矩阵求导术(下)

本文承接上篇 zhuanlan.zhihu.com/p/24,来讲矩阵对矩阵的求导术。使用小写字母x表示标量,粗体小写字母\boldsymbol{x} 表示列向量,大写字母X表示矩阵。矩阵对矩阵的求导采用了向量化的思路,常应用于二阶方法中Hessian矩阵的分析。

首先来琢磨一下定义。矩阵对矩阵的导数,需要什么样的定义?第一,矩阵F(p×q)对矩阵X(m×n)的导数应包含所有mnpq个偏导数\frac{\partial F_{kl}}{\partial X_{ij}},从而不损失信息;第二,导数与微分有简明的联系,因为在计算导数和应用中需要这个联系;第三,导数有简明的从整体出发的算法。我们先定义向量\boldsymbol{f}(p×1)对向量\boldsymbol{x}(m×1)的导数\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_1}\\ \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial f_1}{\partial x_m} & \frac{\partial f_2}{\partial x_m} & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_m}\\ \end{bmatrix}(m×p),有d\boldsymbol{f} = \frac{\partial \boldsymbol{f} }{\partial \boldsymbol{x} }^T d\boldsymbol{x} ;再定义矩阵的(按列优先)向量化\mathrm{vec}(X) = [X_{11}, \ldots, X_{m1}, X_{12}, \ldots, X_{m2}, \ldots, X_{1n}, \ldots, X_{mn}]^T(mn×1),并定义矩阵F对矩阵X的导数\frac{\partial F}{\partial X} = \frac{\partial \mathrm{vec}(F)}{\partial \mathrm{vec}(X)}(mn×pq)。导数与微分有联系\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial X}^T \mathrm{vec}(dX)。几点说明如下:

  1. 按此定义,标量f对矩阵X(m×n)的导数\frac{\partial f}{\partial X}是mn×1向量,与上篇的定义不兼容,不过二者容易相互转换。为避免混淆,用记号\nabla_X f表示上篇定义的m×n矩阵,则有\frac{\partial f}{\partial X}=\mathrm{vec}(\nabla_X f)。虽然本篇的技术可以用于标量对矩阵求导这种特殊情况,但使用上篇中的技术更方便。读者可以通过上篇中的算例试验两种方法的等价转换。
  2. 标量对矩阵的二阶导数,又称Hessian矩阵,定义为\nabla^2_X f = \frac{\partial^2 f}{\partial X^2} = \frac{\partial \nabla_X f}{\partial X}(mn×mn),是对称矩阵。对向量\frac{\partial f}{\partial X}或矩阵\nabla_X f求导都可以得到Hessian矩阵,但从矩阵\nabla_X f出发更方便。
  3. \frac{\partial F}{\partial X} = \frac{\partial\mathrm{vec} (F)}{\partial X} = \frac{\partial F}{\partial \mathrm{vec}(X)} = \frac{\partial\mathrm{vec}(F)}{\partial \mathrm{vec}(X)},求导时矩阵被向量化,弊端是这在一定程度破坏了矩阵的结构,会导致结果变得形式复杂;好处是多元微积分中关于梯度、Hessian矩阵的结论可以沿用过来,只需将矩阵向量化。例如优化问题中,牛顿法的更新\Delta X,满足\mathrm{vec}(\Delta X) = -(\nabla^2_X f)^{-1}\mathrm{vec}(\nabla_X f)
  4. 在资料中,矩阵对矩阵的导数还有其它定义,比如\frac{\partial F}{\partial X} = \left[\frac{\partial F_{kl}}{\partial X}\right](mp×nq),或是\frac{\partial F}{\partial X} = \left[\frac{\partial F}{\partial X_{ij}}\right](mp×nq),它能兼容上篇中的标量对矩阵导数的定义,但微分与导数的联系(dF等于\frac{\partial F}{\partial X}中逐个m×n子块分别与dX做内积)不够简明,不便于计算和应用。资料[5]综述了以上定义,并批判它们是坏的定义,能配合微分运算的才是好的定义。


然后来建立运算法则。仍然要利用导数与微分的联系\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial X}^T \mathrm{vec}(dX),求微分的方法与上篇相同,而从微分得到导数需要一些向量化的技巧:

