循环小数与费马小定理

循环小数与费马小定理

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背景

  题目出自之前亮灯问题、杨辉三角与Sierpinski三角形提及的生日题中的第三、四、五题。

题目

第三题 证明:对于任意非2, 5倍数正整数n且满足n>1,均存在正整数k, i满足kn=10^i-1
  第四题 证明:k进制下(k>1),任何形如a/ba, b均为正整数)的数均为有限小数或无限循环小数。
  第五题 证明:在上一问条件下,若bk互质则a/b为无限循环小数,若a的质因子为k的质因子的子集则a/b为有限小数。

答案

  既然是证明题,那么就没有标准答案。以下提供一种可行的思路并且再探讨另一个问题:k进制下b/a若循环,那么它的循环节长度len是多少?

  接下来,我们将要分节讨论了。

无限循环小数

  在k进制下,若有数x满足其为0<x<1的纯循环小数(即其循环节从小数点后第1位开始|思考:若为混循环小数或大于1的纯循环小数,有什么办法将其转化求解呢?)且其循环节长度为len,循环节中数字为y,则我们可得x\cdot k^{len}-x=yx\cdot k^{len}相当于将第一个循环节移动到小数点左侧,与x相减就得到循环节中的数字y。整理可得y/(k^{len}-1)=x

  所以,我们可得结论:数x=a/b为无限循环小数的条件为存在整数len, i满足bi=k^{len}-1。这个式子中,k10的情形即第三题的提问。

  思考题答案:若为大于1的纯循环小数,可表示成一个整数与一个01之间纯循环小数的和,因为整数一定能表示成任意整数作分母的分数形式,对小数部分讨论之后将整数部分加上去即可。对于混循环小数,可以乘以k的次幂,将小数点移动到循环节前,按照大于1的纯循环小数处理,最后乘以k的次幂的倒数即可。

费马小定理

  对于质数p,与p互质的整数a,有下式成立:a^{p-1}\equiv 1 \pmod p

  这是接下来将要用到的定理。如何证明?

引理1:对于整数a, b, c与正整数p,若c, p互质,ac\equiv bc \pmod p,则有a\equiv b \pmod p

  证明:
  移项得:\begin{align}ac-bc&\equiv 0 \pmod p\\
(a-b)c&\equiv 0 \pmod p\end{align}
  因为c, p互质,所以有:\begin{align}a-b&\equiv 0\pmod p\\
a&\equiv b\pmod p\end{align}

引理2:对于整数p满足p>1,与p互质的整数b以及模p的完全剩余系a_1, a_2, .. ,a_m,有ba_1, ba_2, .. ,ba_m构成模p的完全剩余系。

  证明:
  若其不构成模p的完全剩余系,则有ba_i\equiv ba_j \pmod p成立,由引理1得,有a_i \equiv a_j \pmod p成立,与条件不符,因此ba_i\equiv ba_j \pmod p不成立,则ba_1, ba_2, .. ,ba_m构成模p的完全剩余系。

费马小定理

  构造模p下的完全剩余系{0, 1, 2, .. , p-1},由引理2{0, a , 2a, .. , (p-1)a}也为模p下的完全剩余系。可得1\times 2\times .. \times (p-1)\equiv a\times 2a\times .. \times (p-1)a \pmod p成立。则有(p-1)!\equiv a^{p-1}(p-1)! \pmod p成立。因为p为质数,所以(p-1)!p互质,根据引理11\equiv a^{p-1}\pmod p成立。

两者之间的关系

  之前提及,数x=a/b为无限循环小数的条件为存在整数len, i满足bi=k^{len}-1。而费马小定理则告诉我们,对于质数p,与p互质的整数a,有a^{p-1}\equiv 1 \pmod p。当b为质数,a=k时显然有k^{b-1}-1\equiv 0 \pmod b,也就是说,存在整数len, i满足条件。

  但是当b不为质数但与k互质时怎么办?不妨将b分解质因数,令b=p_1^{q_1}\times p_2^{q_2} \times .. \times p_n^{q_n}(此处翻车),根据欧拉定理(在b, p互质下有p^{\varphi(b)}\equiv 1\pmod b),则分别有k^{\varphi(p_i^{q_i})} \equiv 1 \pmod {p_i^{q_i}}成立,其中1\leq i \leq n。可知有k^{c(p_i-1)p_i^{q_i-1}} \equiv 1 \pmod {p_i^{q_i-1}}成立。别忘了欧拉函数是积性函数,所以有下式成立:k^{\frac{[(p_1-1)p_1^{q_1-1}][(p_2-1)p_2^{q_2-1}]..[(p_n-1)p_n^{q_n-1}]}{gcd[(p_1-1)p_1^{q_1-1}, (p_2-1)p_2^{q_2-1}, .. , (p_n-1)p_n^{q_n-1}]}}\equiv 1 \pmod b

  即:k^{\frac{\varphi(p_1^{q_1})\varphi(p_2^{q_2}).. \varphi(p_n^{q_n})}{gcd[
\varphi(p_1^{q_1}),\varphi(p_2^{q_2}), .. , \varphi(p_n^{q_n})]}}\equiv 1 \pmod b

  并且由于积性函数,我们有:\varphi(b) \equiv 0 \pmod {\frac{\varphi(p_1^{q_1})\varphi(p_2^{q_2}).. \varphi(p_n^{q_n})}{gcd[
\varphi(p_1^{q_1}),\varphi(p_2^{q_2}), .. , \varphi(p_n^{q_n})]}}

  所以大多数情况下(bk互质)时循环节长度最小值len能被\varphi(b)整除。

  而对于bk不互质的情况,我们要分类讨论。若b的质因数为k的质因数的子集,那么a/b乘以k的次幂一定可以得到一个整数,则a/b为有限小数。若不为子集,则我们将a/b乘以k的次幂,消除交集部分质因数的影响,转为bk互质的情况继续讨论。这其实与之前思考题的解决方法一致。通过分类讨论,我们可以解决第四题与第五题。

  所以,将k=10代入,我们可以证得第三题(对于任意非2, 5倍数正整数n且满足n>1,均存在正整数k, i满足kn=10^i-1。)成立。

结论

  在k进制下,形如a/ba, b均为整数)的分数(最简形式),若bk互质,则a/b为纯循环小数。若b质因数与k质因数有交集且b质因数不为k质因数子集,则a/b为混循环小数。否则若b质因数为k质因数的子集,a/b为有限小数。

  当a/b为循环小数时,在大多数情况下其循环节长度len=\frac{\varphi(b)}{gcd[
\varphi(p_1^{q_1}),\varphi(p_2^{q_2}), .. , \varphi(p_n^{q_n})]}。不难发现有len\leq (b-1)且当b为质数时len取到b-1

感谢

  感谢帕秋莉发现翻车了并及时指出。(天哪我好菜啊.jpg)

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  本人才疏学浅,难免有错漏之处,请于评论区指正,谢谢。←(这句话用处还是非常大的)

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