物理杂记
首发于物理杂记
在狭义相对论中,光速不变原理这一原理是必需的吗?

在狭义相对论中,光速不变原理这一原理是必需的吗?

我们都知道,狭义相对论是建立在狭义相对性原理和光速不变原理上的,本文的目的是要讨论光速不变原理在狭义相对论中的地位,推导如果没有这一原理,那么两个惯性系之间的最一般的变换是什么形式的,从而让我们更清楚光速不变原理的含义。

现在假设有两个惯性系K(t,x,y,z)和K'(t',x',y',z'),括号中的t表示时间坐标(即时钟的示数),后三个坐标表示笛卡尔直角坐标,并且假设每个惯性系中各个点的时钟都已经校对准确。我们知道,在牛顿和伽利略时代,人们都是默认t=t'的,因此他们的坐标变换(即伽利略变换)只有空间坐标之间的变换。现在,我们从最一般的情况出发,即假设两个惯性系中的时间也有一个变换公式,把时间和空间的变换一起写出为如下形式

t'=t'(t,x,y,z)x'=x'(t,x,y,z) y'=y'(t,x,y,z)z'=z'(t,x,y,z)

我们假定空间和时间是均匀的,并且空间是各向同性的,因此,两个坐标系之间的变换一定是线性变换。然后假设两个坐标系对应的坐标轴是相互平行的,并且在t=t'=0时,两个坐标系的原点(或者说对应的坐标轴)是重合的,且K'系相对于K系沿着x轴正方向运动,速度为v。由简单的运动学知识可以证明(或者参考俞允强《电动力学简明教程》2007版,第138~140页),y'=y,z'=z,下面我们将这两个坐标略去,只写出t和x坐标的变换为

t'=\gamma (t-\eta x)x'=\gamma (x-vt)

式中,\gamma \eta 均为K'相对于K的速度v的函数。现在考察一个相对于K系静止的钟,设某一时刻它在K系中的时空坐标为(t,x),在K'系中的时空坐标为(t',x');则这个钟的经过dt时间后在K系中的时空坐标为(t+dt,x),在K'系中的时空坐标为(t'+dt',x'-vdt')。将这些时空坐标分别代入①式,可得

dt'=\gamma dt

注意K系和K'系中的时钟是校准的,因此,②式的含义是:若一个惯性系K'相对于一个钟运动的速度为 v,则在K'系中看来,当这个钟的经过时间dt时,K'系中的钟经过了\gamma dt。由于空间时各向同性的,因此②式和钟是向哪个方向运动是无关的,因此\gamma 必定是钟和惯性系K'的相对速度v^{2} 的函数,即\gamma =\gamma (v^{2} )。因此,②式的含义可以改为:如果一个钟做惯性运动,且相对于一个惯性系的速度为v,则在这个惯性系中看,当运动的钟经过时间dt时,这个惯性系中静止的钟经过了时间\gamma (v^{2} )dt

现在反过来,假设在K'系中有一个静止的钟,按照与上面相同的方法,假设这个钟经过dt'时间,则K系的钟经过dt时间,其空间坐标在K系中的变化为dx=vdt,则由①可得

dt=\frac{1}{\gamma (1-\eta v)} dt'

此式的含义是:若一个钟相对于一个惯性系的速度为v,在这个惯性系中看,当运动的钟经过dt' 时间,则惯性系K中静止的钟经过了 \frac{1}{\gamma(v^{2} ) (1-\eta v)} dt'时间。由此可得等式

\gamma (v^{2} )=\frac{1}{\gamma (v^{2} )(1-\eta v)}

由②式可知,\gamma 必定是正的,于是由④式可得到

\gamma (v^{2} )=\frac{1}{\sqrt{1-\eta v} }

(还有另一种方法得到⑤式,首先根据①可以直接求出逆变换;另一方面我们只要对①做变换 x\rightarrow-x'x'\rightarrow-x 也可以得到其逆变换。两个逆变换是相同的,由此也可得到⑤式。)

由于\gamma (v^{2} )是K'相对于K系的速度v的偶函数,因此,\eta (v)必定为v的奇函数,可设

\eta (v)=g(v^{2} )v

于是,⑤式变为

\gamma (v^{2} )=\frac{1}{\sqrt{1-g(v^{2} ) v^{2} } }

现在只剩下一个未知系数\eta (v)=g(v^{2} )v了,接下来我们就来求这个系数。由①式可得,两个惯性系之间的速度变换公式为

u'=\frac{u-v}{1-g(v^{2} )uv}

其中u=\frac{dx}{dt} u'=\frac{dx'}{dt'} 。此式的含义是:如果一个质点相对于K系的速度为u,而K系相对于K'系的速度为 -v,则这个质点相对于K'系的速度为u'。

现在假设空间有三个沿着同一直线运动的质点,质点1相对于质点2的速度为v_{1} ,质点2相对于质点3的速度为v_{2} ,则质点1相对于质点3的速度v_{3}

v_{3} =\frac{v_{1}+v_{2}}{1+g(v_{2}^{2} )v_{1}v_{2}}

质点3相对于质点1的速度v_{3} '

v_{3} '=-\frac{v_{1}+v_{2}}{1+g(v_{1}^{2} )v_{1}v_{2}}

由于v_{3} '=-v_{3} ,由此我们得到

g(v_{1}^{2} )=g(v_{2}^{2} )

