天问天文
首发于天问天文
宇宙的往事②离群之人--伽罗瓦

宇宙的往事②离群之人--伽罗瓦

写在文章之前埃瓦里斯特·伽罗瓦是一个数学家,与天文学无关,但却是我非常欣赏的一个人,他本应有着比现在更耀眼的光芒。既然这个主题叫做“宇宙的往事”,那么我就强行解释一下:伽罗瓦作为这个宇宙137亿年时光中的一份子,想必是有资格被写进这个系列的。今天10月25日)恰逢他的诞辰,我写下这边文章介绍一下伽罗瓦以表纪念,并感谢他给人类文明带来的群论Group Theory)。

明年一月我就20岁了,作为一个对科学还未有任何贡献的小本科生,我时常会想,历史上那些伟大的数学家和物理学家们在他们二十多岁的年纪时都有了什么样的成就。牛顿爵爷22岁的时候得到了广义二项式定理,并开始发展被后世称作“微积分”的那套理论;爱因斯坦大大26岁的时候把1905年变成了属于自己的奇迹年。后来我翻阅了很多科学家的小传,知道了有这么一个年轻人,21岁便为现代群论奠基,并且用这个理论完美地阐述了五次及五次以上方程不能用公式求解,还解决了两个古代三大作图问题

他叫埃瓦里斯特·伽罗瓦,这也是他全部的成就了。有的人只做出这些成就是因为他的实力只有那么多,而伽罗瓦在21岁做出他全部的成就是因为他只活了21年。

1811年10月25日,伽罗瓦出生于法国巴黎近郊一个富裕的家庭(和钱德拉塞卡一样),父母都是当地有一定名望的知识分子。

他的母亲是一个聪慧的家庭主妇,在他12岁之前,他的启蒙教育有他的母亲负责。作为一个古希腊和拉丁文化的爱好者,他的母亲从小便向他灌输史诗中那些英雄的英勇事迹。相信在多年后伽罗瓦拿着手枪走出家门的清晨,望着还没有消散的星空,他的脑海中一定浮现着小时候陪伴自己长大的那些英雄们的身影。

12岁那年,伽罗瓦离开了家乡,来到了路易皇家中学。如果按照现在的轨迹走下去,伽罗瓦不会像那个年代的绝大多数法国年轻人一样,成为历史的铁骑下螳臂当车的一个炮灰,平平淡淡的过完一生。当然这要加一个前提--他没有遇到数学。

16岁那一年的郭襄在风陵渡口遇到了神雕大侠,襄阳城外的烟花误了她的余生。16岁那一年的伽罗瓦在路易皇家中学被数学的鬼魅迷住了心窍,搅动了往后数百年数学界的风云。

从那时起,伽罗瓦的大部分精力都被投入在了数学上。他先是接触到了勒让德的《Éléments de Géométrie》(《几何原理》,顺便说一句,代数几何皇帝、伟大的格罗滕迪克有一本书名很像的著作,而前不久知乎上有一个葫芦娃提过一个关于那本书的问题,伽罗瓦16岁接触,葫芦娃14岁接触,虽然不是同一本书,但还是要感慨一句历史的车轮简直无情),之后又陆续翻阅了伟大的拉格朗日的《Réflexions sur la résolution algébrique des équations》(《代数方程求解问题思考》,因为不懂法语只能机翻,见谅)、伟大的欧拉雅各比和数学王子高斯奥特曼(划掉)的一系列著作。

天才往往伴心高气傲,伽罗瓦也不能免俗。他认为自己的数学水平已经可以比肩当时的那些大数学家了(虽然现在看来他没有说大话),抱着这样的心态,他报考了巴黎综合理工大学。命运之神在这时和他开了一个玩笑,在往后的日子里,这样的玩笑会越来越多。伽罗瓦落榜了。

路易皇家中学的数学专业班教师里夏尔是一个善于发掘人才的伯乐,他敏锐地察觉到了这个孤傲离群的年轻人身上散发出的数学天分。

1828年,在里夏尔的帮助下,伽罗瓦把他的第一篇论文《周期连分数一个定理的证明》投向法国第一个专业数学杂志《纯粹与应用数学年报》三月号,并且在里夏尔的劝说下,伽罗华向法国科学院递送了论文的备忘录。1829年,伽罗华中学毕业,那一年,他的初步研究结果的论文被提交给法国科学院(好比现在17岁发表一作PRL,18岁高中毕业研究成果被中科院看中)。

按照如此进展,伽罗瓦将成为欧洲数学家一颗璀璨的明星,甚至在几十年后有可能把数学王子的桂冠从高斯殿下头上摘下。前提是命运没有继续和他开玩笑。

由于在考试的时候拿板擦砸主考官据说是因为他觉得题目太简单而拒绝回答引起主考官的嘲笑),伽罗瓦再次从巴黎综合理工大学名落孙山。命运之神的玩笑才刚刚开始。这时候,他的父亲由于受不了天主教牧师的攻击和诽谤而自杀。而同一年,他的一篇关于代数方程解的论文在提交给法国科学院之后被伟大的柯西给弄丢了(阿贝尔点了赞)。为了解决生活费用问题,伽罗瓦接受了恩师里夏尔的建议,考入了巴黎高等师范学院(不是某人口中的硕士M1哦)。

