微小的欧拉定理EXT证明

微小的欧拉定理EXT证明

谨以本文献给(假的)带把妹子LWR

金环压珮摇玲珑,入门下马气如虹
云是涪城才子,文章巨公
元精耿耿贯当中,二十八宿列心胸

微小的目标:

证明a^{x} \equiv a^{x\bmod \varphi{(m)} + \varphi{(m)}} \pmod{m},其中a为任意整数,x,m为正整数,并且x\geq \varphi(m)(注意这里a和m不一定互素

注:由于m=1的情况是平凡的,以下假设m>1。

记号:

  • \varphi{(x)}为欧拉函数



前置技能:

  • 确保你知道欧拉定理是啥
  • 以及\gcd(p,q) = 1 \implies \varphi(pq) = \varphi(p) \varphi(q)


引理1:

 \begin{cases} x \equiv y \pmod{m_1}\\ x \equiv y \pmod{m_2} \end{cases} \implies {x \equiv y \pmod{lcm(m_1,m_2)}}

证明留作练习:)

推论

  1. \gcd(m_1,m_2) = 1时,x \equiv y \pmod{m_1m_2}
  2. 当我们有多个m时, \begin{cases} x \equiv y \pmod{m_1}\\ x \equiv y \pmod{m_2}\\ \cdots \\ x \equiv y \pmod{m_{n}}\\ \end{cases} \implies {x \equiv y \pmod{lcm(m_1,m_2,\cdots,m_n)}}


引理2:

设p为任意素数,q为大于1的正整数,我们有\varphi(p^q) \geq q

证明再次留作练习:)

证明:

首先我们证明当m = p^q(即模素数的幂)时定理成立,

第一种情况:\gcd(a, p) = 1

a^{x}\equiv a^{x\bmod \varphi{(p^q)} + \varphi{(p^q)}} \pmod{p^q}

证明见欧拉定理。

第二种情况:\gcd(a, p) = p

显然我们可以把a拆分成a = pm

由引理2可得a^xa^{x\bmod \varphi{(m)} + \varphi{(m)}} 的指数均大于等于q

所以 a^{x} \equiv 0\equiv a^{x\bmod \varphi{(p^q)} + \varphi{(p^q)}} \pmod{p^q}

由此我们证明了对于任意素数的幂,该定理成立。


对于任意m我们可以将其拆分为素数的幂的乘积,因为对于任意素数的幂成立(同时\varphi(m)\varphi(p^q)的倍数)并且显然有 a^{x\bmod \varphi(p^q)+\varphi(p^q)}\equiv a^{x\bmod \varphi(m)+\varphi(m)} \pmod{p^q} ,由引理1可知对于任意m都成立, Q.E.D.


是以膜蕤

编辑于 2018-04-19