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预篇:伯爵Fagnano与Euler的加法定理(I)

预篇:伯爵Fagnano与Euler的加法定理(I)

...Von viel größerem Interesse sind aber Arbeiten EULERS, welche im Msc. eine ganz andere Gestalt haben, als welche er ihnen später gegeben hat, so daß man sieht, daß er keineswegs so wie man glauben möchte die Publication seiner Arbeiten übereilt hat, sondern sie bisweilen lange liegen ließ und mehrfach umarbeitete. ...Bei dieser Gelegenheit habe ich auch einen für die Geschichte der Mathematik ungemein wichtigen Tag gefunden, an welchem unsere Akademie Euler auffordert das von Fagnani ihr übersandte Werk zu prüfen, ehe man dem Verfasser antwortet. Aus dieser Prüfung ist die Theorie der elliptischen Functionen entstanden.

……然而更富有趣味的是Euler在Msc.[当指Miscellanea Berolinensia,柏林科学院刊行的杂志]上发表的工作,这些工作和他后来[在同一主题上]发表的工作形式上是截然不同的,因此可以看到,他的工作并不是如人们所想,是一蹴而就的,而是有时会搁置很长一段时间,而且会在[一个问题上]工作好几次。……借此机会我也找出了数学史上非常重要的一天——这一天我们科学院[指柏林科学院]邀请Euler来审阅Fagnano的工作,以便给作者作出回复。椭圆函数论就诞生于这次审阅之中。

[上述文字引用自C. G. J. Jacobi 1847年10月24日致Paul Heinrich Fuss的信。P. H. Fuss是Nicholas Fuss之子。Nicholas Fuss曾经师从Euler, 并且娶Euler的孙女为妻。Jacobi与Fuss都对Euler的数学工作进行过详尽的整理。题图所示正是Jacobi发给Fuss的Euler学术活动清单的一部分,这份清单中明确写道:Euler受邀审阅Fagnano的工作始于1751年12月23日。]


Giulio Carlo, Conte Fagnano e Marchese de' Toschi e di Sant'Onofrio(1682-1766), 1682年9月26日生于意大利亚得里亚海畔的Sinigaglia。Fagnano本人出身于当地的名门望族,爱好数学,哲学与诗歌。1743年他参与了圣彼得大教堂的修缮工作,作为奖励,教皇本笃十四世准许刊行他的数学论文集。不过他的全集直到1750年才完成印刷。1745年教皇封他为侯爵。他的一个儿子Giovanni Fagnano也是数学家,但是他的成就比不上他的父亲。根据记载,Fagnano家已经绝嗣。

“古者富贵而名摩灭,不可胜记”,Fagnano的工作也不得不接受这样的命运。1933年G. N. Watson在他的文章“The Marquis and the Land-agent,...”中明确写道:

...his investigations on the geometrical theory of proportion, which occupy a large part of the first volume of his Produzioni matematiche, are, of course, irrelevant, and I do not hesitate to say that I naturally consider them rather dull reading.

他的数学文集(总计1000多页)到今天也就只有只有一项工作能够流传于世,而这项工作就印在文集的扉页上。(下图摘自Google Book Fagnano文集的第二卷)


他对自己的这项工作的重视也可以从他传世的画像中看到。


Fagnano研究的主要是曲线求长问题。如他论文集中说的,他的研究主要受到Bernoulli兄弟的启发[意大利语原文来自Fagnano文集第二卷, p. 343, 译文由Patrick Popescu-Pampu的书“What is the genus?”中的英译文给出]:

Due sommi geometri sig. Giacomo, e sig. Giovani fratelli Bernulli anno renduta celebre la lemniscata, servendosi de' suoi archi per costruire l'isochrona paracentrica, come può vedersi negli atti di Lipsia dell' anno 1694. Egli è visibile, che misurando la lemniscata mediante qualche altra curva di lei più semplice, si ottiene una costruzione più perfetta non solo dell' isochrona paracentrica, ma ancora delle altre infinite curve, che per essere costruite possono dipendere dalla lemniscata ; e però mi lusingo, che non sieno per dispiacere agl'intendenti le misure di questa curva da me scoperte, le quali esporrò successivamente in due schediasmi.

