Softmax函数与交叉熵

Softmax函数

背景与定义

在Logistic regression二分类问题中,我们可以使用sigmoid函数将输入Wx + b映射到(0, 1)区间中,从而得到属于某个类别的概率。将这个问题进行泛化,推广到多分类问题中,我们可以使用softmax函数,对输出的值归一化为概率值。

这里假设在进入softmax函数之前,已经有模型输出C值,其中C是要预测的类别数,模型可以是全连接网络的输出a,其输出个数为C,即输出为a_{1}, a_{2}, ..., a_{C}

所以对每个样本,它属于类别i的概率为:

y_{i} = \frac{e^{a_i}}{\sum_{k=1}^{C}e^{a_k}} \ \ \ \forall i \in 1...C

通过上式可以保证\sum_{i=1}^{C}y_i = 1,即属于各个类别的概率和为1。

导数

对softmax函数进行求导,即求

\frac{\partial{y_{i}}}{\partial{a_{j}}}

i项的输出对第j项输入的偏导。
代入softmax函数表达式,可以得到:

\frac{\partial{y_{i}}}{\partial{a_{j}}} = \frac{\partial{ \frac{e^{a_i}}{\sum_{k=1}^{C}e^{a_k}} }}{\partial{a_{j}}}

用我们高中就知道的求导规则:对于

f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}

它的导数为

f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}

所以在我们这个例子中,

g(x) = e^{a_i} \\ h(x) = \sum_{k=1}^{C}e^{a_k}

上面两个式子只是代表直接进行替换,而非真的等式。

e^{a_i}(即g(x))对a_j进行求导,要分情况讨论:

  1. 如果i = j,则求导结果为e^{a_i}
  2. 如果i \ne j,则求导结果为0

再来看\sum_{k=1}^{C}e^{a_k}a_j求导,结果为e^{a_j}

所以,当i = j时:

\frac{\partial{y_{i}}}{\partial{a_{j}}} = \frac{\partial{ \frac{e^{a_i}}{\sum_{k=1}^{C}e^{a_k}} }}{\partial{a_{j}}}= \frac{ e^{a_i}\Sigma - e^{a_i}e^{a_j}}{\Sigma^2}=\frac{e^{a_i}}{\Sigma}\frac{\Sigma - e^{a_j}}{\Sigma}=y_i(1 - y_j)

i \ne j时:

\frac{\partial{y_{i}}}{\partial{a_{j}}} = \frac{\partial{ \frac{e^{a_i}}{\sum_{k=1}^{C}e^{a_k}} }}{\partial{a_{j}}}= \frac{ 0 - e^{a_i}e^{a_j}}{\Sigma^2}=-\frac{e^{a_i}}{\Sigma}\frac{e^{a_j}}{\Sigma}=-y_iy_j

其中,为了方便,令\Sigma = \sum_{k=1}^{C}e^{a_k}

对softmax函数的求导,我在两年前微信校招面试基础研究岗位一面的时候,就遇到过,这个属于比较基础的问题。

softmax的计算与数值稳定性

在Python中,softmax函数为:

def softmax(x):
    exp_x = np.exp(x)
    return exp_x / np.sum(exp_x)

传入[1, 2, 3, 4, 5]的向量

>>> softmax([1, 2, 3, 4, 5])
array([ 0.01165623,  0.03168492,  0.08612854,  0.23412166,  0.63640865])

但如果输入值较大时:

>>> softmax([1000, 2000, 3000, 4000, 5000])
array([ nan,  nan,  nan,  nan,  nan])

这是因为在求exp(x)时候溢出了:

import math
math.exp(1000)
# Traceback (most recent call last):
#   File "<stdin>", line 1, in <module>
# OverflowError: math range error

一种简单有效避免该问题的方法就是让exp(x)中的x值不要那么大或那么小,在softmax函数的分式上下分别乘以一个非零常数:

y_{i} = \frac{e^{a_i}}{\sum_{k=1}^{C}e^{a_k}}= \frac{Ee^{a_i}}{\sum_{k=1}^{C}Ee^{a_k}}= \frac{e^{a_i+log(E)}}{\sum_{k=1}^{C}e^{a_k+log(E)}}= \frac{e^{a_i+F}}{\sum_{k=1}^{C}e^{a_k+F}}

这里log(E)是个常数,所以可以令它等于F。加上常数F之后,等式与原来还是相等的,所以我们可以考虑怎么选取常数F。我们的想法是让所有的输入在0附近,这样e^{a_i}的值不会太大,所以可以让F的值为:

F = -max(a_1, a_2, ..., a_C)

这样子将所有的输入平移到0附近(当然需要假设所有输入之间的数值上较为接近),同时,除了最大值,其他输入值都被平移成负数,e为底的指数函数,越小越接近0,这种方式比得到nan的结果更好。

def softmax(x):
    shift_x = x - np.max(x)
    exp_x = np.exp(shift_x)
    return exp_x / np.sum(exp_x)

>>> softmax([1000, 2000, 3000, 4000, 5000])
array([ 0.,  0.,  0.,  0.,  1.])