一定成立。由于v_{1} v_{2} 是任意的,这说明g(v^{2} )是与相对速度v无关的常数。由⑥式容易看出g(v^{2} )v^{2} 的量纲是1(或者说无量纲),因而,g(v^{2} )的量纲是速度平方的倒数,又因为它是个与相对速度v无关的常数,故可令

g(v^{2} )=\pm \frac{1}{V^{2} }

至此,我们完全确定了坐标变换①式的形式,但需要注意的是,我们并不知道速度常数V的数值。我们得到,两个惯性系的坐标变换分为两种情况:

(1)当⑧取负号时,坐标变换为

t'= \frac{t+\frac{v}{V^{2} } x}{\sqrt{1+\frac{v^{2} }{V^{2} } } } x'= \frac{x-vt}{{\sqrt{1+\frac{v^{2} }{V^{2} } } } }

可以证明,这是一个二维坐标旋转变换,其距离ds^{2} =V^{2} dt^{2}+dx^{2}是不变的。其速度合成公式为

 u'=\frac{u-v}{1+ \frac{uv}{V^{2} } }

u=-v=V时,合成的速度u'=\infty ,这说明两个有限的速度合成了一个无限大的速度,这在物理上是不可能的,所以我们可能会假定这种情况下质点不能以速度V运动。但只要稍加分析就可以证明,质点以大于或者小于速度常数V的速度运动都会出现矛盾,即在这种变换下是不能在物理上定义速度的,这种变换只是一个数学上的变换形式,我们将其舍去。

(2)当⑧式取正号时,坐标变换为

t'= \frac{t-\frac{v}{V^{2} } x}{\sqrt{1-\frac{v^{2} }{V^{2} } } } x'= \frac{x-vt}{{\sqrt{1-\frac{v^{2} }{V^{2} } } } }

这与Lorentz变换的形式是一致的,V是惯性系中的速度极限,只是我们并不知道V的数值是多大,V的数值需要实验来确定。当V为无穷大时,坐标变换为伽利略变换,当V有限的时候,坐标变换为Lorentz变换,此时狭义相对论成立。即狭义相对论成立只要求速度常数(或者说速度极限)V为有限值。

到这里,我们应该已经清楚了光速不变原理的含义,这一原理不过是在说V=c。最后再提一下Maxwell方程,真空中的Maxwell方程为波动方程,按照⑨式可得波动算子经过坐标变换的形式为

可以看到,Maxwell方程并非是天然满足狭义相对性原理的,只有在V=c时波动算子是坐标变换不变的,Maxwell方程才满足狭义相对性原理。即只有在光速不变原理成立时,Maxwell方程才满足狭义相对性原理,但不能说Maxwell方程可以推出光速不变原理,光速不变原理是为了让Maxwell方程满足狭义相对性原理的一种强制要求。

最后指出,当光速不变原理不成立时,Maxwell方程就不满足狭义相对性原理。如果我们要求狭义相对性原理成立,就要修改Maxwell方程了。此时对应的速度极限V>c的情况,在这种情况下电磁波的速度达不到速度极限,光子会有静止质量,有静止质量的电磁场方程是Proca方程,它的形式如下

若用电场强度和磁感应强度表示,其形式为

以上两式中,m_{\gamma } 为光子的静止质量,当它为零时,Proca方程退回到Maxwell方程。如果光子有静止质量,则会出现一些新的现象,比如真空色散效应(真空中不同频率的电磁波速度不同)、库伦势将从\frac{1}{r} 变为\frac{e^{-\lambda r} }{r} 的形式(即汤川势)、电磁矢势不再满足规范变换等等。目前所有关于光子静止质量的测量实验都基于Proca的电磁理论。需要指出的是,由于光子即便有静止质量也是十分微小的,所以当我们的仪器没有探测到相关的效应时,我们并不能说光子的静止质量为零,而是应当说光子静止质量引起的观测效应小于实验仪器的分辨率,据此可以得到一个光子静止质量的上限。目前的光子静质量上限是由华中科技大学的罗俊教授和涂良成教授的实验小组得到的,他们得到的光子静止质量上限为m_{\gamma } <1.5\times 10^{-55} kg。

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

加一个备注,从①推出⑤还有一种更容易理解的方法(当然也可以通过逆变换和对称性得到,在这里不用这种方法)。设在K系中有一个尺子微元,长度为dx,在K'系中测量这个尺子微元时,要求同时测量尺子两端对应的坐标,即此时满足dt'=0,设此时尺子长度为dx',则由①得到

0=\gamma (dt-\eta dx)dx'=\gamma (dx-vdt)

于是我们得到

dx'=\gamma (1-v\eta )dx (1)

这里dx我们称为是尺子的固有长度,即在相对于尺子静止的参考系中测得的尺子的长度。则dx'为在相对于尺子速度为v的参考系中测量的尺子长度,它们之间的关系应该和参考系相对于尺子的运动方向无关,于是(1)式的物理意义变为:固有长度为dx的尺子相对于一个惯性系的速度为v时,在这个惯性系中测得的尺子长度为dx'。

现在假设在K'系中有一个尺子微元,其长度为dx',在K系中测量时应当有dt=0,设在K系中其长度为dx,由①式可得

dx=\frac{1}{\gamma} dx' (2)

(2)式的含义是:固有长度为dx'的尺子相对于惯性系的速度为v时,在惯性系中测得的尺子长度为dx,根据空间的各向同性,式中的\gamma 应该与尺子相对于惯性系运动的方向无关,即\gamma =\gamma (v^{2} )。由(1)和(2)的物理含义可以看出,(1)和(2)中的系数是相等的,即

\frac{1}{\gamma(v^{2} ) } =\gamma (v^{2} )(1-v\eta )

由此可得

\gamma(v^{2} ) =\frac{1}{\sqrt{1-v\eta} }

这就是上面的⑤式。

编辑于 2017-12-11

文章被以下专栏收录