超对称规范场论中的特殊函数(第一话)

超对称规范场论中的特殊函数(第一话)

超对称规范场论的一大优点在于它们有许多物理量——包括配分函数和关联函数——可以严格计算出来,并把结果写成普通的多重积分或者求和。最后结果常包含一些特殊函数作为积分函数或者求和函数。得益于过去十几年无数学者的辛勤工作,不同超对称场论中所涉及的特殊函数之间的关系逐渐明朗起来。

有趣的是,一篇04年的数学文章 Modular Properties 其实涵盖了几乎所有在超对称场论严格计算结果中出现的特殊函数。文章中提到几族特殊函数,各自称为 multiple XX-函数,其中 XX 可以填入 \zeta , sine, \Gamma 等,均可表达为正规化无穷求和或者无穷乘积。这些特殊函数往往具有有趣的积分表示和因式分解性质。

下面我们来着重关注 q-Pochhammer 符号和 multiple sine 函数,并总结它们与1、3、5维超对称规范场论的关系,包括它们的因式分解与时空流形的几何分解性质的关系。


  • q-Pochhammer 符号可以定义为 (\zeta-正规化的)无穷乘积

(z; q_1, ..., q_r) \equiv \prod_{n_1, ..., n_r \in \mathbb{N} } (1 - z q_1^{n_1} ... q_r^{n_r})\ .

  • Multiple sine S_r(z|\omega_1, ..., \omega_r) 定义为 (\zeta-正规化的)无穷乘积

S_r(z | \omega_1, ..., \omega_r) \equiv \prod_{n_1, ..., n_r \in \mathbb{N}} (z + n_1 \omega_1 + \ldots n_r \omega_r)( - z + (n_1 + 1) \omega_1 + \ldots (n_r + 1) \omega_r) \ .

其中我们注意到

\begin{align} S_1(z|\omega) = & \ \prod_{n \ge 0} {(z + n\omega )(n\omega + \omega - z)} = z\prod\limits_{n \ge 1} {({n^2}{\omega ^2} - {z^2})} = z\prod_{n \ge 1} {n^2\omega ^2(1 - \frac{{{{(z/\omega )}^2}}}{{{n^2}}})} \\ \sim & \ \sin(\pi z /\omega) \end{align}

因此一般的 S_r(z|\omega_1, ..., \omega_r) 可以看成是 \sin 函数的高维推广。

值得一提的是,Multiple sine S_r 函数有奇妙的因式分解性质,可以分解成 rq -Pochhammer 符号。比如

\begin{align} S_2(z|\omega_1, \omega_2) \sim & \ (e^{2\pi i z/\omega_1}; e^{2\pi i \omega_2/\omega_1})(e^{2\pi i z/\omega_2}; e^{2\pi i \omega_1/\omega_2})\\ S_3(z|\omega_1, \omega_2, \omega_3) \sim & \ (e^{2\pi i z/\omega_1}; e^{2\pi i \omega_2/\omega_1}, e^{2\pi i \omega_3/\omega_1})(e^{2\pi i z/\omega_2}; e^{2\pi i \omega_1/\omega_2}, e^{2\pi i \omega_3/\omega_2})\\ & \ \times(e^{2\pi i z/\omega_3}; e^{2\pi i \omega_1/\omega_3}, e^{2\pi i \omega_2/\omega_3}) \end{align}

我们随后将会看到这个因式分解在超对称规范场论中的对应物。


在超对称规范场论中,有许多物理量往往可以精确计算。一个最简单的例子就是配分函数 Z^M ,其中 M 是承载理论的时空流形。配分函数可以用泛函积分定义

\begin{align} Z^M \equiv \int D[\text{field}] e^{-S_M [\text{field}]}\ . \end{align}

在 Peskin 中,配分函数也等于真空态的自我内积 \langle 0 | 0 \rangle ,相当于所有真空图的贡献。它是所有外部参量——包括耦合常数 g_\text{YM} 、质量  M 等——的函数。一般来说这个函数是没法直接计算的,因为是个抽象的无穷维积分;但是在超对称规范场论中,可以利用超对称把这个函数严格算出来,最终结果往往以多重积分的形式表达

\begin{align} Z^M = \int d^N \sigma Z_\text{classical}^M(\sigma) Z_\text{pert}^M(\sigma) Z_\text{non-pert}^M(\sigma) \end{align}

三个因子分别对应经典、微扰、非微扰(比如瞬子)贡献。

常见的奇数维(紧或非紧)流形 M

\begin{align} & \text{1d}: S^1\\ & \text{3d}: S^3, S^2 \times S^1, S^1 \times \mathbb{R}^2\\ & \text{5d}: S^5, S^4 \times S^1, S^1 \times \mathbb{R}^4\\ \end{align}