当然这种做法也不是最完美的,因为softmax函数不可能产生0值,但这总比出现nan的结果好,并且真实的结果也是非常接近0的。


UPDATE(2017-07-07):

有同学问这种近似会不会影响计算结果,为了看原来的softmax函数计算结果怎么样,尝试计算`softmax([1000, 2000, 3000, 4000, 5000])`的值。由于numpy是会溢出的,所以使用Python中的bigfloat库。

import bigfloat

def softmax_bf(x):
	exp_x = [bigfloat.exp(y) for y in x]
	sum_x = sum(exp_x)
	return [y / sum_x for y in exp_x]

res = softmax_bf([1000, 2000, 3000, 4000, 5000])
print('[%s]' % ', '.join([str(x) for x in res]))

结果:

[6.6385371046556741e-1738, 1.3078390189212505e-1303, 2.5765358729611501e-869, 5.0759588975494576e-435, 1.0000000000000000]

可以看出,虽然前四项结果的量级不一样,但都是无限接近于0,所以加了一个常数的softmax对原来的结果影响很小。


Loss function

对数似然函数

机器学习里面,对模型的训练都是对Loss function进行优化,在分类问题中,我们一般使用最大似然估计(Maximum likelihood estimation)来构造损失函数。对于输入的x,其对应的类标签为t,我们的目标是找到这样的\theta使得p(t|x)最大。在二分类的问题中,我们有:

p(t|x) = (y)^t(1-y)^{1-t}

其中,y = f(x)是模型预测的概率值,t是样本对应的类标签。

将问题泛化为更一般的情况,多分类问题:

p(t|x) = \prod_{i=1}^{C}P(t_i|x)^{t_i} = \prod_{i=1}^{C}y_i^{t_i}

由于连乘可能导致最终结果接近0的问题,一般对似然函数取对数的负数,变成最小化对数似然函数。

-log\ p(t|x) = -log \prod_{i=1}^{C}y_i^{t_i} = -\sum_{i = i}^{C} t_{i} log(y_{i})

交叉熵

说交叉熵之前先介绍相对熵,相对熵又称为KL散度(Kullback-Leibler Divergence),用来衡量两个分布之间的距离,记为D_{KL}(p||q)

\begin{split}D_{KL}(p||q) &= \sum_{x \in X} p(x) log \frac{p(x)}{q(x)} \\& =\sum_{x \in X}p(x)log \ p(x) - \sum_{x \in X}p(x)log \ q(x) \\& =-H(p) - \sum_{x \in X}p(x)log\ q(x)\end{split}

这里H(p)p的熵。

假设有两个分布pq,它们在给定样本集上的交叉熵定义为:

CE(p, q) = -\sum_{x \in X}p(x)log\ q(x) = H(p) + D_{KL}(p||q)

从这里可以看出,交叉熵和相对熵相差了H(p),而当p已知的时候,H(p)是个常数,所以交叉熵和相对熵在这里是等价的,反映了分布pq之间的相似程度。关于熵与交叉熵等概念,可以参考该博客再做了解。

回到我们多分类的问题上,真实的类标签可以看作是分布,对某个样本属于哪个类别可以用One-hot的编码方式,是一个维度为C的向量,比如在5个类别的分类中,[0, 1, 0, 0, 0]表示该样本属于第二个类,其概率值为1。我们把真实的类标签分布记为p,该分布中,t_i = 1i属于它的真实类别c。同时,分类模型经过softmax函数之后,也是一个概率分布,因为\sum_{i = 1}^{C}{y_i} = 1,所以我们把模型的输出的分布记为q,它也是一个维度为C的向量,如[0.1, 0.8, 0.05, 0.05, 0]。
对一个样本来说,真实类标签分布与模型预测的类标签分布可以用交叉熵来表示:

l_{CE} = -\sum_{i = 1}^{C}t_i log(y_i)

可以看出,该等式于上面对数似然函数的形式一样!

