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用 C 语言画科赫雪花

1. 科赫雪花和科赫曲线

科赫曲线(Koch curve)是一个简单的分形(fractal)图形。瑞典数学家海里格·冯·科赫(Helge von Koch)于 1904 年的论文 [1] 中提及科赫曲线的构造方法。

给定一直线线段,把它等分三段,加入一个等边三角形,以三段的中间一段为底对齐,再去除该段线段。然后,对每个新线段重复进行上述步骤,就能形成科赫曲线:

n \rightarrow \infty,科赫曲线的长度也是无穷的。

如果画 3 条科赫曲线,每次旋转 120 度,就能得到科赫雪花(Koch snowflake):

2. 用 ASCII 字符绘画

我们可以用斜线 /、反斜线 \、下划线 _ 和空格这 4 个 ASCII 字符来绘画这个图形:

n=0
  
__
  
n=1
      
__/\__
      
n=2
                  
      __/\__      
      \    /      
__/\__/    \__/\__

但有些情况我们需要在一个字符中画下划线和斜线,例如 n = 3 的时候:

n=3

                        __/\__                        
                        \    /                        
                  __/\__/    \__/\__                  
                  \                /                  
           这里 -> /_              _\ <- 这里 
                    \            /                    
      __/\__      __/            \__      __/\__      
      \    /      \                /      \    /      
__/\__/    \__/\__/                \__/\__/    \__/\__

这时候我们可以选择只画斜线、反斜线。

3. 用 C 语言实现科赫曲线

我们创建一个字符数组 image 作为画布,用于存储绘画的中间结果,最后再把数组打印出来。数组的大小为画布宽长之积 w * h。

设坐标系统是 x 向右、y 向下,并定义字符的左下角为坐标。例如,画笔从 (x, y) 之处往右画,便赋值 image[y * w + x] = '_' ,并把 x 增 1。

我们也定义 6 个方向,0 代表向右,1代表右上,2 代表左上等。注意水平方向(0 和 3)需要画两个下划线,其他方向只画一个字符。

每次调用 KochCurve(n, dir) 函数,表示我们要从当前位置 (x, y) 向 dir 方向绘画一条 n 阶科赫曲线。那么要画一条 n 阶科赫曲线,其实就只需要根据所需方向画 4 条 n - 1 阶科赫曲线。直到 n = 0,一条 0 阶科赫曲线就是一条直线,我们届时只需按 dir 用字符画一条直线。

完整代码如下:


#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

static char* image;
static int x, y, w, h;

static void Put(int i, int j, char c) {
    char *p = image + j * w + i;
    if (*p == ' ' || *p == '_') // _ can be overridden by / or \.
        *p = c;
}

static void KochCurve(int n, int dir) {
    if (n == 0)
        switch (dir % 6) {
            case 0: Put(x++, y  , '_' );
                    Put(x++, y,   '_' ); break;
            case 1: Put(x++, y--, '/' ); break;
            case 2: Put(--x, y--, '\\'); break;
            case 3: Put(--x,   y, '_' );
                    Put(--x,   y, '_' ); break;
            case 4: Put(--x, ++y, '/' ); break;
            case 5: Put(x++, ++y, '\\'); break;
        }
    else {
        KochCurve(n - 1, dir    );
        KochCurve(n - 1, dir + 1);
        KochCurve(n - 1, dir + 5);
        KochCurve(n - 1, dir    );
    }
}

int main() {
    w = 2;
    h = 1;
    for (int n = 0; n < 4; n++) {
        image = (char*)malloc(w * h);
        memset(image, ' ', w * h);

        x = 0;
        y = h - 1;
        KochCurve(n, 0);

        printf("\nn=%d\n\n", n);
        for (int j = 0; j < h; j++) {
            for (int i = 0; i < w; i++)
                putchar(image[j * w + i]);
            putchar('\n');
        }

        w *= 3;
        h = n == 0 ? 1 : h * 3;
        free(image);
    }
}

4. 实现科赫雪花

科赫雪花仅仅是由 3 科赫曲线组成。我们只需改一下 main(),把画布变大一点,以及在合适的起始坐标画 3 条科赫曲线:

int main() {
    w = 2;
    h = 4;
    for (int n = 0; n < 4; n++) {
        image = (char*)malloc(w * h);
        memset(image, ' ', w * h);

        x = 0;
        y = h / 4 - 1;
        KochCurve(n, 0);
        KochCurve(n, 4);
        KochCurve(n, 2);

        printf("\nn=%d\n\n", n);
        for (int j = 0; j < h; j++) {
            for (int i = 0; i < w; i++)
                putchar(image[j * w + i]);
            putchar('\n');
        }

        w *= 3;
        h = n == 0 ? 4 : h * 3;
        free(image);
    }
}

输出(只展示 n = 3):

5. 总结与扩展

分形图形可以用极简单的定义,生成复杂的图形。在本文中,展示如何用 C 语言中,利用递归和 ASCII 字符绘画出科赫曲线和科赫雪花。


你还可以简单地改变 KochCurve() 中的实现,产生不同的变种,如 The Root 9 Triangle Grid Family 展示的:

你还可以尝试一下,不使用画布,而是用《如何用 C 语言画这个图》的框架来绘画,但这样需要在每个字符格子绘画整条曲线,性能较差。要提升性能,可使用每阶科赫曲线的包围盒( bounding box)作剔除──如果现时的坐标不在包围盒之内,也毋须递归到低一阶的科赫曲线了。

参考

[1] Von Koch, Helge. "Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire." Arkiv för Matematik 1 (1904): 681-704.

编辑于 2017-04-23

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