这其中,以 M = S^{2r-1}, r = 1, 2, 3 等奇数维球面最为简单:上面的 \mathcal{N} = 2, \mathcal{N} = 2, \mathcal{N} = 1 理论的微扰因子 Z_\text{pert}^M 恰好可以用 multiple sine S_r(\sigma), r = 1, 2, 3 的乘积来写。比如,如果考虑时空是三维椭球 \omega_1^2 (x_1^2 + x_2^2) + \omega_2^2 (x_3^2 + x_4^2) = 1 ,那么其上的 \mathcal{N} = 2 超对称规范理论的配分函数大概长下面这个样子,

\begin{align} Z^{S^3_{\omega_1, \omega_2}} = \int d^N \sigma Z_\text{classical}^M(\sigma) \prod S_2(\sigma|\omega_1, \omega_2)\end{align}

换句话说,里面的微扰贡献可以用 S_2 函数的乘积来表示。

另一方面,如果考虑非紧致的时空 S^1 \times \mathbb{R}^2S^1 \times \mathbb{R}^4 ,他们的微扰部分则可以用 q -Pochhammer 符号来表达。比如

\begin{align} Z^{S^1 \times \mathbb{R}^2} = \prod (e^{2 \pi i \sigma/ \omega_1}; e^{2\pi i \omega_2/ \omega_1})\ , \qquad Z^{S^1 \times \mathbb{R}^4} = \prod (e^{2 \pi i \sigma/ \omega_1}; e^{2\pi i \omega_2/ \omega_1}, e^{2 \pi i \omega_3 / \omega_1}) \end{align}


上文提到过, S_2 可以因式分解为两个 q -Pochhammer 符号(z ; q) 的乘积。在规范场论中这有怎样的对应?

通过仔细观察三维椭球面,可以发现一个有趣的几何事实:三维椭球面可以通过两个 S^1 \times \mathbb{R}^2 粘合而成。因此, S_2(\sigma|\omega_1, \omega_2) 函数(作为配分函数 Z^{S^3} 的积分函数)的因式分解实际是时空 S^3 的几何分解性质的体现

\begin{align} Z^{S^3} \sim Z^{S^1 \times \mathbb{R}^2} \times_SZ^{S^1 \times \mathbb{R}^2} \leftrightarrow S^3 \sim (S^1 \times \mathbb{R}^2) \cup_S (S^1 \times \mathbb{R}^2) \ . \end{align}

类似的也有

\begin{align} Z^{S^5} \sim Z^{S^1 \times \mathbb{R}^4} \times_S Z^{S^1 \times \mathbb{R}^4} \times_S Z^{S^1 \times \mathbb{R}^4} \leftrightarrow S^5 \sim (S^1 \times \mathbb{R}^4) \cup_S (S^1 \times \mathbb{R}^4) \cup_S (S^1 \times \mathbb{R}^4) \end{align} \ .

当然,这里所说的“粘合”还需要特别指定这些 S^1 \times \mathbb{R}^k边界具体如何粘起来,在上面这两个例子里已经指定了某种特殊的粘合方式,并且已经用  \cup_S 的下标 S 来标注。相应的,配分函数做乘法的时候也需要对每项因子参数做特殊处理,也用 \times_S 来标记。

那么如果拿两个 S^1 \times \mathbb{R}^2 ,然后指定别的粘合方式,是否会得到别的有趣结果呢?答案是肯定的:比如,可以考虑一种最简单的粘合方式(即把两个圆圈 S^1 等同起来,两个 \mathbb{R}^2 粘成一个 S^2),使得

\begin{align} Z^{S^1 \times S^2} \sim Z^{S^1 \times \mathbb{R}^2}Z^{S^1 \times \mathbb{R}^2} \leftrightarrow S^1 \times S^2 \sim (S^1 \times \mathbb{R}^2) \cup_\text{id} (S^1 \times \mathbb{R}^2) \end{align}

其中,我们用 \text{id} 下标来标注这种简单的粘合方式。

类似的也有

\begin{align} Z^{S^1 \times S^4} \sim Z^{S^1 \times \mathbb{R}^4}Z^{S^1 \times \mathbb{R}^4} \leftrightarrow S^1 \times S^4 \sim (S^1 \times \mathbb{R}^4) \cup_\text{id} (S^1 \times \mathbb{R}^4) \ . \end{align}


总结:时空 M 上的超对称规范场论中,可以严格计算包括配分函数等物理量,并且最后用一些特殊函数来表达。这些特殊函数的因式分解性质反应了时空 M 的几何分解性质。在后续的文章中,我们会看到更多的特殊函数与规范理论之间的关系,以及前者的恒等式在规范场论中的意义。

文章被以下专栏收录
16 条评论
推荐阅读