「费马 - 帕斯卡系统」:没能玩到底的赌局,怎么公平地分配赌注?

查理.芒格的《穷查理宝典》,通过成甲老师的推荐和宣传,被大众熟知,并产生兴趣。

前几天,我读了其中的一篇,是查理.芒格谈「基本的、普世的是智慧和商业的关系」。上线几天后,都没有听众打分,更没有留言或反馈了。我又看了一遍文字,没人关注的原因,我猜可能是:「不够精细」。

《穷查理宝典》的内容都是查理在各种场合的演讲内容的合辑。因为他很忙,同时他不太愿意用写书的形式来表达自己的思想,所以有人专门把他的演讲收集起来,汇成这本书。这也就是为什么,书中有很多概念、语句不是那么好懂,多是略略提起,没有展开就过去了。

于是,我想把这篇演讲中提到的一些概念,事例等找到,并且仔细看看,列在这里。各位如果有兴趣的话,可以跟着看看。

1、费马 - 帕斯卡的系统,与世界运转的方式惊人地一致。它是基本的公理。所以你真的必须得拥有这种技巧。

...大脑的神经系统是经过长期的基因和文化进化而来的。它并不是费马 - 帕斯卡的系统。它使用的是非常粗略而便捷的估算。在它里面有费马- 帕斯卡系统的元素。但是,它不好用。所以你们必须掌握这种非常基础的数学知识,并在生活中经常使用它...

费马 - 帕斯卡的系统


帕斯卡



费马

当时,有人提出这样一个情境:假设有两个赌徒,每一盘里,他俩的赢的机会相等。有一天,他俩各拿出相同金额的钱作为赌注,约定谁先赢到某个(假设是10)盘数,赌注就全部归谁。不料,这时发生了某事,他们必须结束赌局并离开。此时,两个人谁也没赢到10盘,那么这个赌注的钱应该怎么分呢?当然,此时赢得多的人应该相应地拿的赌注多。可是,多少才算是公平呢?

当时有两种说法:

1、有人提出用按比例来分赌注。比如,当时比分是8 - 5,那么一个拿赌注的8/13,另一个人则拿赌注的5/13。


2、另外有人对上面的办法提出质疑,如果赌徒要离开时只玩了一盘,比分是1 - 0,那么赢了1盘的人就要拿走全部赌注了啊。很明显是不公平的啊!反驳的同时,这个人也提出了自己的办法,那就是以两人比分的差距和游戏的总盘数的比率来分配赌注。这个办法也不太靠谱,如果是比分65 - 55和 99 - 89的话,分配方式是一样的。可是,65 - 55 的情况中,如果继续玩下去,翻盘的几率很大啊。还是不公平。

后来,费马和帕斯卡通过书信的形式讨论这个问题。他们一致认为,不应该按已经完成的赌局盘数来计算赌注分配,而是应该把目光放在赌局中断时,后面应该继续进行的盘数上。总数10盘的 7 - 5 和总数20盘的 17 - 15,领先的赌徒最终的赢的机会是一样的。所以,已经完成的盘数不重要,重要的是赌徒们如果要最终赢得赌局,需要去完成的盘数。

费马的计算

费马假设:费马和帕斯卡一起玩一个抛硬币的游戏,每一次「头」(head)和「尾」(tail)的机会一样大。两人各出50法郎,凑成一共100法郎做赌注。两人谁先赢10盘,谁就拿走100法郎。抛出的硬币,如果是「头」,就是费马赢,记为「h」;如果是「尾」,就是帕斯卡赢,记为「t」。

当赌局进行到 8 - 7、费马领先的时候,这个赌局因为一些突发状况,必须结束,且两人都要离开。100法郎该怎么分,才算公平呢?

