增强学习入门7——差分时序法
本文收录在无痛的机器学习第二季目录。
前言
这个系列是我和InfoQ合作的《无痛的增强学习入门》系列，现转载到知乎专栏中。首发地址在：无痛的增强学习入门：差分时序法 ，欢迎围观。
7.1 蒙特卡罗的方差问题
上一节我们介绍了蒙特卡罗法，它可以比较好地解决无模型场景下的蛇棋问题。当然，它也存在着一定的不完美，这些不完美体现在很多方面，接下来我们就来看一看其中的一个问题——估计值的方差问题。
前面我们已经知道，蒙特卡罗是用一系列的模拟游戏得到一些episode的回报信息，然后用这些回报信息求平均，就可以得到估计的价值函数。这个方法从理论上讲是没有问题的，它能够成立的根本在于概率论中的大数定理。大数定理也是没有问题的，可是大数定理只说明了收敛性，并没有说明收敛的速度。很显然，如果采样序列的方差比较大，那么想要让它收敛就需要更长的时间，如果采样序列的方差较小，那么收敛的速度也会相应地降低。
基于上面的分析，我们就来看看前面的蒙特卡罗法存不存在方差方面的问题。我们用上一节的方法进行计算，同时保存state=50,action=1的return值，将所有的值综合起来做成一个直方图，如图7-1所示。
图 7-1 蒙特卡罗法every-visit的return收集直方图
可以看出，return的跨度还是比较大，这样模型就不太容易收敛。
当然，跨度大和其他问题也有关系，其中一个关系就是episode中的采样频率。上一节采用的方法叫做"every-viist"，也就是说episode中的每一个state-action对都会参与到计算当中，这样就为统计带来了困难。因为在蛇棋这个游戏中，由于有梯子的存在，某一个位置可能被走过两次。比方说例子中的位置“50”，我们在计算的过程中没有区分第一次到达“50”和第二次到达“50”，而且将这两个return直接加在了一起，由于这两次的return一定有差异，因此这样的统计方式会让方差增大，从而难以收敛。
那么该如何应对这个问题呢？一个解决方案是把"every-visit"方法换掉，改成"first-visit"法。所谓的"first-visit"法就是只统计第一次出现的状态，对于后面出现的同一状态则不再统计。从方法的理念来说，同一个episode内因多次出现同一状态而造成方差增大的问题将得到解决。下面就来看看"first-visit"的结果：
图7-2 蒙特卡罗法first-visit的return收集直方图
从结果来看，first-visit的效果稍有提高，但是并没有明显的提高。因为即使只取一个不重复的状态，我们仍然会遇到不同情况的first-visit，每种之间的数值差距依旧很大。
既然蒙特卡罗法存在着这样一些遗憾，那么我们就来看看接下来介绍的方法：差分时序法（Temporal Difference）。
7.2 差分时序
差分时序法是一种结合了蒙特卡罗法和动态规划法的方法。从算法的主体结构来看，它同蒙特卡罗法类似，同样通过模拟episode的方式进行求解；从算法的核心思想来说，它有用到了增强学习中的经典公式——Bellman公式进行自迭代更新。
前面提到状态-行动价值函数的Bellman公式的形式为：
q(s,a)=\sum_{s'}p(s'|s,a)[R + \sum_{a'} \pi(a|s')q(s',a')]
那么利用蒙特卡罗的方法，我们就可以将公式变为：
q(s,a)=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [R(s'_i)+q(s'_i,a'_i)]
当然，这个公式还可以变成前面蒙特卡罗法中实际应用的形式：
q_t(s,a)=q_{t-1}(s,a)+\frac{1}{N}[R(s')+q(s',a')-q_{t-1}(s,a)]
从这个公式我们可以看出这个方法和蒙特卡罗、动态规划的关系来。下面我们就来实现这个方法，我们首先要实现的方法被称为"SARSA"，这个名字看上去有些奇怪，其实它来自于这个方法的五个关键因子：S(待求状态)，A(待求行动)，R(模拟得到的奖励)，S(模拟进入的下一个状态)，A(模拟中采取的下一个行动)。
7.3 On-policy：SARSA
接下来就来实现这个算法，其实它的实现过程也比较简单，这里只展现评估的过程：
for i in range(episode_num):
env.start()
state = env.pos
prev_act = -1
while True:
act = self.policy_act(state)
reward, state = env.action(act)
if prev_act != -1:
return_val = reward + (0 if state == -1 else self.value_q[state][act])
self.value_n[prev_state][prev_act] += 1
self.value_q[prev_state][prev_act] += (return_val - \
self.value_q[prev_state][prev_act]) / \
self.value_n[prev_state][prev_act]
prev_act = act
prev_state = state
if state == -1:
break那么这个代码的实现效果如何呢？我们同样写一段测试的代码。
def td_demo():
np.random.seed(0)
env = Snake(10, [3,6])
agent = MonteCarloAgent(100, 2, env)
with timer('Timer Temporal Difference Iter'):
agent.td_opt()
print 'return_pi={}'.format(eval(env,agent))
print agent.policy
agent2 = TableAgent(env.state_transition_table(), env.reward_table())
with timer('Timer PolicyIter'):
agent2.policy_iteration()
print 'return_pi={}'.format(eval(env,agent2))
print agent2.policy为了试验效果，我们将SARSA算法中的迭代轮数增加到2000，最终的结果为：
Timer Temporal Difference Iter COST:3.8632440567
return_pi=80
[0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0]
policy evaluation proceed 94 iters.
policy evaluation proceed 62 iters.
policy evaluation proceed 46 iters.
Iter 3 rounds converge
Timer PolicyIter COST:0.330899000168
return_pi=84
[0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0]从结果可以看出，SARSA算法的效果并不够好，当然我们还没有加入更多的策略来提升效果。不过看上去它的结果还不及蒙特卡罗，那么它和蒙特卡罗相比有什么优势呢？我们来看看前面提到的方差问题，再来看一看SARSA算法的结果图：
图7-3 TD法的return收集直方图
可以看出，这个方法的数值变动和前面相比要更为稳定一些，跨度比之前要小一些。
那么为什么TD系列的方法会在方差方面控制得更好一些呢？答案就在它的更新公式上。蒙特卡罗的计算方法由于使用了精确的return，所以在对价值的估计上更精确一些，但是同时它要一个序列的信息，而序列的信息存在更多的波动，所以方差会比较大；而TD方法只考虑了一步的计算，其余的计算均使用了之前的估计，所以当整体系统没有达到最优时，这样的估计都是存在偏差的，但是由于它只估计了一步，所以它在估计值方面受到的波动比较少，因此带来的方差也会相应减少许多。
所以前人们发现，蒙特卡罗法和TD法象征着两个极端——一个为了追求极小的误差而放松了方差，一个为了缩小方差而放松了误差。这个问题仿佛回到了机器学习的经典问题——bias和variance的权衡问题。
那么，除了SARSA这一种方法，还有没有别的算法呢？最后一节我们再来看看TD的另一种算法。
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