角平分线长与Stewart定理

角平分线长与Stewart定理

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思考

  在\triangle ABC中,\angle 1=\angle 2,请用其它边长表示出AD(即角平分线)的长度。

一个可行的答案

AD=\sqrt{AB\cdot AC-BD\cdot CD}

Stewart定理

  为了证明角平分线长公式,我们需要用到Stewart定理。

  如图,在\triangle ABC中,DBC上一点,有AB^2\cdot CD+AC^2\cdot BD-AD^2\cdot BC=BD\cdot CD\cdot BC

Stewart定理的证明

  证明Stewart定理,我们需要用到余弦定理。

  如图,根据余弦定理可得:\cos\alpha=\frac {AD^2+BD^2-AB^2}{2AD\cdot BD}\\
\cos\beta=\frac {AD^2+CD^2-AC^2}{2AD\cdot CD}

  又因为\beta=\pi-\alpha,所以有:\begin{align}\cos\beta&=\cos(\pi-\alpha)\\
&=\cos\pi\cdot\cos\alpha+\sin\pi\cdot\sin\alpha\\
&=-1\cdot\cos\alpha+0\cdot\sin\alpha\\
&=-\cos\alpha\end{align}

  代入得:\frac {AD^2+BD^2-AB^2}{2AD\cdot BD}=-\frac {AD^2+CD^2-AC^2}{2AD\cdot CD}

  约去2AD得:\frac {AD^2+BD^2-AB^2}{BD}=-\frac {AD^2+CD^2-AC^2}{CD}\\
CD\cdot(AD^2+BD^2-AB^2)=-BD\cdot(AD^2+CD^2-AC^2)\\
CD\cdot AD^2+BD\cdot AD^2+CD\cdot BD^2+BD\cdot CD^2=CD\cdot AB^2+BD\cdot AC^2\\
(CD+BD)\cdot AD^2+BD\cdot CD\cdot(BD+CD)=CD\cdot AB^2+BD\cdot AC^2\\
BD\cdot CD\cdot BC=CD\cdot AB^2+BD\cdot AC^2-BC\cdot AD^2

  得证。

角平分线长公式

  根据角平分线定理2(三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例)及Stewart定理可推知:\begin{align}AD^2&=\frac{CD\cdot AB^2+BD\cdot AC^2}{BC}-BD\cdot CD\\
&=\frac{CD\cdot AB^2+BD\cdot AC^2}{BC}-BD\cdot CD\\
&=\frac{\frac{AC\cdot BD}{AB}\cdot AB^2+\frac{AB\cdot CD}{AC}\cdot AC^2}{BC}-BD\cdot CD\\
&=\frac{AB\cdot AC\cdot (BC+BD)}{BC}-BD\cdot CD\\
&=AB\cdot AC-BD\cdot CD\end{align}

  即:AD=\sqrt{AB\cdot AC-BD\cdot CD}

中线定理

  中线定理是Stewart定理的一种特殊情况。当BD=CD时,我们有:
AD^2=\frac{CD\cdot AB^2+BD\cdot AC^2}{BC}-BD\cdot CD\\
AD^2=\frac{\frac 1 2 BC\cdot (AB^2+AC^2)}{BC}-(\frac 1 2 BC)^2\\
AD^2=\frac 1 2 AB^2+\frac 1 2 AC^2-\frac 1 4 BC^2

  即:AD=\frac 1 2\sqrt{2AB^2+2AC^2-BC^2}

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「乙烯聚乙烯聚氯乙烯,己烷环己烷环氧己烷。」
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