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Gauss与AGM(III-3)

Gauss与AGM(III-3)

[注:题图就是Gauss全集第三卷中Gauss本人对 e^{-\pi} 的数值计算过程。]


[下面是作者的推测]一旦这些重要常数的数值确定下来,就可以计算 \log P 展开各项的系数了。我们直接利用Gauss的14位近似来进行相关的计算,保留位数到小数点后13位。我们有

\begin{align}e^{-2\pi}&=0.0018674427317\\e^{-4\pi}&=0.0000034873424\\e^{-6\pi}&=0.0000000065124\\e^{-8\pi}&=0.0000000000122\end{align}

以及 \log{\frac{\varpi}{\pi}}\approx-0.1807705502179

序列\{e^{-2n\pi}\} 收敛到0的速度是很快的。借用等比级数以及对数函数幂级数[的截断],我们可以数值计算出如下结果(哪怕是用手算):

\begin{align}\log P(u)&\approx\log\sin{\frac{\pi}{\varpi}u}\\&-0.1770251853183\\&-2\times0.0018709365987\cos 2\frac{\pi}{\varpi}u\\&-2\times0.0000017436773\cos 4\frac{\pi}{\varpi}u\\&-2\times0.0000000021708\cos 6\frac{\pi}{\varpi}u\\&-2\times0.0000000000030\cos 8\frac{\pi}{\varpi}u\end{align}

根据Schlesinger的评论, \log P 精度稍差一些的公式出现在年代最早的Schedae (编号Aa,开始于1798年7月)中[Gauss全集第三卷418页]。为了计算 P(u) 的Fourier级数,我们令 z=e^{2i\frac{\pi}{\varpi}u} , 那么 \exp{\left(2\sum a_n\cos2n\frac{\pi}{\varpi}u\right)}= \left(\exp{\left(\sum a_nz^n\right)}\right)\cdot \left(\exp{\left(\sum a_nz^{-n}\right)}\right)

对右侧的Laurent级数做截断处理[取 z^3z^{-3} 的项],之后利用和差角公式,我们可以得到

\begin{align}P(u)=\,&0.8377586850382\times(\\+\,&1.0018744370145\sin\frac{\pi}{\varpi}u\\-\,&0.0018709431354\sin3\frac{\pi}{\varpi}u\\+\,&0.0000000065246\sin5\frac{\pi}{\varpi}u)\end{align}

如果对系数作归一化处理,我们可以得到

\begin{align}P(u)=\,&0.8393290109267\times(\\+\,&1.0000000000000\sin\frac{\pi}{\varpi}u\\-\,&0.0018674427316\sin3\frac{\pi}{\varpi}u\\+\,&0.0000000065124\sin5\frac{\pi}{\varpi}u)\end{align}

对比前面的结果,括号内各项的系数似乎是 1,-e^{-2\pi},+e^{-6\pi},\cdots 。这还不足以确定系数的规律。如果再多算一项,至少得算到小数点后17位才有意义。Gauss在Schedae 中[编号Ac,1799年11月开始]计算了级数 \sin7\frac{\pi}{\varpi}u 的系数(小数点后18位),结果显示,系数似乎是 -e^{-12\pi} 。所有的数值计算指向的结论是:

P(u)=a_0\sum_{n=0}^{\infty} e^{-\pi(n^2+n)}(-1)^{n}\sin(2n+1)\frac{\pi}{\varpi}u,\, a_0\approx 0.8393290109267

利用同样的方法(但是计算更加复杂,因为 \log Q 展开式各项趋于0的速度相对比较慢,从而需要计算更多项来达到指定精度),我们可以得到相应的猜想

Q(u)=b_0\left(1+2\sum_{n=0}^{\infty} e^{-\pi n^2}\cos2n\frac{\pi}{\varpi}u\right),\, b_0\approx 0.9204417878356

[猜测到此结束]




Gauss并未止步于此。还有若干常数没有得到函数论的解释。

  • 其一是 \log P (或 \log Q )展开式中的常数项。
  • 其二是 a_0b_0 的解析表达式(这是我们在前面有意避开的问题)。

Gauss在Scheda Aa 中明确回答了所有问题,但是仍然没有写下任何的推理过程。这些问题利用Gauss时代的技术都可以解决,但是这两个问题每一个都可以说是引向更深刻问题的路标。


