Quanto与Composite 条款

Quanto与Composite 条款

1.条款

Quanto和Composite是两种特殊的奇异产品条款,是在限定汇率条款下对外国资产的条款。

一般常见的外汇衍生品,如果交割外汇为初始日期的汇率,其payoff为: X_0(S_t-K)^+

拥有这样条款的期权我们称为Quanto Option。

如果需要初始和交割当天都汇率兑换外国货币,其payoff为: (X_TS_T- kX_0S_0)^+

,其中k为执行因子。之所以不使用大K是因为执行价格是由初始汇率确定的。拥有这样条款这样的期权我们称为Composite Option。


2.汇率

由于汇率本身不能视为常数,需要考虑汇率过程。在lognormal框架下,我们假设汇率也为GBM: dX_t = (r^f -r^d -c )dt +\sigma_XdB_t

这里扯一下为什么还可以用lognormal,黑猫曾经的一个误区是对数正态这个假设既然不对就不能用。实际上假设上的错误可以通过操作手段,成体系的检测和监控而避免的。由于不是本文重点,不再复述。

其中 r^f 为该币种货币市场本身的利率,所以为正号。 r^d 作为放弃本国货币市场损失,所以为负号。c为一个常数,添加常数的原因是不同币种之间存在基差,如果已经获得明确基差可以直接加入常数,如果没有可以作为一个风险中性的价差校准参数。


3.交互变差

我们已知资产价格在GBM下的过程: dS_t =S_tdt +S_t\sigma_SdW_t ,那么现在问题来了。在跨资产的影响下,资产价格会不会受影响。答案是会的,因为实际上这个资产路径可以认为在外国跑的,因此外汇的波动率必然影响资产的最终价格。所以quanto可comoposite最后可以传化为彩虹类的奇异产品。

那么怎么影响呢,可以粗略认为是通过交互变差影响的。所谓交互变差就是多元伊藤公式中的交叉项。在本话题下,这种影响会体现在两个随机过程的交互变差: d<W_t,B_t>=\rho dt 上,其实就是相关性。由于波动的单位一般去百分比,相关性的差异可以暂时忽略,我们假定为常数。所以根据多元伊藤公式,最后的漂移向会出现一个 \rho\sigma_X\sigma_Y 是肯定的。


4.跨国等价鞅和Quanto修正

到现在为止我们不能直接搬用伊藤定理的结果,因为我们还没处理定价的核心问题:等价鞅测度。

由于计价单位变了,无风险的必要报酬变了,所以我们的等价鞅测度也变了。这里牵扯到了本国中性和外国中性。外汇衍生品中一个特殊的地方在于,我们最后的必要报酬存在“换回本币”这个操作。什么意思呢,就是在钦定必要报酬的时候,外币的货币市场报酬是不能被修正到资产里的。

这个地方很绕,以下举个例子说明:

我们假设本国中性收益是 \mu ,然后换外币进入外币市场 +r^f ,损失本国货币市场 -r^d ,外币的收益损失基差c, 外国资产因为交互变差调整 +\rho\sigma_x\sigma_y 。因此最后外币下的漂移项应为: X_tS_t(\mu+r^f -c - r^d +\rho\sigma_x\sigma_y)dt

r^f-c 作为外币货币市场报酬是不在资产 S_t 本身调整项里的,因此资产找必要报酬 r^f-c 不跟着动。这个时候为了保持中性,即除了必要报酬以外再无收益, \mu 必须等于平掉剩余项 r^d -\rho\sigma_x\sigma_y

在这个基础上,我们限定了外汇,波动率就剩下了外国资产本身的波动。以下给出一个quanto条款下最简单的产品欧式期权在GBM下的价格:

\begin{equation} \begin{aligned} &C=X_0[S_fe^{(r^f-r^d-q-c-\rho\sigma_{S_f}\sigma_X)}TN(d_1) -Ke^{-r^dT}N(d_2)] \\&P=X_0[Ke^{-r^dT}N(-d_2) -S_fe^{(r^f-r^d-q-c-\rho\sigma_{S_f}\sigma_X)}TN(-d_1) ] \\ \\&d_1 = \frac{ln(\frac{S_f}{K}) + (r^f-c-q- \rho\sigma_{S_f}\sigma_X +\sigma^2_{S_f}/2)T}{\sigma_{S_f}\sqrt{T}} \\&d_2 = d_1 - \sigma_{S_f}\sqrt{T} \end{aligned} \end{equation}

当然这是基本的本币结算的quanto条款。如果任性的要求相同的payoff必须由外币结算其实也有公式的,只不过这个时候购买者不可避免的要把自己的头寸暴露在外币上了,到期之后还是得本币换成外币,等于钦定的汇率白设了。


5.Compo与相关性

与quanto不同的是,因为compo直接实时外币结算而不是钦定一个固定汇率,所以直接在外国中性,也就是必要报酬为 r^f -c 。所以在此种情况下,compo是没有quantlo里交叉调整项的,因此在我们的语境下,compo只需要给出收益和波动率即可。

但是Compo由于是k跨币种资产的产品,我们思考一个问题:如果最后获得payoff之后“本币换外币“和”外币换本币“对波动率甚至是对价格有影响么?。(有的条款确实允许选择最后本币还是外币结算。)

结论是肯定的,这个结论是一个很有名的“希格尔悖论”。推导不是很复杂,但是计算量是有一些的,我们可以用一些intuition更好的理解这些结论:

假设我们的情景是本币换外币,那么汇率在这里是乘号,令F = XS,我们有:

\begin{equation} \begin{aligned} &~~Var[ln(S_tX_t)] \\&=Var[ln(S_t)+ln(X_t)] \\&=\sigma_S^2 +2\rho\sigma_S\sigma_X + \sigma_X^2 \end{aligned} \end{equation}

相关性对波动率是正影响。

但是如果是外币换本币,那么汇率在这里是则变成了除号,令F = S/X,我们有:

\begin{equation} \begin{aligned} &~~Var[ln(S_t/X_t)] \\&=Var[ln(S_t)-ln(X_t)] \\&=\sigma_S^2 -2\rho\sigma_S\sigma_X + \sigma_X^2 \end{aligned} \end{equation}

而且稍微计算一下可以知道,连收益都是不一样的。我们从quanto的例子可知,St的本国中性报酬是 r^d ,外国中性报酬是 r^f-r^d .所以根绝期望的线性可加,可以知道本兑外的中性收益是 r^f ,而外兑本的中性收益为0。可以看见仅仅是因为变了一个方向,整个价格完全变了。


小结:

以上这些都关于跨国结算间quanto和compo两种条款的一种简单刻画。需要清楚的是,因为quanto和compo仅仅是条款而不是衍生品所以他们可以加在任何产品上,而且除了quanto和compo还有更复杂的外汇条款。

因此可以说,在处理跨国资产交易时,如果不考虑条款的特殊性而直接进行汇率和资产计算,100%会Fx_risk fuckup的。典型的应用例子比如:quanto外国资产里delta和vega的特殊调整。

编辑于 2017-11-26

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    数理金融相关领域学习笔记及心得。内容包括金融数学、随机分析、概率论、随机过程、数理统计、机器学习以及相关的程序设计。