十分钟paper | 你的模型也许还可以再抢救一下

十分钟paper | 你的模型也许还可以再抢救一下

前言

这是我们十分钟paper的第一篇,「十分钟paper」系列是模仿Youtube上的Two Minute Papers 的一个读书报告栏目,GraphiCon的小伙伴们会用简洁有趣的文字,生动形象的图片讲解一些大家感兴趣的paper。本栏目长期接受投稿,如果你想参与进来,请按文末的信息联系我们。

注:本篇论文地址:irc.cs.sdu.edu.cn/CFS/


你的模型也许还可以再抢救一下

作者:GraphiCon - 孙钊,王士玮

3D打印

3D打印是近些年兴起的增材制造工艺。相较于传统的模具与减材制造,从想法到产品雏形,它成本低,效率高,非常适合人们去发挥自己的创意。而在网上往往可以看到优秀的3D打印作品:



source: Reuters
source: avax.news

source: howstufworks.com

source: nydailynews.com



3D打印机


尽管3D打印有熔融沉积,激光烧结,熔化成型等不同工艺类型。但最常见的,(我们也用得起的)是熔融沉积打印机(FDM打印机)。这种打印机的通过喷出塑料丝快速熔融,沉积成模型实体, 打印一个10cm高的模型, 平均起来也要7、8个小时左右。虽然感觉上很慢(相比起模具制造,不知道快了多少), 但想法满天飞的图形控们, 已经感觉打通了数字世界和原子世界的壁垒好吗!(嗯,就差二次元壁垒等待我们去征服了。)


source: Makerbot



FDM 打印机的缺陷


但梦想的丰满照进现实就显得如此骨感, 比如: 当你兴冲冲地拿着辛苦了一周的模型,找到了一台最常见的FDM 3d打印机,要它打印这个:


source: nipic.com
FDM打印机:


source: weibo.com
打印机在打印模型时,遵循切片分层再分层打印的原理。而每一层的打印,喷头都要遵循工具路径来移动,最终填满整个单层区域。问题就出在这里。
大部分FDM打印机的分层打印基于Zigzag曲线(锯齿形或之字形):




这种“不撞南墙不回头”的曲线碰到洞,尤其是边缘还不规则的众多洞,折返次数会大大增加,其效果也变得不堪入目:



你能忍受兴冲冲地去打印, 满心欢喜地等待7、8个小时, 最后只能拿到一个废渣一样的东西吗?


而面对激增的急转弯个数,FDM打印机表示:



FDM打印机在处理高亏格的模型总是少了根筋。对于我们大开的脑洞而言,FDM打印机的表现简直就是呆萌。如果你碰到了这种情况,先别急着删文件,或许你的模型还可以抢救一下。最新的Siggraph 2016文章[1]提供了新的打印技巧:连续费马螺旋线(Connected Fermat Spirals)。



皮埃尔·德·费马


这里就不得不说一下费马,传说中的业(zhuan)余(ye)数(wa)学(keng)家之王。



如果你打开某某百科,搜索皮埃尔•德•费马,你会发现一个奇怪的生平:


  • 1601年出生于法国,父亲是皮货商(大土豪),母亲出身穿袍贵族,是名副其实的富二代。
  • 高中毕业后,富二代听从了父亲的推荐,欣然去大学学习法律(喵喵喵?不应该抱着柱子大喊我要学数学吗?)。
  • 大学还没毕业,富二代就通过买官得到了律师和参议员的职位。
  • 1631年,费马返回家乡,当上了图卢兹议会议员,从此逐年提升,于1642年进入最高刑事法庭,1646年升任首席发言人。
  • 费马是个廉洁的好官,获得了人们的信任和称赞。

没啦?这就没啦?数学嘞???你让那些专职数学家情何以堪?


然而费马作为24k纯业余数学家却是数学家多如繁星的17世纪最多产的数学家。


  • 在解析几何上,费马做了开创性的基础工作,从方程出发决定点线面曲线曲面。
  • 微积分上,费马建立了求切线、极值的方法以及定积分方法。
  • 概率论上引入了随机变量与数学期望,这是最基础的部分。
  • 光学上提出了最小作用原理,这引出了变分法求函数极值的思想,直接导致了拉格朗日的成就。
  • 数论上,费马小定理、费马大定理为众人所熟知,此外还有众多数论工作为人称道。

费马与猜想


费马作为数学家真可以说是前无古人的妙人:喜欢猜想。这些猜想前前后后分别被后人所证明,而费马大定理,也即费马最后的猜想,更是一段佳话。


  • 费马在阅读《算术》时,在书中空白处写下了这一猜想,并表明已想出一美妙的证法,但是书页空白处太小,写不下。无论费马是否想出了证明,这个猜想给数学带来的推动是毋庸置疑的。
  • 自1753年起,众多数学家接力证明一些特殊情况。
  • 1844年,理想素数理论证明了100以内的情况。
  • 1922年,莫德尔猜想给出了代数曲线角度的新方法。
  • 1983年莫德尔猜想得到证明,打开了新局面。
  • 1986年,安德鲁•怀尔斯依赖于谷山丰猜想、肯•里贝特在弗雷命题上的工作、岩泽理论—弗莱切方法最终给出了费马大定理的证明。

