【C++ 模板元编程入门】在编译期实现 Peano 数

【C++ 模板元编程入门】在编译期实现 Peano 数

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基本知识

类型的函数

我们都知道模板可以接受类型作为「参数」。同样地我们也可以有「返回值」,从而构造类型的函数。基本的范式是:

template<class T>
struct Computed {
  using type = T;
}

这就构造了一个名为 `Computed` 的,接收一个类型参数,返回这个类型本身的函数,用法如 `Computed<float>::type`,这个类型应当还是 `float`。

为什么要包一层 struct?这是因为 C++ 不支持对 using 的特化。这样的代码是不行的:

template <class T>
using computed<T> = T;

template<>
using computed<int> = double;

至于为什么不支持,我没有了解。

特化

什么是特化?你可以理解为模式匹配,就像 Haskell 中的写法一样。

template<class T>
struct Computed {
  using type = T;
}

template<>
struct Computed<int> {
  using type = double;
}

这样当你调用 `Computed<bool>::type` 时,得到的结果是 `bool`,而调用`Computed<int>::type`得到的结果却是`double`。当然这种匹配是遵循一定规则的,比如更「具体」的特化优先匹配,这跟 Haskell 谁在前谁先试着匹配不太一样。在 Haskell 中就好比:

data Type = Bool | Double | Int

computed :: Type -> Type
computed Int = Double
computed t = t

实际上有了这层对应,如果你知道怎么在 Haskell 中实现 Peano 数,那么 C++ 中的实现基本就是无脑翻译了。如果你不知道怎么在 Haskell 中实现 Peano 数,那你知道 Peano 数是什么,也能大差不差知道答案了。

Peano 数

Peano 数是什么?Peano 数是归纳定义的自然数,准确地说应该是一个表现形如直觉中「自然数」的公理系统,也就是「自然数」的形式化。这个系统里只有两个符号,`Zero`——表示 0,以及 `Succ`——表示后继。那么 1 就是 `Succ<Zero>`,2 就是 `Succ<Succ<Zero>>`,以此类推(归纳,其实就是「以此类推」的形式化)。

我们可以在 C++ 中如此表述:

struct Peano {};
struct Zero: Peano {};
template<class T>
struct Succ: Peano {};

那么加法又是什么呢?从例子出发,我们需要定义一个两个类型参数的模板:

template<class T1, class T2>
struct Add {
  using type = ???;
}

满足直觉中的运算规律,比如 2+1=3,翻译成 C++ 就是 `Add<Succ<Succ<Zero>>, Succ<Zero>>::type = Succ<Succ<Succ<Zero>>>`。当然类型之间没有等于号,准确地说应该用 `std::is_same<T1, T2>`,这其实也是通过偏特化实现的,比如(示意,非官方实现):

template<class T, class U>
struct is_same {
  static constexpr bool value = false;
};
 
template<class T>
struct is_same<T, T> {
  static constexpr bool value = true;
};

那么如何定义加法呢?对于有限的元素,我们当然可以为每一个实例做特化,比如:

template<>
struct Add<Succ<Succ<Zero>>, Succ<Zero>> {
  using type = Succ<Succ<Succ<Zero>>>;
}

也就是打表。C++ 编译器的模板深度一般都是有限的,所以这理论上是可以在实际操作中覆盖所有用例的。但是这明显太傻了。其实加法的定义只需要两条规则就可以覆盖:`0 + b = b, (Succ a) + b = Succ (a + b)`。翻译成 C++ 就是:

template<class T1, class T2>
struct Add;

template<class T>
struct Add<Zero, T> {
  using type = T;
};

template<class T1, class T2>
struct Add<Succ<T1>, T2> {
  using type = Succ<typename Add<T1, T2>::type>
};

注意那个 `typename`,gcc 并不知道后面那个 `::type` 成员是类型还是变量,所以需要 `typename` 关键字的提示。

这就算写完了,你可以测试看看,是不是满足 `std::is_same<Add<Succ<Succ<Zero>>, Succ<Zero>>::type, Succ<Succ<Succ<Zero>>>>::value == true`(需要 `<type_traits>` 头文件,或者上面自己写的那个模板(那就不用加 std::)。这么嵌套着写 `Succ` 太繁琐了,也不方便看,你可以简单地写一个模板来从整数生成类型:

template<int v>
struct peano {
  using type = Succ<typename peano<v - 1>::type>;
};

template<>
struct peano<0> {
  using type = Zero;
};

然后就可以去验证 `Add<<peano<2>::type, peano<1>::type>::type` 是不是等于 `peano<3>::type` 了。

至于加减乘除的其他运算,比较啊奇偶性啊其他的函数,只要你懂得了加法,恐怕就不难了。

练习:

Peano numbers | Codewars 完成加减乘除、奇偶性和比较大小的撰写,并通过测试。

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Codewars.com 是一个很好的综合性、游戏化 OJ,除了算法(多是入门级的)之外,考察语言特性(较为深入)是其一大亮点,同时有很多 Haskell 方面的内容,包括我们喜闻乐见的读论文然后完形填空。题图是 Codewars 上上述练习的界面截图。

后记

当然我们还可以进一步「证明」我们印象中的结论,比如加法是满足交换律的,加法和乘法是满足分配率的,等等。这就是后话了。

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