  1. 线性:\mathrm{vec}(A+B) = \mathrm{vec}(A) + \mathrm{vec}(B)
  2. 矩阵乘法:\mathrm{vec}(AXB) = (B^T \otimes A) \mathrm{vec}(X),其中\otimes表示Kronecker积,A(m×n)与B(p×q)的Kronecker积是A\otimes B = [A_{ij}B](mp×nq)。此式证明见张贤达《矩阵分析与应用》第107-108页。
  3. 转置:\mathrm{vec}(A^T) = K_{mn}\mathrm{vec}(A),A是m×n矩阵,其中K_{mn}(mn×mn)是交换矩阵(commutation matrix),将按列优先的向量化变为按行优先的向量化。例如K_{22} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0& 0 \\ 0& 0& 1& 0 \\ 0& 1& 0& 0 \\ 0& 0 &0 & 1\end{bmatrix}, \text{vec}(A^T)= \begin{bmatrix} A_{11} \\ A_{12} \\ A_{21} \\ A_{22}\end{bmatrix}, \text{vec}(A)=\begin{bmatrix} A_{11} \\ A_{21} \\ A_{12} \\ A_{22}\end{bmatrix}
  4. 逐元素乘法:\mathrm{vec}(A\odot X) = \mathrm{diag}(A)\mathrm{vec}(X),其中\mathrm{diag}(A)(mn×mn)是用A的元素(按列优先)排成的对角阵。


观察一下可以断言,若矩阵函数F是矩阵X经加减乘法、逆、行列式、逐元素函数等运算构成,则使用相应的运算法则对F求微分,再做向量化并使用技巧将其它项交换至vec(dX)左侧,对照导数与微分的联系\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial X}^T \mathrm{vec}(dX),即能得到导数。

特别地,若矩阵退化为向量,对照导数与微分的联系d\boldsymbol{f} = \frac{\partial \boldsymbol{f} }{\partial \boldsymbol{x} }^T d\boldsymbol{x} ,即能得到导数。


再谈一谈复合:假设已求得\frac{\partial F}{\partial Y},而Y是X的函数,如何求\frac{\partial F}{\partial X}呢?从导数与微分的联系入手,\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial Y}^T\mathrm{vec}(dY) = \frac{\partial F}{\partial Y}^T\frac{\partial Y}{\partial X}^T\mathrm{vec}(dX) ,可以推出链式法则\frac{\partial F}{\partial X} = \frac{\partial Y}{\partial X}\frac{\partial F}{\partial Y}

和标量对矩阵的导数相比,矩阵对矩阵的导数形式更加复杂,从不同角度出发常会得到形式不同的结果。有一些Kronecker积和交换矩阵相关的恒等式,可用来做等价变形:

  1. (A\otimes B)^T = A^T \otimes B^T
  2. \mathrm{vec}(\boldsymbol{ab}^T) = \boldsymbol{b}\otimes\boldsymbol{a}
  3. (A\otimes B)(C\otimes D) = (AC)\otimes (BD)。可以对F = D^TB^TXAC求导来证明,一方面,直接求导得到\frac{\partial F}{\partial X} = (AC) \otimes (BD);另一方面,引入Y = B^T X A,有\frac{\partial F}{\partial Y} = C \otimes D, \frac{\partial Y}{\partial X} = A \otimes B,用链式法则得到\frac{\partial F}{\partial X} = (A\otimes B)(C \otimes D)
  4. K_{mn} = K_{nm}^T, K_{mn}K_{nm} = I
  5. K_{pm}(A\otimes B) K_{nq} = B\otimes A,A是m×n矩阵,B是p×q矩阵。可以对AXB^T做向量化来证明,一方面,\mathrm{vec}(AXB^T) = (B\otimes A)\mathrm{vec}(X);另一方面,\mathrm{vec}(AXB^T) = K_{pm}\mathrm{vec}(BX^TA^T) = K_{pm}(A\otimes B)\mathrm{vec}(X^T) = K_{pm}(A\otimes B) K_{nq}\mathrm{vec}(X)


接下来演示一些算例。

例1:F = AX,X是m×n矩阵,求\frac{\partial F}{\partial X}

解:先求微分:dF=AdX,再做向量化,使用矩阵乘法的技巧,注意在dX右侧添加单位阵:\mathrm{vec}(dF) = \mathrm{vec}(AdX) = (I_n\otimes A)\mathrm{vec}(dX),对照导数与微分的联系得到\frac{\partial F}{\partial X} = I_n\otimes A^T

