【线性代数】为什么矩阵求逆行列变换不能混用

一. 初等行变换求逆

其原理是基于下式（块矩阵乘法）：

A^{-1}[A, E] = [E, A^{-1}] (1)

由于 A^{-1} 可以表示为若干个初等矩阵的乘积，比如， P_1, \cdots, P_t=A^{-1}

左乘初等矩阵相当于对矩阵实施相应行变换，故(1)式相当于对 [A,E] 同时实施一系列行变换，当 A 变为 E 时， E 恰好变为 A^{-1}

若既施行变换，又实施列变换，相当于

P_1,\cdots,P_s \, [A, E] \, P_{s+1},\cdots,P_t

首先 [A,E] 是 n \times 2n 阶，与 P_i 并不可乘，即使变成 2n 阶让它可乘，矩阵乘法也不满足交换律，即 P_{s+1}, \cdots, P_t 是不能随便移到 [A, E] 左边来的，也就是说对 A^{-1} 的拆分都不一定对，也就不能保证 E 能变成 A^{-1} .

二. 初等列变换求逆

只用初等列变换求矩阵的逆也是可以的，原理是：

\begin{bmatrix} A \\ E \end{bmatrix} A^{-1} = \begin{bmatrix} E \\ A^{-1} \end{bmatrix} (2)

同样， A^{-1} 可以拆成若干初等矩阵的乘积，右乘初等矩阵相当于对矩阵实施相应的列变换。

故(2)式相当于，对 \begin{bmatrix} A \\ E \end{bmatrix} 实施一系列的列变换，当 A 变成 E 时， E 恰好变成 A^{-1} .

X=A^{-1}B

注：以上是单独求 A^{-1} , 是可以总可以找到同阶的 E 来配合（拼接）: [A,E] 是将 A 和 E 横向拼接， \begin{bmatrix} A \\ E \end{bmatrix} 是将 A 和 E 纵向拼接。

三. 初等变换求解矩阵方程

上述原理稍作改动，就可以用于求解矩阵方程。

1. 若是求解矩阵方程 AX=B , 即求 X = A^{-1}B ：

A^{-1} \begin{bmatrix} A , B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E, A^{-1}B \end{bmatrix}

相当于对 [A,B] 实施一系列的初等行变换，当 A 变为 E 时， B 恰好变为 A^{-1} B

2. 若是求解矩阵 XA=B ，即求 X = BA^{-1} ：

\begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} A^{-1} = \begin{bmatrix} E \\ B A^{-1} \end{bmatrix}

相当于对 \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} 实施一系列的初等列变换，当 A 变为 E 时， B 恰好变为 BA^{-1} .

注： 满足矩阵方程的 A、 B 恰好可以这样拼接。

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