最终,对所有的样本,我们有以下loss function:

L = -\sum_{k = 1}^{n}\sum_{i = 1}^{C}t_{ki} log(y_{ki})

其中t_{ki}是样本k属于类别i的概率,y_{ki}是模型对样本k预测为属于类别i的概率。

Loss function求导

对单个样本来说,loss functionl_{CE}对输入a_j的导数为:

\frac{\partial l_{CE}}{\partial a_j} = -\sum_{i = 1}^{C}\frac {\partial t_i log(y_i)}{\partial{a_j}} = -\sum_{i = 1}^{C}t_i \frac {\partial log(y_i)}{\partial{a_j}} = -\sum_{i = 1}^{C}t_i \frac{1}{y_i}\frac{\partial y_i}{\partial a_j}

上面对\frac{\partial{y_{i}}}{\partial{a_{j}}}求导结果已经算出:

i = j时:\frac{\partial{y_{i}}}{\partial{a_{j}}} = y_i(1 - y_j)

i \ne j时:\frac{\partial{y_{i}}}{\partial{a_{j}}} = -y_iy_j

所以,将求导结果代入上式:

\begin{split}-\sum_{i = 1}^{C}t_i \frac{1}{y_i}\frac{\partial y_i}{\partial a_j}&= -\frac{t_i}{y_i}\frac{\partial y_i}{\partial a_i} - \sum_{i \ne j}^{C} \frac{t_i}{y_i}\frac{\partial y_i}{\partial a_j} \\& = -\frac{t_j}{y_i}y_i(1 - y_j) - \sum_{i \ne j}^{C} \frac{t_i}{y_i}(-y_iy_j) \\& = -t_j + t_jy_j + \sum_{i \ne j}^{C}t_iy_j = -t_j + \sum_{i = 1}^{C}t_iy_j \\& = -t_j + y_j\sum_{i = 1}^{C}t_i = y_j - t_j\end{split}

TensorFlow

方法1:手动实现(不建议使用)

在TensorFlow中,已经有实现好softmax函数,所以我们可以自己构造交叉熵损失函数:

import tensorflow as tf
import input_data

x = tf.placeholder("float", shape=[None, 784])
label = tf.placeholder("float", shape=[None, 10])

w_fc1 = tf.Variable(tf.truncated_normal([784, 1024], stddev=0.1))
b_fc1 = tf.Variable(tf.constant(0.1, shape=[1024]))
h_fc1 = tf.matmul(x, w_fc1) + b_fc1

w_fc2 = tf.Variable(tf.truncated_normal([1024, 10], stddev=0.1))
b_fc2 = tf.Variable(tf.constant(0.1, shape=[10]))
y = tf.nn.softmax(tf.matmul(h_fc1, w_fc2) + b_fc2)

cross_entropy = -tf.reduce_sum(label * tf.log(y))

cross_entropy = -tf.reduce_sum(label * tf.log(y))是交叉熵的实现。先对所有的输出用softmax进行转换为概率值,再套用交叉熵的公式。

方法2:使用tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits(推荐使用)

import tensorflow as tf
import input_data

x = tf.placeholder("float", shape=[None, 784])
label = tf.placeholder("float", shape=[None, 10])

w_fc1 = tf.Variable(tf.truncated_normal([784, 1024], stddev=0.1))
b_fc1 = tf.Variable(tf.constant(0.1, shape=[1024]))
h_fc1 = tf.matmul(x, w_fc1) + b_fc1

w_fc2 = tf.Variable(tf.truncated_normal([1024, 10], stddev=0.1))
b_fc2 = tf.Variable(tf.constant(0.1, shape=[10]))
y = tf.matmul(h_fc1, w_fc2) + b_fc2

cross_entropy = -tf.reduce_sum(tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits(labels=label, logits=y))

TensorFlow已经实现好函数,用来计算label和logits的softmax交叉熵。注意,该函数的参数logits在函数内会用softmax进行处理,所以传进来时不能是softmax的输出了。

区别

既然我们可以自己实现交叉熵的损失函数,为什么TensorFlow还要再实现tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits函数呢?

这个问题在Stack overflow上已经有Google的人出来回答(传送门),原话是:

If you want to do optimization to minimize the cross entropy, AND you’re softmaxing after your last layer, you should use tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits instead of doing it yourself, because it covers numerically unstable corner cases in the mathematically right way. Otherwise, you’ll end up hacking it by adding little epsilons here and there.

也就是说,方法1自己实现的方法会有在前文说的数值不稳定的问题,需要自己在softmax函数里面加些trick。所以官方推荐如果使用的loss function是最小化交叉熵,并且,最后一层是要经过softmax函数处理,则最好使用tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits函数,因为它会帮你处理数值不稳定的问题。

总结

全文到此就要结束了,可以看到,前面介绍这么多概念,其实只是为了解释在具体实现时候要做什么样的选择。可能会觉得有些小题大做,但对于NN这个黑盒子来说,我们现暂不能从理论上证明其有效性,那在工程实现上,我们不能再将它当作黑盒子来使用。

Reference

The Softmax function and its derivative Peter’s Notes CS231n Convolutional Neural Networks for Visual Recognition cs229.stanford.edu/note 交叉熵(Cross-Entropy) - rtygbwwwerr的专栏 - 博客频道 - CSDN.NET difference between tensorflow tf.nn.softmax and tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits

文章同时发在CSDN上:blog.csdn.net/behamcheu#

编辑于 2017-10-08