特例:如果X退化为向量,即\boldsymbol{f} = A \boldsymbol{x},则根据向量的导数与微分的关系d\boldsymbol{f} = \frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}}^T d\boldsymbol{x},得到\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}} = A^T


例2:f = \log |X| ,X是n×n矩阵,求\nabla_X f\nabla^2_X f

解:使用上篇中的技术可求得\nabla_X f = X^{-1T} 。为求\nabla^2_X f,先求微分:d\nabla_X f = -(X^{-1}dXX^{-1})^T,再做向量化,使用转置和矩阵乘法的技巧\mathrm{vec}(d\nabla_X f)= -K_{nn}\mathrm{vec}(X^{-1}dX X^{-1}) = -K_{nn}(X^{-1T}\otimes X^{-1})\mathrm{vec}(dX),对照导数与微分的联系,得到\nabla^2_X f = -K_{nn}(X^{-1T}\otimes X^{-1}),注意它是对称矩阵。在X是对称矩阵时,可简化为\nabla^2_X f = -X^{-1}\otimes X^{-1}


例3:F = A\exp(XB),A是l×m矩阵,X是m×n矩阵,B是n×p矩阵,exp为逐元素函数,求\frac{\partial F}{\partial X}

解:先求微分:dF = A(\exp(XB)\odot (dXB)),再做向量化,使用矩阵乘法的技巧:\mathrm{vec}(dF) = (I_p\otimes A)\mathrm{vec}(\exp(XB)\odot (dXB)),再用逐元素乘法的技巧:\mathrm{vec}(dF) = (I_p \otimes A) \mathrm{diag}(\exp(XB))\mathrm{vec}(dXB),再用矩阵乘法的技巧:\mathrm{vec}(dF) = (I_p\otimes A)\mathrm{diag}(\exp(XB))(B^T\otimes I_m)\mathrm{vec}(dX),对照导数与微分的联系得到\frac{\partial F}{\partial X} = (B\otimes I_m)\mathrm{diag}(\exp(XB))(I_p\otimes A^T)


例4【一元logistic回归】:l = -y \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{w} + \log(1 + \exp(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{w})),求\nabla_\boldsymbol{w} l\nabla^2_\boldsymbol{w} l。其中y是取值0或1的标量,\boldsymbol{x},\boldsymbol{w}n×1列向量。

解:使用上篇中的技术可求得\nabla_\boldsymbol{w} l = \boldsymbol{x}(\sigma(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{w}) - y),其中\sigma(a) = \frac{\exp(a)}{1+\exp(a)} 为sigmoid函数。为求\nabla^2_\boldsymbol{w} l,先求微分:d\nabla_\boldsymbol{w} l = \boldsymbol{x} \sigma'(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{w})\boldsymbol{x}^T d\boldsymbol{w} ,其中\sigma'(a) = \frac{\exp(a)}{(1+\exp(a))^2}为sigmoid函数的导数,对照导数与微分的联系,得到\nabla_w^2 l = \boldsymbol{x}\sigma'(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{w})\boldsymbol{x}^T

推广:样本(\boldsymbol{x}_1, y_1), \dots, (\boldsymbol{x}_N,y_N)l = \sum_{i=1}^N \left(-y_i \boldsymbol{x}_i^T\boldsymbol{w} + \log(1+\exp(\boldsymbol{x_i}^T\boldsymbol{w}))\right),求\nabla_w l\nabla^2_w l。有两种方法,解1:先对每个样本求导,然后相加;解2:定义矩阵X = \begin{bmatrix}\boldsymbol{x}_1^T \\ \vdots \\ \boldsymbol{x}_n^T \end{bmatrix},向量\boldsymbol{y} = \begin{bmatrix}y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{bmatrix},将l写成矩阵形式l = -\boldsymbol{y}^T X\boldsymbol{w} + \boldsymbol{1}^T\log(\boldsymbol{1} + \exp(X\boldsymbol{w})),进而可以使用上篇中的技术求得\nabla_\boldsymbol{w} l = X^T(\sigma(X\boldsymbol{w}) - \boldsymbol{y})。为求\nabla^2_\boldsymbol{w} l,先求微分,再用逐元素乘法的技巧:d\nabla_\boldsymbol{w} l = X^T (\sigma'(X\boldsymbol{w})\odot (X d\boldsymbol{w})) = X^T \text{diag}(\sigma'(X\boldsymbol{w}))Xd\boldsymbol{w},对照导数与微分的联系,得到\nabla_w^2 l = X^T\text{diag}(\sigma'(X\boldsymbol{w}))X