Problem1. 计算Fourier级数的各项系数的方法是每个学习过高等数学的学生的常识。我们需要计算的是

I_1=\frac{1}{\varpi}\int_{0}^{\varpi}\log \vert P(u)\vert\mathrm{d}u 以及 I_2=\frac{1}{\varpi}\int_{0}^{\varpi}\log Q(u)\mathrm{d}u 。容易知道

I_1-I_2=\frac{1}{\varpi/2}\int_{0}^{\varpi/2}\log \left\vert \frac{P(u)}{Q(u)}\right\vert\mathrm{d}u=\frac{1}{\varpi/2}\int_{0}^{1} \frac{\log z}{\sqrt{1-z^4}}\mathrm{d}z [为什么?]

我们在本系列第二篇中提到的函数 M,N 的公式可以改造为 P,Q 的公式,也就是 P(2u)=2P(u)Q(u)\sqrt{Q^4(u)-P^4(u)}

[和 Q(2u)=Q^4(u)+P^4(u) ,它的直接推论是 P(\varpi/2)=Q(\varpi/2)=2^{-1/4} ]

在等式两侧取绝对值后再取自然对数,作一个周期上的积分,我们就有

\log2+3I_2+\frac{1}{\varpi}\int_{0}^{\varpi}\log\sqrt{1-\frac{P^4(u)}{Q^4(u)}}\mathrm{d}u=0

也就是

\log2+3I_2+\frac{1}{\varpi/2}\int_{0}^{1} \frac{\log \sqrt{1-z^4}}{\sqrt{1-z^4}}\mathrm{d}z=0 。[为什么?]

两个未知积分的形式促使我们回到Euler关于Beta函数的研究上来。我们知道

B(\alpha,\beta)=\int_{0}^{1}t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\mathrm{d}t=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}

那么[为什么?]

\begin{align}\frac{1}{\varpi/2}\int_{0}^{1} \frac{\log \sqrt{1-z^4}}{\sqrt{1-z^4}}\mathrm{d}z&=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial\beta}\log B(\alpha,\beta)|_{\alpha=1/4,\beta=1/2}\\&=\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\log \Gamma(z)|_{z=1/2}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\log \Gamma(z)|_{z=3/4}\right)\end{align}

以及

\begin{align}\frac{1}{\varpi/2}\int_{0}^{1} \frac{\log z}{\sqrt{1-z^4}}\mathrm{d}z&=\frac{1}{4}\frac{\partial}{\partial\alpha}\log B(\alpha,\beta)|_{\alpha=1/4,\beta=1/2}\\&=\frac{1}{4}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\log \Gamma(z)|_{z=1/4}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\log \Gamma(z)|_{z=3/4}\right)\end{align}

根据Gauss 1812年的定理(Gauss全集第三卷,155-158页)我们可以算出两个积分的值分别为 \frac{1}{2}\left(-\frac{\pi}{2}+\log 2\right) 以及 -\frac{\pi}{4} [注:这里的定理完全可以用Euler关于Gamma函数的无穷乘积证明]。所以 I_2=\frac{\pi}{12}-\frac{1}{2}\log2 , I_1=-\frac{1}{2}\log2 -\frac{\pi}{6} 。于是 \log P 展开式中的常数项为 I_1-\frac{1}{\varpi}\int_{0}^{\varpi}\log\sin\frac{\pi}{\varpi}u\mathrm{d}u=\frac{1}{2}\log2 -\frac{\pi}{6} 。如果我们回过头来观察展开式

\begin{align}&\log P(u)+2\sum_{n=1}^{\infty}\log(1-e^{-2\pi n})\\=&\log\frac{\varpi}{\pi}+\log\sin{\frac{\pi}{\varpi}u}-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(e^{2n\pi}-1)}\cos 2n\frac{\pi}{\varpi}u,\end{align}

我们直接可以得到 \prod_{n=1}^{\infty}(1-e^{-2\pi n})=\sqrt{\frac{\varpi}{\pi}}2^{-1/4}e^{\pi/12} 。像这样的等式还有三个。