历时三个世纪,证明的接力终于结束,而理论数学的发展,已然沧海桑田。



费马螺旋线


以下图片均来自[1]
扯了那么多, 只是为了表达我们对费马大神滔滔不绝的景仰之情, 现在终于可以回归正题讲讲费马螺线了。费马螺线,是费马在解析几何研究中提出的以代数方程定义的新曲线。表达式为r^n=aθ。连续费马螺旋线(Connected Fermat Spirals),下文简称CFS,它是这样的曲线:



CFS具有两个交错的子螺旋,一个向内和一个向外。CFS有着非常利于3d打印的性质:


  • 1.符合区域边界;
  • 2.多个CFS是可以连续的连接的;
  • 3.CFS的起点与终点可以在边界上任意选择;

CFS在填充单连通含亏格或多亏格的区域时表现十分出色:





实际打印效果也是更加的优秀:


Zigzag:欠填充与边界问题



Countour-Parallel:严重的过填充与令人满意的边界



CFS:很少的过填充与令人满意的边界



那么到底如何将一个单连通区域用CFS填满呢?


我们将这个区域进行恰当的域分解[2],对于每个可螺旋的域,我们采用固定的算法填充。这一算法的几何直观如下:



  • 从轮廓平行路径(a),
  • 通过断开和重新路由相邻的等值线(b),
  • 多次重复得到螺旋(c)。

  • (a)点p及其对应的内点I(p)和外点O(p),以及前点B(p)和后点N(p)
  • (b)从p_{in}开始,在p_1 = B(p_{out})处向内到达p_2=I(p_1),并继续至p_3=B(I(B(p_2)))
  • (c)不断重复(b)所得的CFS。

而实际应用的算法中,则采取了树的结构用以生成CFS:


STEP 1

给定轮廓之间的间隔w,我们使用Clipper算法[3]构造等轮廓的集合L。


通过c_{i,j}索引等轮廓,


  • 其中:i表示其到区域边界∂R∂R的距离,
    d(\partial R,c_{i,j})=(i-0.5)w
    ** j是具有相同距离指数i的等值线的索引号。
  • 例如,若j≠j′,则c_{i,j}c_{i,j'}属于两个分离的口袋。
  • 不失一般性,我们总是假设c_{1,1}为外部区域边界\partial R

STEP 2

我们首先将具有相邻i值的等值线连接到初始图中,例如c_{i,j}c_{i+1,j}
为此,我们在c_{i,j}上朝向c_{i+1,j}定义连接段O_{i,j,j'}


  • 其中,d(p, c)表示点p沿着一条轮廓到点c的距离。
  • O_{i,j,j'}通过在两个等值线之间的可能的重新连接点形成。
  • 如果O_{i,j,j'}\ne \oslash ,我们在c_{i,j}c_{i+1,j'}之间添加一条边。
  • 分配给边的权重是O_{i,j,j'}的长度。
  • 在构建等值线上的初始图之后,我们用c_{1,1}作为根 ,计算最小权重生成树,螺旋轮廓树。

STEP 3

树节点分为两种类型:


  • 类型I节点具有小于或等于2的度,并且它们对应于形成可螺旋区域的等轮廓线。具体地,每个这样的区域,例如图(a)中的R_0,R_1,...,R_4由I型节点的路径形成。
  • 类型II节点具有大于2的度,例如,在图(b)中以浅蓝色着色的节点,并且它们对应于分支等轮廓。这种等轮廓线提供了可螺旋区域和可能的其它类型II节点之间的接口。

为了获得一个全局连续的路径,我们以自下而上的方式重新连接等轮廓线,从叶节点开始到根结束。有两种类型的重新连接操作:


  • 第一种将可螺旋区域上的等角圆心连接成具有彼此相邻的起点和出口点的单个费马螺旋线。

  • 第二种操作在最近的点(灰色点)将费马螺旋的起点和出点连接到类型II等轮廓线。

到目前为止获得的工具路径是全局连续的并且覆盖输入区域R,但是仅C^0 连续并且可能遭受高度不均匀的间距。为此要进行曲线优化。

曲线优化

路径优化采取了两种方式:均匀间距优化和平滑优化。下图是效果对比:



左:路径优化前。 中间:仅优化均匀间距的路径。 右:使用平滑和均匀间距的优化。


优化可以充分解决过填充的问题,但两种优化同时使用会造成更多的欠填充。因此到底优化到何种地步需要具体问题具体分析。


至此,我们得到了CFS路径。



效果展示

CFS路径填充众多复杂不规则图案可以看看下边的范例:


不知道你的模型有没有被拯救呢?


References

[1] Connected Fermat Spirals for Layered Fabrication; Haisen Zhao, Fanglin Gu, Qixing Huang, Jorge Garcia, Yong Chen, Changhe Tu, Bedrich Benes, Hao Zhang, Daniel Cohen-Or, Baoquan Chen; SIGGRAPH 2016.
[2] Automated torch path planning using polygon subdivision for solid freeform fabrication based on welding; Rajeev Dwivedi, Radovan Kovacevic; Journal of Manufacturing Systems.
[3] Clipper - an open source freeware library for clipping and offsetting lines and polygons;angusj.com/delphi/clipp.


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编辑于 2017-03-21

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