王者荣耀!级数、极限和泰勒公式三大王 桃园三结义 搞事情啊!!!

王者荣耀!级数、极限和泰勒公式三大王 桃园三结义 搞事情啊!!!

各位看官,看到题目后,莫慌莫慌!

凡是参加考研的学生,想必大伙儿都对泰勒公式是爱恨交加,爱他,是因为他在求极限时可以提高精确度,有些求极限题目借助泰勒公式可以快速搞定,恨他,是因为他的衍生公式太多、太长、难记,一背就头疼,因此经常有同学调侃说:泰勒公式,真的是太累公式啊!



泰勒公式这个大王 既然都挺难啃,更何况又加上级数和极限这两大个大王,三个大王搞在一起,这不是难上加难吗???

No,no,no! it is a bias!

想想看,你是习武的考生,这三小伙就是你手里的工具武器,如果你用顺手了,让他们桃园三结义后,一起来搞起事情,那可是能直接手刃考研真题,进军985名校,学习前沿科技,勇闯世界500强,在天地间创造一番大事业的呀!


想想都挺激动的呢~要想让事物的发展趋势真是这样,那就跟着宝刀君快乐的看今天的文章吧!

(一)比较审敛法和极限理论结合

在之前的文章茫茫级数中,我怎么知道自己是不是收敛的? 中,宝刀君给出了级数的引入,以及介绍了正项级数的比较审敛法比较审敛法的极限形式,在这一节里,宝刀君将带领大家继续深入推进,再次探一探比较审敛法的究竟。


比较审敛法的核心思想是:借助已知“敛散性的级数”,通过比较,从而得知自身的敛散性,这种方法看似复杂了,因为你需要找个参照物和别人进行比较,既然涉及到“别人”,免不了各种人情求面子,有些费事呀!要知道,这世上最难的事就是看别人脸色呀~

虽然如此,但是比较审敛法也有它的方便之处,因为它可以和求极限的理论结合起来,比如说下面这三道题:


(二)例题1的解答

诺,这是个正项级数,怎么解呢?


如果你在极限部分学得好的话,那么在看到这道题时,就可以快速的大喝一声:小子嗳,你是发散的!


因为根据比较判别法的极限形式,你和1/n是等价无穷小,你和调和级数具有相同的敛散性!


(三)例题2的解答

好家伙,又来一个正项级数,同样的道理,我和极限理论结合起来。


狗减sin狗,我早就背熟了,狗减sin狗等于六分之一狗的立方,三个狗要一模一样。你们俩一比是1/6,那么根据比较判别法的极限形式,你和1/(n^3)是同阶无穷小,你们俩具有相同的敛散性! 而1/(n^3)是个P级数,P大于1,那么显然,你是收敛的!!!


(四)前两道题的启示

这两道题给我们什么样的启示呢?


当你抛给我一个级数,当我可以借助P级数来比较的话,你这个正项级数是收敛还是发散,我只需要看你这个正项级数的通项Un到底是1/n的几阶无穷小!!!


若是1阶无穷小,那我马上就可以知道Un是发散的,因为调和级数是发散的.


若是2阶无穷小、3阶无穷小、4阶无穷小…K阶无穷小只要这个K大于1,我可以立即得出Un是收敛的因为P级数中当P大于1时,它就是收敛的!


妙哉妙哉!发现这个启示,这感觉真爽~

继续往下思考,延伸>>>>>>>>>>>>>>>>>>

上面这两道题比较特殊,因为给的是具体的级数,所以我能很快的用极限对应出来,但如果这个级数的通项是一个抽象的形式,也就是不给你一个具体的级数,比如说,就给你一个抽象的函数f(1/n),这时让你去证明,去判别,你怎么办?

What will you do?

受到刚才的启发,我只需要判断它是1/n的几阶无穷小!


那么,给我一个函数,我就能知道它到底是x的几阶无穷小,这是通过什么工具知道的呢?

答案是:泰勒公式


泰勒自语道:终于轮到老夫出场了!!!


我将函数f(x)在x=0处展开,我就看把你展开到几次幂的时候,你f(0)的一阶导数、二阶导数、三阶导数哪个系数不为0 ,我就知道你这个f(x)是几阶无穷小!



给我一个抽象函数,我在0点展开,只要我能判断出来f(0)的一阶导数不等于0,那我就可以下结论说:你f(1/n)与1/n是同阶无穷小,发散!

同样的道理,如果f(0)的一阶导数等于0,那就意味着你f(1/n)可以展开到1/(n^2)这一项,那此时就可以说f(1/n)与1/(n^2)是同阶无穷小,而1/(n^2)是P级数,P大于1,收敛!



至此,桃园三结义饮酒宣誓完毕!



或许有人会问:宝刀君,你瞎BB这么多,考试考这个吗?


回复:宝刀君不会像某些考研数学名师躲开大纲考点不讲,相反,我会将必考的、以前考的、将来可能要考的,全部打包,工工整整,清清楚楚的讲给你,用宝刀君崇拜的汤神的话来讲,就是说我要把知识点清爽的呈现给你!




(五)例题3及其解析

在已考的数学真题中,是出现过这三大王并肩作战的,比如说1994年数学一这道题,虽然年代久远,但是 历史存在的意义 就在于启发后人,让我们有所借鉴!


这个题呀,乍一看,是个抽象函数,你无法用比值判别法、根植判别法,只能是往根源上:比较判别法上去想了。


把函数的通项拿出来,通过极限形式,看你f(0)的几阶导数不为0,与谁构成同阶无穷小?

解答过程如下:




(六)总结

比较判别法是借助他人,借助一个已知敛散性的级数进行比较,从而得出自身级数的敛散性,刚开始学习时,我们找的这个“别人”比较具体,就是等比级数、P级数。如果难度再提高一些,如果它不借助等比级数、P级数,它怎么跟别人比呢?怎么构造参照物?

答案是:自己构造!(这个内容就有些复杂了,后期再展开继续讲)


比较判别法的难处就在于你需要自己构造出不等式出来!(联想不等式、绝对值不等式、三角函数有界往往可以朝着不等式上靠拢……)


从另一方面来看,为了判断正项级数的敛散性,前辈们先是提出了比较审敛法(比较判别法),是借助“别人”比较的,但总是求助于别人,看别人脸色,也不是长久之计啊!所以呢,前辈大牛们又搞出了其他的判别法:比值判别法、根植判别法,我不跟别人玩啦,我就自己抽出来两项,自己跟自己比,自己搞,丰衣足食!关于这2个判别法,咱们下回再聊~



PS:片尾,宝刀君附上旧版三国演义电视剧的片尾曲:滚滚长江东逝水的 歌词,其实这首词是明代官员 杨慎 被贬之后写的,全词意境高远,读来荡气回肠,作者试图在历史长河的奔腾与沉淀中探索永恒的价值,成败得失之间寻找深刻的人生哲理,有历史兴衰之感,更有人生沉浮之慨,体现出一种高洁的情操、旷达的胸怀。

做人呐,不可缺少的一个品质就是豁达!!!


遥想求学时,宝刀君 在高二刚开始阅读 当年明月 的历史小说《明朝那些事儿》时,就已被这首词所震撼,尤其是当你结合诗词作者的生平历程来看时,对这首词的感受会更有震撼力.


临江仙·滚滚长江东逝水

【作者】杨慎 【朝代】明


滚滚长江东逝水,浪花淘尽英雄。
是非成败转头空。
青山依旧在,几度夕阳红。
白发渔樵江渚上,惯看秋月春风。
一壶浊酒喜相逢。
古今多少事,都付笑谈中。



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编辑于 2017-07-04