两位伟大的数学家,Jacob Bernoulli与Johann Bernoulli因为借助双纽线的弧长构造出等时曲线而使双纽线闻名于世,这可以从1694年莱比锡的[杂志]Acta [Eruditorum]中看到。可以看到,如果用某些更简单的曲线来度量双纽线[的弧长],我们不仅可以得到等时曲线[注:这个不是Huygens等人研究的等时曲线]更漂亮的构造,而且可以依赖双纽线构造出无穷多条其他的曲线。这条曲线[弧长的]度量由我发现,并且发表在[这]两篇短文中,这项工作会使理解这个主题的人感到愉悦,我会为此感到自豪。

Bernoulli等人研究的问题是与两个物理问题有直接关联的。[下图来自1691年的Acta Eruditorum的插页, p. 282]

问题1:有一根均匀弹性轻质杆AB,杆自身重量忽略不计。固定杆的一端A,使之处在竖直状态。在杆的另一端B悬挂一个重物,试确定弹性轻质杆AB的形状。[其实也应当假设杆的形状是平面曲线]

1691年Jacob Bernoulli在公布此问题时放了一条谜语进去:

Qrzumu bapt dxqopddbbp poyl fy bbqnfqbfp lty ge mutds udtbh tubs tmixy yxdksdbxp gqsrkfgudl bg ipqandtt tcpgkbp aqdbkzs.

这是解决问题的关键。三年后他才公布答案:

Portio axis applicatam inter et tangentem est ad ipsam tangentem sicut quadratum applicatae ad constans quoddam spatium.

这里的说法,解密后的内容即便翻译成英文也很难懂。只有深入他1694年的著作以后,我们才会明白,这一句指的是:[在理想情况下(杆的形变遵循胡克定律),]外力对弹性杆上任意一点的力矩与杆在该点的曲率成正比[Jacob Bernoulli自己称之为theorema aureum(黄金定理)]。Daniel Bernoulli与Euler后来进一步把弹性杆与梁的理论发扬光大[例如用变分法],这里我们略去不提。

据此,我们立刻可以写出杆形状的微分方程:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{f^{\prime}}{\sqrt{1+(f^{\prime})^2}}=2cx

常数c与杆的弹性系数[如杨氏模量]以及外力有关。它有一个特解满足

\frac{f^{\prime}}{\sqrt{1+(f^{\prime})^2}}=cx^2

此时杆的顶端是水平的。我们于是得到

f^{\prime}=\frac{cx^2}{\sqrt{1-(cx^2)^2}}\Longrightarrow f(u)=\int_{0}^{u}\frac{cx^2}{\sqrt{1-(cx^2)^2}}\mathrm{d}x

这就是Jacob Bernoulli给出的弹性曲线的解。


1694年Jacob Bernoulli在发表了弹性曲线的工作之后,又解决了Leibniz 1689年提出的另一个问题:

问题2:一质点在重力作用下在竖直平面内沿着某条曲线C运动。设曲线上一点为O。记曲线上AB两点间的直线距离为 \overline{AB} ,从A到B运动的时间为 t(AB) . 如质点趋近/离开O点时,t(AO)(或t(OA))总与OA两点间直线距离成正比,试求曲线C的方程。

很显然解决问题的关键在于建立合适的微分方程。考虑在极坐标 x=\rho\cos\theta,y=\rho\sin\theta 下研究此问题,并取O点为原点。根据能量守恒,我们立刻有 \frac{1}{2}mv^2=E_0+mgy ,约束条件为 :\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t} 是常数。在极坐标下我们有 v^2=\left(\rho\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t}\right)^2 。如果在O点处 \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} 有限,我们就可以得到 \frac{1}{2}m\left(\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t}\right)^2=E_0 。此时我们的方程就可以化为 \frac{1}{\sqrt{\rho}}\mathrm{d\rho}=K\frac{1}{\sqrt{\sin\theta}}\mathrm{d}\theta 。我们再令 \sin\theta=z, u=\sqrt{z} ,也就有

