mathcal{O}_J\rightarrow\mathcal{O}\rightarrow\mathcal{O}_{\Delta\setminus J}\rightarrow0.

由此导出两个上同调的长正合列

0\rightarrow\Gamma(J,\mathcal{N})\rightarrow\Gamma(\Delta,\mathcal{N})\rightarrow\Gamma({\Delta\setminus J},\mathcal{N})\rightarrow H^1_J(\Delta,\mathcal{N})\rightarrow...
0\rightarrow\Gamma(J,\mathcal{O})\rightarrow\Gamma(\Delta,\mathcal{O})\rightarrow\Gamma({\Delta\setminus J},\mathcal{O})\rightarrow H^1_J(\Delta,\mathcal{O})\rightarrow...

把这些长正合列拼成一个行列都正合的二维交换图, 然后用一下snake lemma, 并且注意到切除定理给出H^1_J(\Delta,\mathcal{N})\cong\bigoplus_{k=1}^\beta H^1_J(U_k,\mathcal{N}), 而每一个H^1_J(U_k,\mathcal{N})的维数是n; 最终得到了指标公式

\mathrm{Ind}(L)=n(1-\beta).

第三步: 最终情形. a_n的零点集为Z=\{w_1,...,w_m\}, 命第二步中的\Delta=\Omega\setminus Z. 显然有\beta=m+b_1. 注意到

\mathrm{Ind}(L,\mathcal{O}(\Omega))=\mathrm{Ind}(L,\mathcal{O}(\Delta))-\mathrm{Ind}(L,\mathcal{O}(\Delta)/\mathcal{O}(\Omega)).

只需要计算\mathrm{Ind}(L,\mathcal{O}(\Delta)/\mathcal{O}(\Omega)). 现在取r充分小, 使得圆盘B(w_j,r)彼此不交. 立刻可以看出

\mathcal{O}(\Delta)/\mathcal{O}(\Omega)\cong\bigoplus_{j=1}^m \mathcal{O}(B'(w_j,r))/\mathcal{O}(B(w_j,r)), 其中B'(w_j,r)表示去心邻域.

于是算得

\begin{aligned}
\mathrm{Ind}(L,\mathcal{O}(\Omega))&=\mathrm{Ind}(L,\mathcal{O}(\Delta))-\sum_{j=1}^m\{\mathrm{Ind}[L,\mathcal{O}(B'(w_j,r))]-\mathrm{Ind}[L,\mathcal{O}(B(w_j,r))]\}\\
&=n(1-b_1-m)+\sum_{j=1}^m(n-v(a_n,w_j))\\
&=n(1-b_1)-N.
\end{aligned}

这里用到了\mathrm{Ind}[L,\mathcal{O}(B'(w_j,r))]=0(用第二步的结论即可推出, 因为去心圆盘的第一Betti数是1).

编辑于 2016-12-23

文章被以下专栏收录