世界数学难题:“四色定理不成立”的一些探讨

世界数学难题:“四色定理不成立”的一些探讨

文/余熙莹(来源于微信公众号:许兴华数学)


摘要:本文用实例指出了四色定理不成立,并给出了初步的证明。数学界有一句名言:“一个反例就可以推翻一个著名的定理!”本人既然给出了反例,就期待专家及大众验证,一是看是否有人否定本人给出的反例,二是如果不能否定,则期待有关专家能从图论理论方面给出四色定理不成立的更为严谨的证明。

关键词:四色定理 机器证明

中图分类号:0311.2018 文献标识码:A

1976年,美国科学家阿佩尔和哈肯宣称他们用计算机证明了著名的四色定理:即一般地图可用四种颜色正确染色。(有共同边界的区域不能同颜色),不管大家是否承认阿佩尔等人的机器证明,四色猜想能否用非机器的一般演绎方式加以证明,至今仍是一个世界之谜。

现在我们就来揭开谜底:四色定理(或者四色猜想)是不成立的!

首先来看第一个反例,参看图1。这个图形共有114个区域,由6个环组成,第1环1个区域,第2环5个区域,第3环15个区域,第4环45个区域,第5环45个区域,第6环3个区域。每个区域至少有5个邻域,我们先从从里向外面排列字母(相当于涂颜色)。第一圈标A,第2圈标B、C、B、C、D,第3圈标A、D、A、D……A、D、B、A、B,第4圈B、C、B、C……B、C、D、C、D、C、D……C、D,第5圈标A、D、A、D……A、D、B、A、B、A……B、A,第6圈3个区域均分了第6个园环,有一个区域与标A、D的区域为邻,标B;另一个区域与A、B、D为邻,标C,剩下的一个区域与A、B、C、D都为邻,只能标E。

我们仔细观察,如第6圈只是一个区域,就可以标C,如果分成两个区域,可以分别标上B、C,即112个区域,113个区域可以四色配色。但分成3个区域,即总计114个区域后,四色定理就不成立了。


为充分说明问题,我们还可以从外面向里面排列字母。参看图2。

第6圈标A、B、C,第5圈标B、D、B、D、……B、D、C、D、C、D……C、D、C、D,第4圈标C、A、C、A……C、A、B、A、B、A……B、A、B。第3圈标D、B、D、B、D……B、D、C、D、C、E(标E的区域其邻域有A、B、C、D,因此只能标E。),第2圈标A、C、A、C、B,第1圈标D。


下面再来看第2个反例,参看图3。这个图形共有116个区域,也是由6环组成。第1环1个区域,第2环7个区域,第3环35个区域,第4环35个区域,第5环35个区域,第6环3个区域。每个区域至少有5个邻域。

我们先从里面到外面排列字母(相当于涂颜色),第1圈标A,第2圈标B、C、B、C、B、C、D,第3圈标A、D、A、D……A、D、B、A、B,第4圈标B、C、B、C……B、C、D、C、D、C、D,第2圈有7个区域,第3圈有35个区域,第4圈有35个区域,第5圈有35个区域,都是奇数,每环至少需要用3个字母来标识,第2圈用B、C、D,第3圈用A、D、B,第4圈用B、C、D,第5圈用A、D、B。第6圈是3个区域,也是奇数,必须用3个字母来标识,还能用B、C、D吗,不行了,一个区域填B,另一个区域填C,剩下一个其邻域,填A、B、C、D都有了,只能填E了,如果第6圈只是1个区域,我们就可以填C,如果第6圈是均分成两个区域,我们可以填B、C,这说明114,115个区域还可以四色配色,但是116个区域就不能四色配色了。



为充分说明问题,我们还可以从外面向里面排列字母,如图4所示。

第6圈填A、B、C,第5圈填C、D、C、D……C、D、B、D……B、D、B,第4圈填A、B、A、B……A、B、A、C……A、C,第3圈填C、D、C、D……C、D、B、D、B、D……B、D、B,第2圈依次填上A、B、A、B、A、C、E,填E的区域邻域标A、B、C、D都有,只能填E,第1圈填D。


本文所举图例,符合正规地图标准:每个角点都是三条边界汇合。虽然环数较多,还是比较规则,不是刁钻古怪的图例。其实,即使是刁钻古怪的图例,但只要指出四色定理不成立,也可以采用。

除了可以举出很多符合四色定理的图形外,还可以构造出许多四色定理不成立的图例,即使是象本文中一环扣一环的这种构造,就可以构造出无穷多构形,但说明四色定理不成立,有本文所给出的两个反例就足够了!

当然,在未找到更少数目的极小五色正规地图之前,本文中图1给出的114个区域的构形暂时就可以作为极小五色正规地图。以后有可能会找出最少数目的极小五色正规地图。

下面再给大家提供一个区域数目较少的四色定理不成立的反例。该图形分成5圈,第1圈1个区域,第2圈7个区域,第3圈49个区域,第4圈49个区域,第5圈均分成3个区域,一共有109个区域,每个区域至少有5个邻域,先从里面向外面排列字母,可以看出有一个区域必须标E,如果第5圈只有一个区域,可以标A,如果有两个区域,可以分别标A、D,可见107个区域、108个区域可以四色配色,但是109个区域就不行了,如图5所示。



为充分说明问题,我们还可以外面向里面排列字母,也可看出有一个区域必须标E,如图6所示。


【附】本文的英文简要:

The Theorem of Four

Colours is nottrue

Yu Xi Ying

(Guangxi University Naming,Guangxi 53004)


Abstract

This paper gives the factthat the Theorem of Four Colours is not true,and gives the primary proof andtwo examples.

Key Words

The Theorem of Four Colours Prove by using machine


余教授的这篇探讨文章,大家认为如何?欢迎大家留言讨论。

编辑于 2017-11-03