\frac{1}{\sqrt{\rho}}\mathrm{d\rho}=K\frac{1}{\sqrt{z-z^3}}\mathrm{d}z 以及

\frac{1}{\sqrt{\rho}}\mathrm{d\rho}=K^{\prime}\frac{1}{\sqrt{1-u^4}}\mathrm{d}u (K与K'均为常数)。


这条曲线和弹性曲线有什么关系呢?十七-十八世纪的数学家涉及到单变量积分的时候,通常倾向于把积分描述为曲线围绕的面积或曲线的弧长。从弹性曲线的表达式我们可以推导出它的弧长微分 \mathrm{d}s=\sqrt{(\mathrm{d}f)^2+(\mathrm{d}x)^2}=\frac{1}{\sqrt{1-(cx^2)^2}}\mathrm{d}x , 与我们上面得到的微分方程的右侧相比只有一些常数因子上的差别,因此Leibniz的曲线就可以用弹性曲线的弧长来描述。


Jacob Bernoulli是不满足于这样的结果的。弹性曲线并不是代数曲线。上面的弧长微分有没有可能是某条代数曲线的弧长微分呢?我们来看一下Jacob的弟弟Johann Bernoulli在同年给出的答案:

注意到我们上面在推导Leibniz曲线的过程中微分方程右边出现了 \frac{1}{\sqrt{z-z^3}}\mathrm{d}z 这样一项。如果它是代数曲线的弧长微分,那么 \frac{1}{z-z^3}(\mathrm{d}z)^2=(\mathrm{d}u)^2+(\mathrm{d}v)^2 。Johann Bernoulli把左边裂成两项: \frac{1}{z-z^3}(\mathrm{d}z)^2=\frac{1}{2}\frac{1+4z+4z^2}{z+z^2}(\mathrm{d}z)^2+\frac{1}{2}\frac{1-4z+4z^2}{z-z^2}(\mathrm{d}z)^2

Johann Bernoulli注意到,两项分别是 \mathrm{d}\sqrt{2z+2z^2}\mathrm{d}\sqrt{2z-2z^2} 的平方。因此我们就找到了待定曲线的参数方程: u=\sqrt{2z+2z^2},v=\sqrt{2z-2z^2}. 参数方程确定的曲线的形状是这样的:


这正是双纽线的1/4。

可叹的是在Leibniz曲线上的工作成了Bernoulli兄弟二人反目的导火索。Johann在发表自己的研究后,Jacob却对Johann的研究大加指责,认为Johann的研究毫无意义。Johann Bernoulli在1695年1月12日写给Guillaume de l'Hôpital的信中这样写道[原文来自Der Briefwechsel von Johann I Bernoulli,1955,p. 253-257,译文来自Jeanne Peiffer的英译jehps.net/Novembre2006/]:

...c'est un misantrope general qui n'epargne pas méme son frere, comme vous voyez par tout ce qu'il m'a fait, il créve de rage, de haine, d'envie et de jalousie contre moy, ...enfin ce seroit avec le plus grand plaisir de me voir dans l'état le plus miserable et reduit à l'extremité...cependant n'ayez pas peur, que je fasse part à mon frere de ce que nous nous ecrivons, car il y a plus de 6 mois que je ne luy ay parlé mot.

……他厌世到连自己的兄弟都不宽恕,你也看到了,他心中充满了对我的愤恨嫉妒之情,……简单说,能看到我陷入悲惨的境地中一路落到底那是最能令他满足的事情..……不过你不用怕,我会把我们之间通信的内容告诉他,因为我已经六个月没和他说过一句话了。

这两人的关系直到1705年Jacob Bernoulli去世都没能缓和过来。正是所谓的“一尺布,尚可缝,一斗粟,尚可舂。……”


问题:有人看出来Jacob Bernoulli是怎么加密自己的信息的吗?

编辑于 2017-11-18

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