例5【多元logistic回归】:l = -\boldsymbol{y}^T\log \text{softmax}(W\boldsymbol{x}) = -\boldsymbol{y}^TW\boldsymbol{x} + \log(\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x})),求\nabla_W l\nabla^2_W l 。其中其中\boldsymbol{y}是除一个元素为1外其它元素为0的m×1列向量,Wm\times n矩阵,\boldsymbol{x}n×1列向量,l是标量。

解:上篇中已求得\nabla_W l = (\text{softmax}(W\boldsymbol{x})-\boldsymbol{y})\boldsymbol{x}^T。为求\nabla^2_W l,先求微分:定义\boldsymbol{a} = W\boldsymbol{x}d\nabla_W l = \left(\frac{\exp(\boldsymbol{a})\odot d\boldsymbol{a}}{\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a})} - \frac{\exp(\boldsymbol{a}) (\boldsymbol{1}^T(\exp(\boldsymbol{a})\odot d\boldsymbol{a}))}{(\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a}))^2}\right) \boldsymbol{x}^T = \left( \frac{\text{diag}(\exp(\boldsymbol{a}))}{\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a})} - \frac{\exp(\boldsymbol{a})\exp(\boldsymbol{a})^T}{(\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a}))^2} \right)d\boldsymbol{a} \boldsymbol{x}^T=\left(\text{diag}(\text{softmax}(\boldsymbol{a})) - \text{softmax}(\boldsymbol{a})\text{softmax}(\boldsymbol{a})^T\right)d\boldsymbol{a} \boldsymbol{x}^T,注意这里化简去掉逐元素乘法,第一项中\exp(\boldsymbol{a})\odot d\boldsymbol{a} = \text{diag}(\exp(\boldsymbol{a})) d\boldsymbol{a} ,第二项中\boldsymbol{1}^T(\exp(\boldsymbol{a})\odot d\boldsymbol{a}) = \exp(\boldsymbol{a})^Td\boldsymbol{a}。定义矩阵D(\boldsymbol{a}) = \text{diag}(\text{softmax}(\boldsymbol{a})) - \text{softmax}(\boldsymbol{a})\text{softmax}(\boldsymbol{a})^Td\nabla_W l =D(\boldsymbol{a})d\boldsymbol{a}\boldsymbol{x}^T = D(W\boldsymbol{x})dW \boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^T,做向量化并使用矩阵乘法的技巧,得到\nabla^2_W l = (\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^T) \otimes D(W\boldsymbol{x})


最后做个总结。我们发展了从整体出发的矩阵求导的技术,导数与微分的联系是计算的枢纽,标量对矩阵的导数与微分的联系是df = \mathrm{tr}(\nabla_X^T f dX),先对f求微分,再使用迹技巧可求得导数,特别地,标量对向量的导数与微分的联系是df = \nabla^T_{\boldsymbol{x}}f d\boldsymbol{x};矩阵对矩阵的导数与微分的联系是\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial X}^T \mathrm{vec}(dX),先对F求微分,再使用向量化的技巧可求得导数,特别地,向量对向量的导数与微分的联系是d\boldsymbol{f} = \frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}}^Td\boldsymbol{x}



参考资料:

  1. 张贤达. 矩阵分析与应用. 清华大学出版社有限公司, 2004.
  2. Fackler, Paul L. "Notes on matrix calculus." North Carolina State University(2005).
  3. Petersen, Kaare Brandt, and Michael Syskind Pedersen. "The matrix cookbook." Technical University of Denmark 7 (2008): 15.
  4. HU, Pili. "Matrix Calculus: Derivation and Simple Application." (2012).
  5. Magnus, Jan R., and Heinz Neudecker. "Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics." Wiley, 2019.
编辑于 2019-11-07