进入巴黎高师之后,为了争取当年法国科学院的数学大奖,他将方程式论的结果重新整理之后写成三篇论文,再次寄往法国科学院。但是文章在被送到伟大的傅里叶手中之后,傅里叶的去世让伽罗瓦只能眼睁睁看着大奖被阿贝尔与卡尔·雅各比收于囊下。

说到这里就有必要提一下他的父亲了。他的父亲是一个坚定地自由党人、拿破仑的积极支持者,并在伽罗瓦4岁那年担任了拉莱茵堡的市长,且一当就是15年。“父亲是他的一切”,伽罗瓦如是说。要知道当时的法国先后经历了拿破仑和路易十八的复辟,法国正处于大革命浪潮的中央。而有一个狂热的政治家作为自己的父亲,想必父亲的政治态度和当时法国的革命热潮对他的成长和处事有较大的影响,以至于他成为了共和派的秘密组织“人民之友”的成员,并发誓:“如果为了唤起人民需要我死,我愿意牺牲自己的生命。”

1831年1月8日,由于揭发了校长对法国七月革命政变的两面派行为,伽罗瓦被开除出巴黎高师。

1831年5月10日,伽罗瓦因“企图刺杀国王”而被捕入狱。在入狱期间伽罗瓦结识了德艾尔宾维尔,和他一同入狱的以为狂热的共和党人。出狱之后,伽罗瓦疯狂地爱上了一位舞女,并开始追求她。而巧合的是,这位舞女的未婚夫正是自己的挚友和革命伙伴--德艾尔宾维尔。深感受到NTR的德艾尔宾维尔提出与伽罗瓦决斗,就像五年后的普希金一样,伽罗瓦同意了。

1832年5月30日的晚上,孤傲的天才就像感觉到了什么一样,开始疯狂地演算,并整理自己的笔记。他不时的停下来,在纸边空白处(费马你惭愧吗)写下“我没有时间了,我没有时间了”的字样,然后又接着奋笔疾书留一个极其潦草的大纲。在天亮之前那几个小时中,群论诞生了。此后的几百年里,后世数学家们为了研究和发展他的理论绞尽了脑汁。

现在可以简单的给大家介绍一下了,元素的集合G如果满足以下四个条件则被称为群

  1. 集合对乘积的封闭性。集合中任意两元素的乘积在此集合中,即: RS\in G,\forall R和S\in G
  2. 乘积满足结合律,即: (RS)T=R(ST),\forall R、S和T\forall G
  3. 用集合中的恒元E左乘集合中任一元素该元素保持不变,即: E\forall G,ER=R,\forall R\in R
  4. 任何元素R的逆元素存在集合中,满足: \forall R\in G,\exists R^{-1}\in G,使R^{-1}R=E

而顾名思义,群论研究名为群的这种代数结构。除了在数学领域,群论和相关的群表示论还在物理学化学的研究中体现着许多重要性。例如在一些具有对称性物理结构中,如量子化学中的晶体结构和氢原子结构都可以用群论方法来建立模型。

从16岁那年伽罗瓦接触数学到群论诞生,只有五年时间,后世的数学家们却花了几百年来吃透他的思想。

全世界都应该感谢伽罗瓦的朋友舍瓦利耶把那天晚上的东西保留了下来。

“我亲爱的朋友,我在分析方面作出了一些新的发现。请雅可比或高斯公开提出他们的意见,不是对这些定理的正确性,而是对它们的重要性。我希望以后会有人发现,辨读这一堆写得很潦草的东西,对他们是有益的。满怀激情地拥抱你。E•伽罗瓦。”

在中文里离群可以指不合群也可以指超群。就像他的老师里夏尔说的那样,“伽罗瓦只宜在数学的尖端领域中工作”,“他大大地超过了全体同学”。 而这些正好是伽罗瓦性格的浓缩。他本应静下心来为数学史上最耀眼的太阳,却像小时候耳濡目染的那些史诗中的英雄们一样的热血,“我们都是孩子,精力充沛,一往无前。”(“Nous sommes des enfants, mais des enfants progressifs, pleins de force et”)。

1832年5月31日清晨,埃瓦里斯特·伽罗瓦拿着手枪走出了家,再也没有回来。

参考文献

[1]. 达尔玛.A. 伽罗瓦传[M]. 商务印书馆, 1981.

[2]. 马中骐. 物理学中的群论[M]. 北京科技出版社, 2015.

编辑于 2017-10-25

文章被以下专栏收录

    我将在专栏中不定期更新天文及物理方面的科普,主要将集中在黑洞天体物理领域,并会有一些天文学史及近现代天文学研究进展和讨论。 同时我将在每周五更新一些我最近看文献或者教材所记录的一些笔记。