用类似的方法从 \log Q 的展开式中我们可以得到 \prod_{n=0}^{\infty}(1+e^{-(2n+1)\pi})=2^{1/4}e^{-\pi/24} 。根据 P,Q\varpi/2 处的值以及 P,Q 的无穷乘积,我们又可以得到两个等式

\prod_{n=0}^{\infty}(1-e^{-(2n+1)\pi})=2^{1/8}e^{-\pi/24}

\prod_{n=1}^{\infty}(1+e^{-2n\pi})=2^{-3/8}e^{\pi/12}

这是模形式特殊值最早的例子。这些等式可以说就在Gauss一伸手就可以够得到的地方,但我们不确定Gauss在1800年之前是否知道这些等式。

[注:黑川信重等人编写的《数论》提到了若干等式,例如 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{e^{2n\pi}-1}=\frac{1}{80}\left(\frac{\varpi}{\pi}\right)^4-\frac{1}{240} 。根据本篇的内容,这都是25岁的Gauss可以轻松解决的问题。我们把这个等式的证明交给读者作为练习。]



Problem 2. 常数 b_0 有哪些可能的表达式呢?根据 Q(\varpi)=1,Q(\varpi/2)=2^{-1/4}, 以及 Q 的三角级数展开式,我们可以得到

\begin{align}\frac{1}{b_0}&=1+2e^{-\pi}+2e^{-4\pi}+2e^{-9\pi}+\cdots\approx1.0864348112133\\\frac{2^{-1/4}}{b_0}&=1-2e^{-\pi}+2e^{-4\pi}-2e^{-9\pi}+\cdots\approx0.9135791381561\end{align}

这两个级数都是收敛极其迅速的级数,只取前四项计算都可以获得小数点后15位的有效数字。Gauss有可能又像他1797年时做过的那样,通过求对数来发现数字之间的关系。两者的自然对数分别是

\begin{align}+&0.0829015200310\\ -&0.0903852751090\end{align}

找遍我们本篇中计算的所有常数,可以看到, \log{\frac{\varpi}{\pi}}\approx-0.1807705502179 似乎是后一个值的二倍。也就是说, 1-2e^{-\pi}+2e^{-4\pi}-2e^{-9\pi}+\cdots=\sqrt{\frac{\varpi}{\pi}} 。那么 b_0=2^{-1/4}\sqrt{\frac{\pi}{\varpi}} 。根据我们这篇末尾的内容,我们立刻可以得到 2e^{-\pi/4}+2e^{-9\pi/4}+2e^{-25\pi/4}+\cdots=\sqrt{\frac{\varpi}{\pi}}

这两个等式都出现在Gauss的Scheda Aa 当中,写下记录的日期都应当在1798年。1800年的Gauss毫无疑问可以轻松证明这两个结论,但是1798年的Gauss能不能证明这两个结论呢?我们并不清楚。不过Gauss此时其实已经具备了证明这两个等式的一切要素。利用我们上面得到的四个无穷乘积, P,Q 的三角级数展开以及Euler 1741年左右发现,1750年证明的定理

\prod_{n=1}^{\infty}(1-x^n)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{k}x^{(3k^2-k)/2}

可以推出Gauss的这个结论。我们把这个问题交给读者作为练习。


[当然Gauss也有可能直接就看出两个数之间的平方关系了]


Gauss无疑在1798年10月前后就已经得到上面提到的绝大多数的结论。他日记本第95条[1798年10月,无日期]是这样写的:

Novus in analysi campus se nobis aperuit scilicet investigatio functionum etc.

分析的新领域已经向我们打开,也就是函数的研究等等。

按David Cox在其the arithmetic-geometric mean of Gauss 一文中的评论,Gauss[狂喜乱舞]高兴到连完整的句子都顾不上写到日记本上。以今天的标准来看,1798年的Gauss其实还算不上开辟了分析的新领域。他真正意识到背后还有更广大理论的时候已经是1799年的5月了。而这一新发现的来源来自他少年时的研究——GEGAN(NAGEG, Nexum medii Arithmetico-Geometricum Expectationibus Generalibus,算术-几何平均值,也就是这一系列题目中的AGM)。他之前的所有发现一下子汇聚在一起,流向更广阔的新天地。

编辑于 2018-01-20

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