费马认为,假设两个赌徒各还需要 r 局和 s 局就能赢得最后赌注,那么赌局还需要进行 r + s - 1 局就能得出胜负。这样的话,每局都有2种可能的结果 —— 费马赢或帕斯卡赢,那就还需要2+3-1=4局才能得出胜负,进而这4局就有2的(2+3-1)次方,也就是16种不同的结果:

费马赢: 帕斯卡赢:

1、hhhhtttt tttt

2、hhhtttth ttth

3、hhthttht ttht

4、hthhthtt thtt

5、thhhhttt httt

6、tthh

7、thth

8、thht

9、htth

10、htht

11、hhtt

费马赢的情况有11种,那么概率是11/16=68.75%。相应地,最终离开时,费马应该拿100法郎 X 68.75%=68.75法郎。

帕斯卡三角

帕斯卡发现,可以用他发现的「帕斯卡三角」来解「赌注分配问题」。



这个三角形的「塔尖」是一个「1」,这一行称为「0」行。下面依次是1、2、3、4、5、6...行。每一行的左右两边数字都是1,每行里的数字是它上面两个数字之和。

我们回到费马和帕斯卡那个抛硬币的赌局里。8 - 7,刚才说了,还需要4盘才能决出胜负。好,我们看上图中的第4行,「1,4,6,4,1」。

这里有一点需要注意的是:费马现在赢了8局,再赢2局就可以赢得整个赌局。那么前两个数字「1,4」就代表了帕斯卡赢的概率;同样的,帕斯卡再赢3局就能赢,那么「6,4,1」则代表了费马赢的概率。



前面算过,最后4盘有16种不同的结果,正好是「1+4+6+4+1=16」。费马赢的概率:6+4+1=11,11/16=68.75%。这个结果和费马的一致。

帕斯卡的三角计算法,好处是省事儿。你想想,如果每次计算都像费马那样,把可能的结果一一列出,16个结果还好说,要是数字再大些呢?

如果你没有把这个基本的,但有些不那么自然的基础数学概率方法变成你生活的一部分,那么在漫长的人生中,你们将会像一个踢屁股比赛中的独腿人。这等于将巨大的优势拱手送给了他人。

—— 查理.芒格

赌博的概率

今天在网上找资料的时候,还看到了一个和费马、帕斯卡、赌博有关的小故事:

17世纪的法国,有个赌徒叫Antoine Gombaud,他除了好赌,还挺好学,自己研究概率。那时候,他们玩的是两个骰子同时掷出数字6。antoine就想,掷一个骰子4次,掷出数字6的概率是多少?每一次掷出6的概率是1/6,六分之一,那么4次的话,概率就是4/6,六分之四。

好,antoine接着思考,现在我掷两个骰子24次,掷出两个6的概率又是多少呢?每一次,掷出一个6的概率是1/6,那么掷出两个6的概率就是1/6 乘以1/6,等于1/36,三十六分之一。我掷24次,那就24乘以1/36,还是得4/6,概率达到67%呢!

对自己的计算结果深信不疑的antoine一头钻进了赌场。当他红着眼睛,看着自己的钱都被别人收入囊中,他意识到,可能自己的计算出了点问题。他找到了当时有名的物理学家帕斯卡求教。

帕斯卡那时也是声名鹊起的人物,可是遇到这个问题也是有点懵。于是,他把费马也拉了进来,和他一起讨论。俩人商量来商量去,最后发现,这个问题的关键在于:找出「掷不出一个6或两个6的概率」。

第一种掷一个6的情形:

一共掷4次,总共有6x6x6x6=1296种结果。

每一次,掷出「没有6的情形」有5种,4次总共有5x5x5x5=625种。

那么,输的概率就是625/1296=48.22%。说明赢的概率很大啊。

第二种掷两个6的情形:

掷每一次,有36种结果。一共掷24次,总共是36的24次方,等于22,452,257,707,350,000,000,000,000,000,000,000,000。

36种结果里,不是两个6的情形有35种,一共掷24次,总共是35的24次方,等于11,419,131,242,070,000,000,000,000,000,000,000,000。

后面的除以前面的,等于50.8%,这是输的概率,大于一半了。

所以,antoine一直用一个骰子掷6的概率去玩儿两个骰子掷6的赌局,不输等啥呢!

发布于 2017-05-30