点到直线距离公式的几种推导

摘要:本文将介绍几种推导点到直线的距离公式的方法。

本文默认情况下,直线的方程为l:Ax+By+C=0,A,B均不为0,斜率为k_l,点的坐标为P(x0,y0),点Pl的距离为d

推导一(面积法):

如上图所示,设R(x_R,y_0)S(x_0,y_S),由R,S在直线l上,得到:

Ax_R+By_0+C=0

Ax_0+By_S+C=0

所以:x_1 = \frac{-By_0-C}{A}y_2 = \frac{-Ax_0-C}{B}

所以:|PR|=|x_0-x_1|=\left | \frac{Ax_0+By_0+C}{A} \right ||PS|=|y_0-y_2|=\left | \frac{Ax_0+By_0+C}{B} \right |

于是:|RS| = \sqrt{|PR|^2+|PS|^2} = \frac{\sqrt{A^2+B^2} }{AB} \cdot |Ax_0+By_0+C|

所以从三角形面积公式知:d\cdot |RS|=|PR|\cdot |PS|

从而有:d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2} }

推导二(三角函数斜率法):

如上图所示,直线的倾角为α,同推导一,|PR|=|x_0-x_1|=\left | \frac{Ax_0+By_0+C}{A} \right |

d = ||PR|sin\angle PRQ|=||PR|sin \alpha |

又有|tan\alpha |=|k_l|=\left | \frac{A}{B} \right |及三角函数公式\frac{1}{tan^2\alpha } = \frac{1}{sin^2\alpha } - 1

代入消去α,便有:d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2} }

推导三(求点法):

如上图所示:因为k_{PQ}\cdot k_l=-1,所以k_{PQ}=\frac{B}{A}

所以直线PQ方程为:y-y_0=\frac{B}{A}(x-x_0)

联立Ax+By+C=0

求出Q点的坐标为Q(\frac{B^2x_0-ABy_0-AC}{A^2+B^2},\frac{A^2y_0-ABx_0-BC}{A^2+B^2})

所以:d=|PQ|=\sqrt{(\frac{B^2x_0-ABy_0-AC}{A^2+B^2} - x_0)^2+(\frac{A^2y_0-ABx_0-BC}{A^2+B^2}-y_0)^2}

=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2} }

推导四(造圆切线法):

如上图所示,以点P为圆心,作圆与直线l相切,则此圆的方程为:

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=d^2

联立直线方程Ax+By+C=0消去y得:

(\frac{A^2}{B^2}+1)x^2+(\frac{2AC}{B^2}+\frac{2A}{B}y_0-2x_0)x + (x_0^2+y_0^2+\frac{C^2}{B^2}+\frac{2Cy_0}{B}-d^2) = 0

由相切的条件知:\Delta =0

即:(\frac{2AC}{B^2}+\frac{2A}{B}y_0-2x_0)^2-4\cdot (\frac{A^2}{B^2}+1)\cdot (x_0^2+y_0^2+\frac{C^2}{B^2}+\frac{2Cy_0}{B}-d^2) = 0

解得:d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2} }

推导五(函数极值法):

如上图所示,该问题可以转化为求直线l上一动点Q,使得PQ的距离最短,当然我们已经知道d是最短的,这样,问题就变为了一个二元函数的条件极值问题,函数为:|PQ|=d(x,y)=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} ,d就是函数,条件就是Ax+By+C=0,求最小值,由于距离始终大于0,我们考虑根号里面的二元二次函数极值问题,我们采用拉格朗日乘数法。

L(x,y,\lambda )=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+\lambda (Ax+By+C)

所以\left\{\begin{aligned}&L_x'= 2(x-x_0)+\lambda A = 0 & \\ &L_y' = 2(y-y_0)+ \lambda B & \\&L_\lambda ' = Ax+By+C = 0 & \end{aligned}\right.

解得:x=\frac{B^2x_0-ABy_0-AC}{A^2+B^2}y =  \frac{A^2x_0-ABx_0-BC}{A^2+B^2}

代入函数中,即得:d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2} }

推导六(对称求点法):

如上图所示,设P(x',y')P(x_0,y_0)关于直线l的对称点,于是有:

\left\{\begin{aligned}&\frac{y'-y_0}{x'-x_0} \cdot (-\frac{A}{B}) = -1 & \\&A\cdot \frac{x'+x_0}{2} + B\cdot \frac{y'+y_0}{2} + C = 0 & \end{aligned}\right.

解得:x'=\frac{B^2x_0-ABy_0-AC}{A^2+B^2}-x_0y' =  \frac{A^2x_0-ABx_0-BC}{A^2+B^2} - y_0

所以:d=\frac{1}{2}\sqrt{|PP'|^2} =\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2} }

推导七(求高法):

如上图所示,由直线方程可求得R、S的坐标,即R(0,-\frac{C}{B})S(-\frac{C}{A},0),于是三角形ROS的面积为:S_{\triangle ROS} = \left | \frac{1}{2}\begin{vmatrix} -x_0 & -\frac{C}{B}-y_0  \\-\frac{C}{A}-x_0 & -y_0 \end{vmatrix} \right |

所以:|RS| = \sqrt{(\frac{C}{A})^2+(\frac{C}{B})^2} =\left | \frac{C\sqrt{A^2+B^2} }{AB} \right |

所以:d=\frac{2S_{\triangle ROS}}{|RS|}=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2} }

推导八(相似三角形法):

如图所示,PQ\bot lOS\bot l,于是\triangle PRS\sim \triangle ORQ,于是\frac{d}{|OS|}=\frac{|PR|}{|OR|} = \lambda

由直线分线段比公式(三横先生:定比分点公式及定理)可得:\lambda = \frac{Ax_0+By_0+C}{|C|}

|OS| = \frac{\frac{C}{A}\cdot \frac{C}{B}}{|\frac{C\sqrt{A^2+B^2} }{AB}|} = \frac{|C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

所以d=\lambda |OS|=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2} }

总结:平面解析几何主要的研究对象是直线与圆锥曲线,而平面几何主要的对象是直线以及由线段组成的几何图形,因此在解析几何的问题中,往往使用平面几何的知识就能带来更加简洁的过程,同时,我们可以发现,即便是一个简单的问题,也会有许多不同的办法,每一种办法都是一个知识点的应用,善于发现并比较这些方法,会更让我们的思维开阔,创新就是这么来的!

编辑于 03-21

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    本专栏将为读者展现另一种思考数学问题的方式,数学的奇妙之处不在于她的高度,而在于她的思想,她是大道至简的表现,是艺术美学的表现,学会她的思想,就学会了如何思考人生的哲理。在这里,不论你是中学生还是大学生,甚至是更高学历的学者,都将能够从这里看到与众不同的数学,作者将为他的读者们创建一种新的思考方式,希望每一位读者都能从中得到启发。