Python 解方程的三种方法

# 首发于我的博客 The North.

新年第一篇,搞起.

这回写一个好久之前想做,一直搁着没做的东西—— Python 解方程(其实是放假回家,趁着家里电脑重装 LOL 的时间过来写一篇). 咱这回用三种不同的方法,来应对平常碰到的简单方程.

Numpy 求解线性方程组

例如我们要解一个这样的二元一次方程组:

x + 2y = 3
4x + 5y = 6

当然我们可以手动写出解析解,然后写一个函数来求解,这实际上只是用 Python 来单纯做“数值计算”. 但实际上,numpy.linalg.solve 可以直接求解线性方程组.

一般地,我们设解线性方程组形如 Ax=b,其中 A 是系数矩阵,b 是一维(n 维也可以,这个下面会提到),x 是未知变量. 再拿上面地最简单的二元一次方程组为例,我们用 numpy.linalg.solve 可以这样写:

In [1]: import numpy as np
   ...: A = np.mat('1,2; 4,5')    # 构造系数矩阵 A
   ...: b = np.mat('3,6').T       # 构造转置矩阵 b (这里必须为列向量)
   ...: r = np.linalg.solve(A,b)  # 调用 solve 函数求解
   ...: print r
   ...:
Out[1]: [[-1.]
         [ 2.]]

那么前面提到的“ n 维”情形是什么呢?实际上就是同时求解多组形式相同的二元一次方程组,例如我们想同时求解这样两组:

x + 2y = 3
4x + 5y = 6

x + 2y = 7
4x + 5y = 8

就可以这样写:

In [2]: import numpy as np
   ...: A = np.mat('1,2; 4,5')          # 构造系数矩阵 A
   ...: b = np.array([[3,6], [7,8]]).T  # 构造转置矩阵 b (这里必须为列向量),
   ...: 注意这里用的是 array
   ...: r = np.linalg.solve(A,b)        # 调用 solve 函数求解
   ...: print r
   ...:
Out[2]: [[-1.         -6.33333333]
         [ 2.          6.66666667]]

SciPy 求解非线性方程组

先看官方文档的介绍:

scipy.optimize.fsolve(func, x0, args=(), fprime=None, full_output=0, col_deriv=0, xtol=1.49012e-08, maxfev=0, band=None, epsfcn=None, factor=100, diag=None)[source]

一般来说,我们只需要用到 func 和 x0 就够了. func 是自己构造的函数,也就是需要求解的方程组的左端(右端为 0),而 x0 则是给定的初值.

我们来看一个具体的例子,求解:

x + 2y + 3z - 6 = 0
5 * (x ** 2) + 6 * (y ** 2) + 7 * (z ** 2) - 18 = 0
9 * (x ** 3) + 10 * (y ** 3) + 11 * (z ** 3) - 30 = 0

就可以这么写:

In [3]: from scipy.optimize import fsolve
   ...:
   ...: def func(i):
   ...:     x, y, z = i[0], i[1], i[2]
   ...:     return [
   ...:             x + 2 * y + 3 * z - 6,
   ...:             5 * (x ** 2) + 6 * (y ** 2) + 7 * (z ** 2) - 18,
   ...:             9 * (x ** 3) + 10 * (y ** 3) + 11 * (z ** 3) - 30
   ...:            ]
   ...:
   ...: r = fsolve(func,[0, 0, 0])
   ...: print r
   ...:
Out[3]: [ 1.00000001  0.99999998  1.00000001]

当然,SciPy 也可以用来求解线性方程组,这是因为 scipy.optimize.fsolve 本质上是最小二乘法来逼近真实结果.

SymPy 通吃一切

例如求解一个:

x + 2 * (x ** 2) + 3 * (x ** 3) - 6 = 0

直接就是:

In [4]: from sympy import *
   ...: x = symbols('x')
   ...: solve(x + 2 * (x ** 2) + 3 * (x ** 3) - 6, x)
Out[4]: [1, -5/6 - sqrt(47)*I/6, -5/6 + sqrt(47)*I/6]

另外,@Wayne Shi 的这篇 使用 Python 解数学方程 ,就重点讲述了 SymPy 解线性方程组的方法,所以我也就不再赘述了。

其实 SymPy 能干的太多了,有兴趣的可以看一看 GitHub上的 Quick examples.

最后

安利自己一波,求一份关于 程序化投资 方向的寒假实习.
这是我的简历(划掉),欢迎骚扰.

编辑于 2018-08-22

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